Уравнения

Древнее искусство баланса

• Слово «уравнение» происходит от слова «равенство» — обе части должны быть одинаковыми, как весы.
• Вавилоняне решали линейные уравнения 4000 лет назад, используя глиняные таблички. Сегодня мы применяем тот же принцип: делайте то же самое с обеих сторон.

Линейные уравнения

• Решайте, выполняя одно и то же действие с обеих сторон, пока неизвестное не окажется в одиночестве.
• $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.

Решение путем выполнения одного и того же действия с обеих сторон

Система линейных уравнений

• Два уравнения, две неизвестные. Исключите одну переменную сложением или вычитанием.
• $2x + y = 7$ и $3x - y = 8$: сложение дает $5x = 15$, откуда $x = 3$, затем $y = 1$.

Квадратные уравнения (Расширенное)

• Квадратное $ax^2 + bx + c = 0$ может иметь два, одно или ноль действительных решений.
• Методом разложения на множители: $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2$ или $x = -3$.
• По формуле: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (дана на экзамене).

Корни квадратного уравнения — это точки, где парабола пересекает $x$-ось, то есть решения уравнения $y = 0$.

Степени при преобразовании формул (Расширенный)

• Сделайте букву главным членом, выполнив действия в обратном порядке.
• Выразите $r$ из формулы $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$: $\;r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}$, следовательно, $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.

Составьте уравнение, затем выберите метод

• Задача о билетах дает $2a+c=31$ и $a+2c=26$. Удвойте второе и вычтите первое: $3c=21$, следовательно $c=7$, затем $a=12$. Проверьте оба исходных итога.
• Основные преобразования: $C=5t+8$ дает $C-8=5t$, затем $t=(C-8)/5$. Искомая переменная встречается один раз и не имеет степени или корня.

Метод выделения полного квадрата и формула (Расширенный)

• $x^2+6x+5=0$ превращается в $(x+3)^2-4=0$, поэтому $x+3=\pm2$, что дает $x=-1,-5$.
• Для $2x^2+x-3=0$ выберите $a=2,b=1,c=-3$ в $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$. Таким образом, $x=(-1\pm5)/4=1,-1.5$. Подстановка проверяет каждый корень.

Дробные уравнения (Расширенный курс)

• Для $x/(x+2)=3/5$ исключите $x=-2$. Умножьте на $5(x+2)$: $5x=3(x+2)$, значит $2x=6$ и $x=3$. Проверьте $3/5=3/5$.
• Для $2/(x+1)+1/(x-1)=1$ исключите $x=-1,1$. Умножьте всё на $(x+1)(x-1)$: $2(x-1)+(x+1)=x^2-1$. Это даёт $x^2-3x=0$, значит $x=0$ или 3; оба значения допустимы.

Одна прямая и одна кривая (Расширенный курс)

• Решите $y=x+2$ и $y=x^2$ подстановкой: $x^2=x+2$, следовательно, $(x-2)(x+1)=0$. Таким образом, $x=2$ или $-1$.
• Найдите соответствующий $y$ для каждого: пары — это $(2,4)$ и $(-1,1)$. Не смешивайте один корень со значением $y$ другого корня.

Переменная, встречающаяся дважды (Расширенный курс)

• Преобразуйте $y=(3x+2)/(x-1)$ относительно $x$: $y(x-1)=3x+2$, затем $yx-3x=y+2$.
• Вынесите переменную за скобки: $x(y-3)=y+2$, получаем $x=(y+2)/(y-3)$, $y\ne3$. Исходное выражение также требует выполнения условия $x\ne1$.

Вы поняли