Неравенства
| English | Русский |
|---|---|
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | неравенстве |
| intervals/ˈɪntəvlz/ | интервалы |
| number line/ˈnʌmbə laɪn/ | числовая прямая |
| region/ˈriːdʒn/ | регион |
Ограничения скорости и диапазоны чисел
- Дорожный знак гласит «Скорость ≤ 30 миль/ч». Это неравенство — диапазон допустимых значений, а не один ответ.
- Неравенства описывают интервалы: множество значений, а не одно. Решение неравенств похоже на решение уравнений, но с одним важным отличием.
Решение неравенств (Расширенный курс) (Расширенный курс)
- Решайте точно так же, как уравнение — но измените знак ($<$ станет $>$, и наоборот), если вы умножаете или делите на отрицательное число.
Решите $3x + 1 < 10$: вычтите 1 → $3x < 9$ → разделите на 3 → $x < 3$.
Изменение знака. Решите $-2x > 6$: разделите на $-2$ и поменяйте знак → $x < -3$ (не $x > -3$). Забыв поменять знак — самая частая ошибка.
$-\tfrac13 \leqslant x < 3$: закрашенный кружок включает конечное значение, незакрашенный исключает его
Неравенства
y = ax + b
Неравенство показывает где прямая находится выше или ниже определенного значения.
Знак неравенства необходимо изменить, если вы:
Умножение или деление на отрицательное число меняет знак < to > (и наоборот).
Решите 3x + 1 < 10. Какова верхняя граница для x?
3x < 9 → x < 3. Верхняя граница равна 3 (не включена).
Решение неравенства −2x > 6 дает x > −3.
Деление на −2 и изменение знака дает x < −3, not x > −3.
Решение двойных неравенств (Расширенный курс)
- $-3 \leq 3x - 2 < 7$: применяйте одно и то же действие к всем трем частям.
- Прибавьте 2: $-1 \leq 3x < 9$. Разделите на 3: $-\dfrac{1}{3} \leq x < 3$.
Решите −3 ≤ 3x − 2 < 7. Решение имеет вид −1/3 ≤ x < ? Какова верхняя граница?
Прибавьте 2: −1 ≤ 3x < 9; разделите на 3: −1/3 ≤ x < 3.
На числовой прямой
- Незакрашенный кружок (○) для $<$ или $>$ — конечное значение не включено.
- Закрашенный кружок (●) для $\leq$ или $\geq$ — конечное значение включено.
Закрашенный кружок при $-\frac{1}{3}$ (включено), незакрашенный при $3$ (исключено). Заштрихованная область — решение.
На числовой оси символ ≤ изображается с помощью:
≤ и ≥ включают конечное значение, что обозначается закрашенной точкой; < and > используют незакрашенную точку.
Соотнесите каждый знак неравенства с его изображением на числовой оси.
< and > используют незакрашенные точки (конечное значение не включено); ≤ и ≥ используют закрашенные точки (значение включено).
Области неравенств (Расширенное)
- Неравенство двух переменных ($y > 2x + 1$) заштриховывает область на координатной плоскости.
- Пунктирная граница для строгих неравенств ($<$ или $>$).
- Сплошная граница для $\leq$ или $\geq$.
Базовый курс: интерпретируйте перед решением
- Для $-3\le x<2$ отметьте закрашенный кружок в точке $-3$, незакрашенный кружок в точке 2 и заштрихуйте область между ними. Целочисленные значения равны $-3,-2,-1,0,1$.
- Правило для посылки $2\le m<5$ кг включает вес 2 кг, но исключает вес 5 кг. Вопросы базового курса требуют от вас интерпретации и представления таких диапазонов; решение алгебраических неравенств относится к расширенному курсу.
Сколько целых чисел удовлетворяют условию −3 ≤ x < 2?
Целые числа: −3, −2, −1, 0 и 1.
Вы поняли
- решайте как уравнение, но поменяйте знак при умножении/делении на отрицательное число
- $-3 \leq 3x - 2 < 7 \Rightarrow -\dfrac{1}{3} \leq x < 3$
- числовая прямая: незакрашенный кружок исключает, закрашенный включает конец
- Неравенства с переменной 2 закрашивают область (пунктирная граница для строгих неравенств, сплошная в остальных случаях)