Дифференцирование
| English | Русский |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | математический анализ |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | дифференцировать |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | стационарная точка |
Изменяющийся наклон
- У прямой линии один наклон везде. У кривой разный наклон в каждой точке.
- Ньютон и Лейбниц изобрели математический анализ, чтобы ответить на вопрос: «Каков наклон кривой прямо здесь?». Ответом является производная.
Правило степени
- Если $y = ax^n$, тогда $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- Простыми словами: спустите степень вперед, затем уменьшите её на единицу.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Дифференцируйте по слагаемым — каждое слагаемое обрабатывается независимо.
Наклон кривой в точке равен наклону касательной в этой точке, именно это и находит дифференцирование
Наклон касательной в точке
наклон = dy/dx
Переместите точку — касательная имеет там наклон, равный градиенту.
Если y = x³ + 2x² − 5x, то dy/dx = 3x² + 4x − 5. Чему равно её значение при x = 1?
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
Для функции y = axⁿ, где n — положительное целое число, дифференцирование даёт:
Снесите степень вниз и уменьшите её на 1: a·n·xⁿ⁻¹.
Если y = 4x³, чему равно dy/dx при x = 2?
dy/dx = 12x². При x = 2: 12(4) = 48.
Производная от y = x⁵ равна dy/dx = ______.
Правило степени: снесите 5 вниз и уменьшите степень: 5x⁴.
Особые случаи
- $y = c$ (константа) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (горизонтальная линия имеет нулевой наклон).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (прямая линия имеет постоянный наклон).
- Правило степеней IGCSE здесь охватывает неотрицательные целые степени и суммы не более чем из трех членов; дифференцирование обратных функций выходит за рамки данной программы.
Не забывайте о свободном члене. Производная от $x^2 + 7$ равна $2x$, а не $2x + 7$. Производная константы всегда равна нулю.
Производная от y = x² + 7 равна 2x + 7.
Производная константы равна 0. Следовательно, dy/dx = 2x, а не 2x + 7.
Стационарные точки
- Стационарная точка — это место, где $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — кривая на мгновение становится горизонтальной.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- При $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина: $(3, -4)$.
Стационарная точка — это место, где кривая на мгновение становится горизонтальной — наклон (производная) равен нулю.
Кривая y = x² − 6x + 5 имеет точку экстремума. При каком значении x (dy/dx = 0)?
dy/dx = 2x − 6 = 0 дает x = 3.
Почему важна производная
- Физика: скорость — это производная положения; ускорение — это производная скорости.
- Экономика: предельные издержки — это производная общих издержек — стоимость производства еще одной единицы.
- Оптимизация: чтобы максимизировать прибыль или минимизировать издержки, приравняйте производную к нулю.
Касательная оценивает наклон кривой
- Проведите касательную, касающуюся кривой в нужной точке, затем выберите две четкие точки на самой касательной, а не произвольные точки на кривой. Вычислите отношение подъема к горизонтальному смещению.
- Для функции $y=x^2$ в точке $(2,4)$ касательная, проходящая через точки $(1,0)$ и $(3,8)$, имеет наклон $m=(8-0)/(3-1)=4$. Дифференцирование подтверждает значение $dy/dx=2x=4$ в точке $x=2$.
Касательная проходит через точки (1,0) и (3,8). Найдите её угловой коэффициент.
Подъём 8, делённый на спуск 2, даёт результат 4.
Минимум или максимум?
- Для функции $y=x^2-6x+5$ производная равна $2x-6$. Она отрицательна в точке $x=2$, равна нулю в точке 3 и положительна в точке 4: убывание, сменяющееся возрастанием, означает наличие минимума в точке $(3,-4)$.
- Для $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Положительное значение при 1 и отрицательное при 3 означает максимум в точке $x=2$, где $y=5$.
Для параболы y = −x² + 4x + 1 найдите координату y вершины (максимума).
Производная dy/dx = −2x + 4 обращается в ноль при x = 2; подставляя, получаем y = −4 + 8 + 1 = 5.
Вы поняли
- правило степени: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- дифференцируйте сумму по слагаемым; производная константы равна нулю
- стационарная точка — это место, где $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$