Последовательности и ряды
Introduced| English | Русский |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | последовательность |
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | арифметическая прогрессия |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | геометрическая прогрессия |
| series/ˈsɪəriːz/ | последовательно |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | общая разность |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | общий знаменатель |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | сумма бесконечного ряда |
Match the rule to the sequence
- Saving a fixed amount each period gives an arithmetic sequence 等差数列 if nothing else changes. Multiplying the current amount by a fixed factor gives a geometric sequence 等比数列.
- A financial problem may include fixed payments, interest or both. Identify its stated rule rather than assuming every money problem is geometric.
Инвестиции растут на 4% каждый год. К какому семейству они относятся?
Процент — это коэффициент, а не абсолютная величина, поэтому каждый год умножается на 1.04.
Keep the term index explicit
- A sequence 数列 is an ordered list; a series 级数 adds its terms. Arithmetic uses common difference 公差 d and $u_n=a+(n-1)d$.
- Geometric uses common ratio 公比 r and $u_n=ar^{n-1}$. If the starting value is $u_1$, five completed multiplications give $u_6$; if a model uses time n starting at zero, write that convention instead.
Арифметическая против геометрической
Множитель со временем превысит постоянную величину, какой бы большой она ни была.
Арифметическая последовательность начинается с 5 с разностью 3. Каков 10-й член?
u₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32. Девять шагов от первого члена, а не десять.
A sum is different from a term
- Arithmetic totals use $S_n=n[2a+(n-1)d]/2$. Geometric totals use $S_n=a(1-r^n)/(1-r)$ for $r\ne1$, or na when $r=1$.
- For nonzero a, a finite sum to infinity 无穷和 exists only when $|r|<1$, giving $S_\infty=a/(1-r)$. If a is zero, every term and sum is zero.
Для ненулевого первого члена геометрический ряд имеет конечную сумму к бесконечности только тогда, когда...
Для nonzero a сходимость требует |r| < 1. Когда |r| ≥ 1, члены не стремятся к нулю; частичные суммы могут расходиться или колебаться, а не всегда расти до положительной бесконечности.
A stated depreciation model. Starting value 80000 units loses 12% per year, with no other changes. $V(n)=V_0(1-r)^n$, so $V(5)=80000(0.88)^5=42218.553344$ units. This is 42200 to the nearest 100, not an exact value of 42200.
Оборудование стоимостью 80000 обесценивается на 12% в год. Какова его стоимость через 5 года, округлённая до ближайшего 100?
80000 × 0.88⁵ = 42218.553344, что округляется до 42200 при округлении до ближайшего 100. Сохранённая доля умножается пять раз.
Use the sum for a combined capacity. Rows with counts 12, 14, 16 and so on give $u_{15}=40$, but $S_{15}=390$. Sheet 2.1 compares an individual term, a finite total and an infinite-horizon mathematical model.
For nonzero first term, ratios of magnitude at least 1 prevent convergence of the infinite geometric series. They do not all produce sums growing to positive infinity: ratio negative 1 makes partial sums alternate. State the convergence failure precisely.
Потеря 12% в течение пяти лет означает потерю 60% суммарно.
0.88⁵ = 0.528, значит теряется около 47%. Потери каждого года применяются к меньшей сумме, чем предыдущий год.