GAC Mathematics · ⁨GAC Математика⁩

Цена может снизиться на 20%, а затем вырасти на 20%, но так и не вернуться к первоначальной стоимости. Математика I помогает объяснить такие результаты с использованием метода, единиц измерения и чёткой интерпретации. Шесть модулей объединяют арифметику, алгебру, графики, геометрию, тригонометрию и экспоненциальные модели.

Текущее задание на оценку вашего учебного центра является руководящим документом для задач, весовых коэффициентов, разрешённых инструментов и сроков. Классная работа выполняется в заявленных условиях класса. Проекты могут включать сбор данных, расчёты и отчётность; экзамен и курсовая работа могут иметь иные инструкции. Не выводите официальную схему оценки из этих практических листов.

Терминологический дневник может фиксировать английский термин, его значение своими словами и небольшой пример. Следуйте инструкциям вашего учебного центра, если он представляется или оценивается.

Прочитайте ключевое слово: решить требует найти значения, удовлетворяющие условию, упростить — привести к равносильному выражению, а обосновать — привести причину. Покажите корректный метод, чтобы читатель мог проверить, как получен результат. Схема оценивания для каждого задания определяет количество баллов.

Шесть прилагаемых практических листов содержат оригинальные материалы, соответствующие GAC004, и не являются официальными экзаменационными работами. В решениях баллы начисляются за указанные математические шаги, а не за объем письменного отчета.

Словарь чисел подразумевается в каждом последующем разделе.

Целое число — это целое число, включая отрицательные целые числа и ноль. Рациональное число может должно быть записано как дробь двух целых чисел с ненулевым знаменателем; иррациональное число не может быть так записано, и $\pi$ и $\sqrt{2}$ являются стандартными примерами. Простое число — это положительное целое число, большее 1, имеющее ровно два положительных делителя: само себя и 1.

Порядок действий определяет смысл написанного выражения: скобки, затем степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание, выполняя действия слева направо на одном уровне. правильно внутри одного уровня.

• Делитель делит число нацело; кратное — это то, что получается при умножении его. 6 является делителем 24, а 24 — кратным 6.
• Наибольший общий делитель (НОД) и **наименьшее общее кратное (НОК) определяются по простым множителям: $24 = 2^3 \times 3$ и $36 = 2^2 \times 3^2$, поэтому НОД равен $2^2 \times 3 = 12$, а НОК равен $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Процент — это дробь со знаменателем 100. Увеличение на 15% означает умножение на $1.15$; уменьшение на 15% означает умножение на $0.85$. Для обратного изменения процента необходимо делить, никогда не вычитать тот же процент обратно.
• Значащие цифры — это цифры, оставленные для выражения значения с указанной точностью. Одних только значащих цифр недостаточно для установления точности измерения. $0.004\,072$ до трех значащих цифр составляет $0.004\,07$.
• Стандартный вид записывает число как $a \times 10^n$ со множителем $1 \le |a| < 10$ для ненулевого числа, где n — целое число. Именно так калькулятор отображает очень большое или очень маленькое значение. калькулятор показывает очень большое или очень маленькое значение.

Разобранный пример. уменьшение и увеличение используют разные основания

Известно: вымышленная цена в 80 единиц уменьшается на 20%, затем увеличивается на 20%. Почему использовать последовательные множители? Каждое изменение рассчитывается от текущей цены.

Цена не вернулась к значению 80. Снижение составило 16, тогда как последующий рост составил 12.8, поскольку базы расчёта различаются.

Продолжайте с практическим листом 1.1. Решите задачи перед открытием ответов и проверьте как метод, так и итоговые единицы.

Алгебра — это арифметика с буквами, обозначающими числа, и она имеет свой собственный словарь.

В $5x^2 - 3x + 7$ всё вместе называется выражением; $5x^2$, $-3x$ и $7$ — это его слагаемые; 5 — это коэффициент при $x^2$; а 7 — это константа.

Уравнение утверждает равенство двух выражений и решается относительно значения. Тождество верно для любого значения из области определения. Неравенство сравнивает два выражения с помощью $<$, $\le$, $>$ или $\ge$.

Чтобы раскрыть скобки, нужно убрать их; чтобы разложить на множители, нужно вернуть их обратно.

• Решение линейного уравнения означает выполнение одной и той же операции с обеими частями до тех пор, пока переменная не останется одна.
• Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$. Раскладывайте на множители, когда это уместно, или используйте $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Система уравнений состоит из двух уравнений с двумя неизвестными, решаемых методом подстановки или методом исключения. Для двух линейных уравнений единственное решение соответствует точке пересечения. Параллельные различные прямые не имеют решений; совпадающие прямые имеют бесконечно много решений.
• ⚠ Неравенство меняет знак при умножении или делении обеих частей на отрицательное число: из $-2x > 6$ следует, что $x < -3$.

Разобранный пример. меняйте знак неравенства при делении на отрицательное число

Известно: решите $7-3x>1$. Вычтите 7 из обеих частей, затем разделите на отрицательное 3. Последняя операция меняет знак неравенства.

Пустой кружок исключает значение 2. Проверьте $x=1$: $7-3(1)=4>1$; граница $x=2$ дает равенство и исключена.

Продолжайте с практическим листом 1.2. Решите задачи перед открытием ответов и проверьте как метод, так и итоговые единицы.

График превращает уравнение в изображение, а координатная геометрия измеряет это изображение.

Невертикальную прямую можно записать как $y = mx + c$, где $m$ — это угловой коэффициент (наклон), а $c$ — это точка пересечения с осью y. Угловой коэффициент равен подъему, деленному на горизонтальную проекцию.

• Различные невертикальные прямые называются параллельными, если их угловые коэффициенты равны. Две невертикальные прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. Вертикальные прямые имеют неопределенный угловой коэффициент; вертикальная и горизонтальная прямые перпендикулярны друг другу.
• Середина отрезка — это среднее арифметическое координат концов, а расстояние между двумя точками определяется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Квадратичная функция графически изображается как парабола. Ее вершина — это точка перегиба, а корни — это значения x, при которых график пересекает ось $x$, то есть решения уравнения $y=0$. Повторяющийся корень касается оси без пересечения; некоторые квадратные уравнения не имеют действительных корней.
• Чтобы решить систему двух уравнений графически, нарисуйте оба графика и прочитайте координаты точки пересечения. Точность ответа зависит только от качества чертежа, поэтому важно выполнить алгебраическую проверку. проверяйте важность моментов.

Разобранный пример. возрастающая прямая через две заданные точки

Известно: $A=(1,2)$ и $B=(4,8)$. Используйте градиент, так как прямая не вертикальна.

Уравнение прямой имеет вид $y=mx+c$. Подставьте точку A, чтобы найти смещение (intercept).

Таким образом, $y=2x$. Горизонтальное изменение на диаграмме равно 3, а вертикальное — 6.

Продолжайте работу с практическим листом 1.3. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Плоская геометрия изучает плоские фигуры, объемная — трехмерные, а евклидова геометрия — это рассуждения, их связывающие.

Сумма углов на прямой линии равна $180°$, углов вокруг точки — $360°$, а внутренние углы плоского евклидова треугольника в сумме дают $180°$. В простом многоугольнике из $n$ сторон внутренние углы в сумме составляют $(n - 2) \times 180°$.

• Конгруэнтные фигуры идентичны по размеру и форме; подобные фигуры имеют ту же форму, но все длины связаны одним коэффициентом.
• Теорема Пифагора справедлива для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ является гипотенузой.
• Площадь измеряется в квадратных единицах, а объем — в кубических. Цилиндр имеет объем $\pi r^2 h$; сфера имеет объем $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ и площадь поверхности $4\pi r^2$.
• ⚠ Масштабирование не является линейным. Если каждую длину твердого тела увеличить вдвое, его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раз, а объем — в $2^3 = 8$ раз.

Разбор примера. Треугольная призма имеет постоянное поперечное сечение

Известно: катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см; длина призмы — 10 см. Найдите площадь поперечного сечения, затем умножьте на длину призмы.

Наклонная сторона треугольника не является его высотой. Объем не равен площади треугольного торца.

Продолжайте работу с практическим листом 1.4. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Тригонометрия связывает углы треугольника с его сторонами.

В прямоугольном треугольнике, если $\theta$ — один из острых углов, три отношения равны $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ и $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Для невырожденного плоского евклидова треугольника справедливы закон синусов и закон косинусов:

• Угол можно измерять в градусах или в радианах, где $\pi$ радиан равен $180°$. Проверяйте режим работы калькулятора перед каждым заданием.
• Единичная окружность расширяет область определения отношений за пределы $90°$ и объясняет, почему $\sin$ и $\cos$ повторяются каждые $360°$: они являются периодическими.
• Азимут отсчитывается по часовой стрелке от севера и всегда записывается тремя цифрами, например, $075°$.
• Углы места и глубины отсчитываются от горизонтали, вверх и вниз соответственно. При необходимости добавьте высоту наблюдателя или прибора, если требуется высота над землей. При данных «сторона-сторона-угол» закон синусов может дать два возможных треугольника: проверьте оба смежных угла на соответствие оставшейся сумме углов.

Разбор примера. Высота по горизонтальному расстоянию и углу

Известно: горизонтальное расстояние $d=12$ м и угол места $\theta=30^\circ$. Высота h лежит против угла, d — прилежащий, поэтому используйте тангенс в градусном режиме.

Это высота над горизонтальной линией зрения наблюдателя, а не обязательно высота над землей.

Продолжайте работу с практическим листом 1.5. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Эти две функции описывают рост и убывание, являясь взаимно обратными.

Показательная функция имеет вид $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne1$: переменная находится в показателе степени. Каждый шаг на единицу умножает значение на a. Функция возрастает при $a>1$ и убывает при $0. Точка пересечения с осью y равна 1, значения остаются положительными; ось x является горизонтальной асимптотой.

Логарифм отвечает на обратный вопрос. $\log_a y = x$ означает ровно $a^x = y$, следовательно, $\log_{10}1000=3$. Для действительных логарифмов аргумент должен быть положительным, а основание — положительным и отличным от 1. График $y=\log_a x$ проходит через точку $(1,0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

• Для положительных аргументов и одного и того же допустимого основания законы преобразуют умножение в сложение, что делает логарифм полезным для решения уравнений, содержащих неизвестную в показателе степени.
• Натуральные логарифмы используют основание $e \approx 2.718$ и обозначаются как $\ln$.
• Сложный процент является показательным: $A = P(1 + r)^n$ после $n$ периодов.
• Показательное убывание имеет основание между 0 и 1 и может описывать сохраняемую долю каждого периода при заданных предположениях. Это не гарантирует, что реальный процесс будет следовать этой модели неограниченно долго.

Разбор примера. Повторные уменьшения перемножают, а не вычитают фиксированную величину

Известно: величина начинается со значения 100 единиц и уменьшается на 20% за каждый полный период. Сохранённая доля составляет 0.8, поэтому используйте мультипликативную модель.

Первое уменьшение составляет 20 единиц, второе — 16. Фиксированное вычитание 20 единиц каждый период дало бы другую модель.

Продолжайте работу с практическим листом 1.6. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Более низкая процентная ставка не обязательно означает меньшую общую сумму, а более крупный выборка не гарантирует более репрезентативный результат. Математика II использует явные правила, вычисления и ограничения доказательств для анализа подобных вопросов.

GAC010 охватывает последовательности, финансы, теорию вероятностей и статистику. Текущий план вашего учебного центра определяет задания для оценки, их вес, инструменты и сроки. Тест, проекты, экзамен и курсовая работа могут использовать разные инструкции; эти исходные практические листы не устанавливают их официальный шаблон или кредиты университета.

Покажите известные данные, почему формула применима, символическое уравнение и подстановку. Укажите единицу измерения и интерпретируйте результат. Статистическое резюме описывает определенный набор наблюдений или заявленную модель; оно не автоматически устанавливает причинно-следственную связь или выводы по всему населению.

Все финансовые суммы, ставки, сборы и правила выплат в примерах являются вымышленными учебными условиями. Используйте stated timing and rounding assumptions (указанные предположения относительно сроков округления), а не предполагайте фактические налоговые или кредитные правила.

Последовательность — это упорядоченный список чисел; ряд — это их сумма.

Арифметическая последовательность прибавляет фиксированную общую разность $d$ на каждом шаге. A геометрическая последовательность умножает на фиксированный общий коэффициент $r$.

• Суммы равны $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ и $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ для $r \neq 1$.
• Геометрический ряд с $|r| < 1$ имеет сумму к бесконечности $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
• Отделяйте член от общей суммы. Некоторые финансовые модели используют геометрическое начисление процентов, тогда как другие используют простые проценты или денежные потоки. Соотнесите модель с указанным правилом.

Разобранное решение. количество строк отличается на постоянную величину

Известно: количества строк равны 4, 7 и 10, продолжаясь с той же разностью. Таким образом, $a=4$ и $d=3$. Для пятой строки:

Для первых пяти строк вместе используйте арифметическую сумму, а не пятый член.

Практический лист 2.1 предлагает постепенно усложняющийся набор с разобранными решениями.

Этот модуль представляет собой арифметику обычной жизни на английском языке.

• Валовая зарплата — это то, что вы зарабатываете; чистая зарплата — это то, что приходит после удержаний, таких как налоги и страхование.
• Простой процент равен $I = Prt$ — процент только на первоначальную сумму.
• Сложный процент равен $A = P(1+r)^n$ — процент на процент, поэтому он является геометрическим.
• Амортизация — это снижение зафиксированной стоимости. Фиксированная процентная модель использует $V_n=V_0(1-r)^n$; другие конвенции амортизации могут использовать другие правила.
• Скидка в размере 20% умножает на 0.8. Две последовательные скидки в размерах 20% и 10% умножают на $0.8 \times 0.9 = 0.72$, что составляет снижение на 28%, а не на 30%.

Разобранное решение. рассчитывайте обычные и сверхурочные часы отдельно

Известно: 8 часов по ставке 20 единиц в час и 2 сверхурочных часов по ставке, в 1.5 раза превышающей основную. Разделите две категории перед сложением выплат.

Если вымышленное фиксированное удержание составляет 15 единиц, вычтите его из валовой зарплаты один раз.

Практический лист 2.2 предлагает постепенно усложняющийся набор с разобранными решениями.

• При указанной постоянной ставке дисконтирования и предположении о сроках текущая стоимость будущей суммы равна: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• Аннуитет имеет指定 платежи через равные промежутки времени. График погашения кредита может иметь изменяющиеся суммы или скорректированный окончательный платеж; укажите, comes interest before or after payment (приходят ли проценты до или после платежа).
• Метка APR является мерой годовой ставки, расчет которой и включаемые сборы зависят от указанной конвенции. Этот лист использует явно определенные периодические ставки, а не неизъявленную конвенцию APR.
• ⚠ Номинальная учебная ставка 12% с месячной ставкой 1% имеет эффективный годовой рост $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. Иная частота капитализации или график сборов требуют иного расчета.

Разобранное решение. проценты затем платеж, в таком порядке

Известно: начальное сальдо 1000 единиц, периодическая ставка 2%, конец периода платеж 300 единиц. Проценты приходят перед платежом согласно этой указанной конвенции.

Проценты следующего периода рассчитываются на основе 720, а не первоначального основного долга.

Практический лист 2.3 предлагает постепенно усложняющийся набор с разобранными решениями.

Вероятность измеряет вероятность наступления события по шкале от 0 до 1.

• Для равновероятных исходов, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• События называются взаимоисключающими, когда они не могут произойти одновременно: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• События называются независимыми, когда одно не влияет на другое: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• Правило сопутствия (complement rule), $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, часто является самым быстрым путем к ответу, содержащему «как минимум один».
• Методы подсчета обеспечивают знаменатель: перестановка считает упорядоченные выборки, сочетание считает неупорядоченные.

Условная вероятность равна $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ для $P(B)>0$. Объединение вычитает пересечение: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Ассоциация в предоставленной таблице сама по себе не устанавливает причинно-следственную связь.

Разобранное решение. второй розыск зависит от первого

Известно: два красных и один синий счетчик, два случайных розыска без возвращения. Чтобы получить два красных, следуйте пути красный-красный и перемножьте условные вероятности.

Первый синий оставляет только красные счетчики; путь синий-синий имеет вероятность ноль. Розыски не являются независимыми.

Практический лист 2.4 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

• Генеральная совокупность — это все объекты, которые вы хотите описать; выборка — это те, кого вы фактически измеряете.
• Обобщение на генеральную совокупность требует соответствующей представительной выборки и честного отчета о выборе и отсутствии ответа. Опрос в классе может описать этот класс без установления общешкольного процента.
• Качественные данные — это категории; количественные данные измеряют количества, либо дискретные (подсчетные) или непрерывные (измеряемые).
• Смещение возникает из-за того, кого вы спрашиваете, кто отвечает, и как сформулирован вопрос; арифметика сама по себе не исправляет отсутствующие или систематически выбранные наблюдения.

Разобранный пример. равная высота столбцов может скрывать неравные частоты

Известно: класс от 0 до 10 имеет частоту 20; класс от 10 до 30 имеет частоту 20. Ширина различается, поэтому вычисляется плотность частоты.

Второй столбец вдвое ниже, но вдвое шире. Обе площади представляют 20 наблюдений.

Практический лист 2.5 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Для гистограмм с неравноширокими классами высота равна частоте, деленной на ширину класса, чтобы площадь столбца представляла частоту. Держите категории на отдельных столбцах, а числовые непрерывные интервалы — на гистограмме.

• Среднее арифметическое — это сумма, деленная на количество. Оно использует каждое значение и каждый выброс.
• Медиана — это среднее значение в упорядоченном ряду. Изменение крайнего значения без изменения упорядоченной середины может не изменить медиану.
• Мода — это наиболее часто встречающееся значение, и она может определить наиболее частую категорию без навязывания числовой шкалы. Распределение может иметь более одной моды или не иметь уникальной моды.
• ⚠ Выберите сводку для вопроса. Высокий экстремум может сдвинуть среднее выше медианы. Среднее все еще измеряет сумму на наблюдение; медиана локализует упорядоченную середину. Ни одно из них не говорит о том, что большинство наблюдений равно ему.

Разобранный пример. размер группы определяет объединенное среднее

Известно: группа A имеет 10 оценок со средним 60; группа B имеет 20 со средним 75. Восстановите сумму каждой группы перед объединением.

Невзвешенное среднее значений 60 и 75 составило бы 67.5, что игнорирует неравное количество элементов.

Практический лист 2.6 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

• Размах — это максимальное минус минимальное — полный диапазон, поэтому экстремум может значительно его изменить.
• Межквартильный размах (IQR) — это разница $Q_3-Q_1$, охватывающая центральную половину согласно указанному правилу квартилей. Ящик с усами показывает квартили и медиану, при этом правила «усов» должны быть указаны.
• Стандартное отклонение обобщает разброс, используя квадратичные отклонения. Для полной генеральной совокупности используйте: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. Оценка выборки использует $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ согласно указанному правилу. Дисперсия имеет квадраты единиц измерения; стандартное отклонение имеет исходные единицы измерения.
• Большее стандартное отклонение означает больший разброс. Два набора данных могут иметь одинаковое среднее и описывать совершенно разные ситуации.

Разобранный пример. прочитайте пятизначную сводку вместо каждого наблюдения

Известна пятизначная сводка: минимум 2, $Q_1=4$, медиана 6, $Q_3=8$, максимум 12. Общий диапазон и диапазон центральной половины различаются.

Ящик не идентифицирует каждое исходное значение, размер выборки или причину возникновения разброса.

Практический лист 2.7 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Для листа 2.7 квартили являются медианами упорядоченных половин списков, исключая общую медиану для нечетного количества. Усы идут до минимума и максимума. Не смешивайте это правило с интерполированными программным обеспечением квартилями или усами пороговых значений для выбросов.

• Нормальное распределение — это непрерывная симметричная колоколообразная модель, заданная своим средним и положительным стандартным отклонением. Эти две сводки сами по себе не устанавливают, что наблюдаемые данные следуют этой модели.
• При нормальном распределении приближенное эмпирическое правило гласит: около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% в пределах двух, и 99.7% — в пределах трёх.
• Z-оценка говорит, на сколько стандартных отклонений значение находится от среднего: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, что позволяет сравнивать различные шкалы.

Для нормальной модели используйте кумулятивную вероятность $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ и симметрию $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. Интервал вычитает свои два кумулятивных предела. Ожидаемое количество равно размеру выборки, умноженному на вероятность, и не обязательно является целым числом; наблюдаемое количество — целое число.

Разобранный пример. порог — это вероятность за пределами стандартизированного значения

Известно: вымышленная модель измерений имеет $\mu=50$ и $\sigma=10$. Для значений выше 60 стандартизируйте порог.

Используйте дополнение предоставленной кумулятивной вероятности.

Это модельная вероятность, а не гарантия того, что ровно 15.87% конечной выборки превысит 60.

Практический лист 2.8 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Средняя скорость не рассказывает вам о каждой мгновенной скорости, а направленное перемещение не всегда равно полному пути. Математический анализ делает эти distinctions точными.

GAC016 охватывает дифференцирование, интегрирование и их приложения. Текущее задание вашего учебного центра определяет задачи оценки и критерии выставления оценок; эти оригинальные практические листы не являются основанием для принятия решения о зачете в университете или официальным образцом экзамена.

Укажите независимую переменную, область определения и единицы измерения. Обозначение $dy/dx$ — это производная по x; точка над y обычно обозначает производную по времени. Эти обозначения описывают одну и ту же операцию только тогда, когда их независимые переменные совпадают.

Для приложений опишите, что означает скорость или накопленное значение в указанной модели. Отрицательная скорость изменения объема 3 кубических сантиметра в секунду означает, что объем уменьшается с этой скоростью, а не то, что сам объем отрицателен.

Производная — это скорость изменения: как быстро $y$ изменяется при изменении $x$. Геометрически она является угловым коэффициентом касательной в данной точке.

Это предел является определением. Дифференцирование из первых принципов использует разностное отношение для ненулевого h, а затем вычисляет его предел. Неравенство односторонних пределов, например, для $|x|$ в нуле, препятствует существованию производной даже если функция непрерывна.

• Правило дифференцирования степенной функции на области определения, где степень дифференцируема: если $y = x^n$, то $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• Правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
• Правило дифференцирования частного, где $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Правило дифференцирования сложной функции: если $y = f(g(x))$, то $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Стационарные точки возникают там, где $f'(x) = 0$. Вторая производная затем классифицирует стационарную точку, если она nonzero: отрицательное значение дает локальный максимум, положительное — локальный минимум. Нулевая вторая производная не дает однозначного ответа; используйте знаки производной или другие доказательства. Стационарная точка перегиба может быть ни экстремумом, ни максимумом/минимумом.

Разобранное решение. угловой коэффициент касательной отличается от углового коэффициента секущей

Известно: $f(x)=x^2$. Секущая между x равным 1 и 2 имеет угловой коэффициент 3, но производная в точке x равном 1 равна 2.

Средний угловой коэффициент на конечном интервале не обязательно равен мгновенному угловому коэффициенту ни на одном из концов интервала.

Используйте оригинальный практический лист 3.1 для проверки метода, области определения и интерпретации по сравнению с его решениями.

Неопределенное интегрирование находит первообразные. Определенное интегрирование измеряет знаконакопленную величину, которая может отличаться от геометрической площади. Для непрерывного подынтегрального выражения фундаментальная теорема математического анализа связывает определенный интеграл с разностью значений первообразных на его границах.

• Неопределенный интеграл не имеет границ и требует константы интегрирования : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ для $n \neq -1$.
• Определенный интеграл имеет границы и дает число: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Интегрирование заменой обратимо правилу дифференцирования сложной функции.
• ⚠ Забытая $+c$ в неопределенном интеграле — самая частая потеря баллов в модуле, и она происходит на вопросах, которые иначе были бы решены правильно.

Разобранное решение. отрицательные и положительные площади могут взаимно уничтожаться

Известно: $f(x)=x$ от -1 до 1. Его определенный интеграл равен нулю, потому что отрицательные и положительные вклады взаимно компенсируются.

Геометрическая площадь вместо этого складывает модули двух треугольных областей.

Используйте оригинальный практический лист 3.2 для проверки метода, области определения и интерпретации по сравнению с его решениями.

• Оптимизация находит наибольшее или наименьшее значение величины: запишите величину как функцию одной переменной на указанной допустимой области, продифференцируйте, найдите кандидатов и обоснуйте требуемый оптимум. Проверяйте включенные границы и ограничения на целочисленность, где это уместно.
• Скорости изменения связаны цепочкой: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Площадь между двумя кривыми равна $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$, где $f$ — верхняя кривая на всем этом интервале. Разбивайте на части в точках пересечения, если их порядок меняется.
• Предельные затраты и выручка являются производными от указанных непрерывных моделей затрат и выручки. Это мгновенные скорости, а не автоматически точные дискретные изменения на единицу продукции.

Разобранное решение. фиксированный периметр оставляет одну переменную площади

Известно: прямоугольник имеет периметр 20, поэтому длина плюс ширина равны 10. Пусть ширина будет x; длина составляет $10-x$, а $0.

Стационарный кандидат составляет $x=5$. Поскольку $A''(x)=-2<0$ и площадь стремятся к нулю на обоих концах области определения, этот кандидат является глобальным максимумом. Это квадрат 5 на 5 с площадью 25.

Используйте оригинальный практический лист 3.3 для проверки метода, области определения и интерпретации по сравнению с его решениями.

Повторяющийся элемент множества считается один раз, двоичный перенос может превышать фиксированную ширину, а маршрут с наименьшим количеством ребер может иметь не самый маленький вес. Дискретная математика делает эти правила явными.

GAC024 охватывает множества, системы счета, двоичную логику, алгоритмы и сети. Текущее задание вашего учебного центра определяет задачи оценки, инструменты, веса и сроки. Эти оригинальные практические листы не устанавливают официальных правил оценивания или решения о зачете в университете.

Укажите универсум, ширину представления, допустимые входные данные или предположения о графе перед решением. Покажите достаточно работы, чтобы другой читатель мог воспроизвести результат и отличить математическую модель от её реальной реализации.

• Множество — это совокупность различных объектов. Порядок и повторения не имеют значения.
• Объединение $A \cup B$ — это всё, что находится в любом из них; пересечение $A \cap B$ — это то, что находится в обоих; дополнение множества — это всё, что находится в указанном универсуме, но вне множества.
• Подмножество содержит все свои элементы внутри другого множества.
• Отношение связывает элементы двух множеств. Функция — это отношение, в котором каждому элементу из заданной области определения соответствует ровно один результат. Различные входные значения могут иметь общий результат; обратное отношение является функцией только тогда, когда результаты однозначно идентифицируют свои входные значения.
• Диаграмма Венна превращает задачу о множествах в изображение и может показать непересекающиеся области и их количества. Убедитесь, что эти области в сумме дают общее количество элементов универсального множества.

Принцип включений-исключений вычитает пересечение, посчитанное дважды, один раз: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Разобранное решение. вычтите пересечение только один раз

Известно: 30 учеников, 18 изучают французский, 15 — немецкий, и 7 — оба. Пересечение включено в оба предметных итога.

Только французский составляет $18-7=11$, а только немецкий — $15-7=8$. Четыре непересекающиеся области в сумме дают 30.

Практический листок 4.1 содержит задачи возрастающей сложности и решения, проверенные независимо.

• Позиционная основание системы счисления b использует цифры от нуля до b минус один и весовые позиции $b^i$. Десятичная система использует десять, двоичная две, шестнадцатеричная — шестнадцать.
• Значение каждой цифры определяется её разрядным значением: в двоичной системе разряды равны 1, 2, 4, 8, 16 и так далее.
• Шестнадцатеричная запись — это сокращённая форма для двоичной: одна шестнадцатеричная цифра точно соответствует четырем битам, поэтому преобразование может группировать бинарный паттерн указанной ширины на блоки по четыре бита. Ведущие нули сохраняют ширину, не изменяя при этом беззнаковое значение.

Для n беззнаковых битов значения варьируются от нуля до $2^n-1$. Отличайте unrestricted sum (неограниченную сумму) от сохранённого результата фиксированной ширины; правило обхода границ, если оно явно указано, сохраняет младшие n бит.

Разобранное решение. весовые позиции определяют десятичное значение

Известный numeral (число) $1101_2$. Используйте веса справа налево: 1, 2, 4 и 8.

То же самое значение записывается как D в шестнадцатеричной системе. Ведущие нули не изменили бы это неотрицательное значение, но могут зафиксировать intended width (запланированную ширину).

Практический листок 4.2 содержит задачи возрастающей сложности и решения, проверенные независимо.

• Двоичная арифметика складывается аналогично десятичной, с переносом при 2 вместо 10.
• Бит — это одна двоичная цифра; байт состоит из восьми бит.
• Булева алгебра работает с истиной и ложью с помощью операций AND, OR и NOT.
• Таблица истинности перечисляет все комбинации булевых входов и выходов. Совпадение каждой строки доказывает эквивалентность для одних и тех же конечных булевых входов; это не доказывает временные характеристики физической схемы или безопасность реальных систем.
• Логические вентили реализуют указанные операции, а логическая схема соединяет их. Отслеживайте абстрактную логику согласно соединениям и конвенциям входа.

Используйте инклюзивное OR и явные скобки. Закон де Моргана даёт $\neg(A\land B)=(\neg A)\lor(\neg B)$. побитовое NOT инвертирует только указанную ширину, а не неопределённое бесконечное представление.

Разобранное решение. выход OR инвертируется через NOT

Известно: $Y=\neg(A\lor B)$. Инклюзивное OR ложно только тогда, когда оба входа ложны; NOT инвертирует этот результат. В порядке строк $(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ столбец вывода равен 1, 0, 0, 0. Закон де Моргана даёт эквивалентное выражение $(\neg A)\land(\neg B)$.

Практический листок 4.3 содержит задачи возрастающей сложности и решения, проверенные независимо.

• Алгоритм описывает однозначные шаги для выполнения задачи. Процедура, решающая указанную конечную задачу, должна завершиться и дать требуемый результат для своих допустимых входов.
• Блок-схема изображает его: решение обозначается ромбом, процесс — прямоугольником.
• Псевдокод представляет его шаги без требования конкретного языка реализации. Укажите присваивание состояний, границы циклов и конвенции индексации перед отслеживанием.
• Отслеживание алгоритма — таблица с одним столбцом на переменную и одной строкой на шаг — фиксирует фактические обновления. Отслеживание проверяет выбранный вход; утверждение для всех допустимых входов также требует доказательства корректности.
• Эффективность имеет значение: линейный поиск может остановиться раньше, но может проверить все n элементов. Бинарный поиск многократно отбрасывает половину упорядоченного диапазона поиска; его логарифмическое количество сравнений требует отсортированных данных и конвенций границ.

Разобранное решение. повторяйте шаг остатка, пока второе число не станет равно нулю

Известно: начните с положительных целых чисел a, равного 10, и b, равного 6. Пока b не равно нулю, вычисляйте r как a MOD b, затем устанавливайте a равным b, а b равным r. Пары после полных итераций: (6,4), (4,2), (2,0), дающие вывод 2. Временная переменная r сохраняет остаток до изменения a и b. Каждый ненулевой остаток меньше предыдущего положительного b, что подтверждает завершение работы.

Практический листок 4.4 содержит задачи возрастающей сложности и решения, проверенные независимо.

• Граф — это множество вершин, соединённых рёбрами. Он моделирует любое явление с связями: дороги, дружеские отношения, зависимости.
• Для простого неориентированного графа без петель и кратных рёбер степень вершины считает инцидентные рёбра. Каждое ребро добавляет два к общей сумме степеней.
• Дерево — это связный граф без циклов, и конечное дерево с n вершинами имеет n минус 1 рёбер. Некоторые иерархические модели используют деревья, но реальные системы также могут содержать перекрёстные связи или циклы.
• Задача о кратчайшем пути требует найти маршрут с наименьшей суммарной стоимостью между двумя вершинами, исходя из общего веса при заданных ограничениях, а не только по количеству рёбер. Минимальное остовное дерево, напротив, соединяет все вершины без циклов и минимизирует суммарный вес включённых рёбер.

Разбор примера. Сравнивайте суммарный вес маршрута, а не количество рёбер

Известные веса рёбер: AB = 2, BC = 3, AC = 8 и CD = 1. Путь A-C-D имеет вес 9, тогда как A-B-C-D — вес 6. Следовательно, путь из трёх рёбер короче по весу, несмотря на большее количество рёбер. Минимальное остовное дерево для этой небольшой сети использует рёбра AB, BC и CD с общим весом 6; совпадение итогов здесь не делает задачи идентичными.

Практический листок 4.5 содержит постепенно усложняющиеся задачи и проверенные решения.