IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨Предпросмотр листа⁩

GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance · ⁨GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы⁩

GAC Mathematics · ⁨GAC Математика⁩ · Topic 2 · ⁨Тема 2⁩

Train · ⁨Тренировать⁩
2.1

What this module is, and how it is marked · ⁨Что представляет собой этот модуль и как он оценивается⁩
English

A cheaper headline rate need not produce the cheaper total, and a larger survey need not produce a more representative result. Mathematics II uses explicit rules, calculations and evidence limits to examine such questions.

GAC010 covers sequences, finance, probability and statistics. Your centre's current brief determines assessment tasks, weights, tools and deadlines. A test 测验, projects 项目, an examination 考试 and coursework 平时作业 may use different instructions; these original practice sheets do not establish their official pattern or university credit.

Show the known data, why the formula applies, the symbolic equation and the substitution. State the unit and interpret the result. A statistical summary describes a defined set of observations or a stated model; it does not automatically establish a cause or a whole-population finding.

All financial amounts, rates, fees and pay rules in the examples are invented teaching conditions. Use their stated timing and rounding assumptions rather than assuming an actual tax or lending rule.

Русский

Более низкая процентная ставка не обязательно означает меньшую общую сумму, а более крупный выборка не гарантирует более репрезентативный результат. Математика II использует явные правила, вычисления и ограничения доказательств для анализа подобных вопросов.

GAC010 охватывает последовательности, финансы, теорию вероятностей и статистику. Текущий план вашего учебного центра определяет задания для оценки, их вес, инструменты и сроки. Тест, проекты, экзамен и курсовая работа могут использовать разные инструкции; эти исходные практические листы не устанавливают их официальный шаблон или кредиты университета.

Покажите известные данные, почему формула применима, символическое уравнение и подстановку. Укажите единицу измерения и интерпретируйте результат. Статистическое резюме описывает определенный набор наблюдений или заявленную модель; оно не автоматически устанавливает причинно-следственную связь или выводы по всему населению.

Все финансовые суммы, ставки, сборы и правила выплат в примерах являются вымышленными учебными условиями. Используйте stated timing and rounding assumptions (указанные предположения относительно сроков округления), а не предполагайте фактические налоговые или кредитные правила.

2.1

Sequences and series · ⁨Последовательности и ряды⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 1 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

Module purpose: On completion of this module, students should be able to apply a basic knowledge of the principles of probability and statistics to solving and analysing common financial problems.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.1: Solve problems using arithmetic and geometric sequences and series.

Русский

Раздел 1 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Цель модуля: По завершении этого модуля учащиеся должны уметь применять базовые знания принципов теории вероятностей и статистики для решения и анализа типичных финансовых задач.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.1: Решать задачи с использованием арифметических и геометрических последовательностей и рядов.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

A sequence 数列 is an ordered list of numbers; a series 级数 is their sum.

An arithmetic sequence 等差数列 adds a fixed common difference 公差 $d$ each step. A geometric sequence 等比数列 multiplies by a fixed common ratio 公比 $r$.

$$u_n = a + (n-1)d \qquad\text{and}\qquad u_n = ar^{\,n-1}$$
  • The sums are $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ and $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ for $r \neq 1$.
  • A geometric series with $|r| < 1$ has a sum to infinity 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
  • Keep a term separate from a total. Some financial models compound geometrically, while others use simple interest or cash flows. Match the model to the specified rule.

Worked example. row counts differ by a constant amount

Known: row counts are 4, 7 and 10, continuing with the same difference. Thus $a=4$ and $d=3$. For the fifth row:

$$u_n=a+(n-1)d$$
$$u_5=4+(5-1)(3)=16$$

For the first five rows together, use the arithmetic sum, not the fifth term.

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$
$$S_5=\frac52[2(4)+(5-1)(3)]=50$$

Practice sheet 2.1 gives a progressively harder set with worked solutions.

Русский

Последовательность — это упорядоченный список чисел; ряд — это их сумма.

Арифметическая последовательность прибавляет фиксированную общую разность $d$ на каждом шаге. A геометрическая последовательность умножает на фиксированный общий коэффициент $r$.

$$u_n = a + (n-1)d \qquad\text{and}\qquad u_n = ar^{\,n-1}$$
  • Суммы равны $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ и $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ для $r \neq 1$.
  • Геометрический ряд с $|r| < 1$ имеет сумму к бесконечности $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
  • Отделяйте член от общей суммы. Некоторые финансовые модели используют геометрическое начисление процентов, тогда как другие используют простые проценты или денежные потоки. Соотнесите модель с указанным правилом.

Разобранное решение. количество строк отличается на постоянную величину

Три строки содержат 4, 7 и 10 точек, иллюстрируя постоянную разность 3.

Известно: количества строк равны 4, 7 и 10, продолжаясь с той же разностью. Таким образом, $a=4$ и $d=3$. Для пятой строки:

$$u_n=a+(n-1)d$$
$$u_5=4+(5-1)(3)=16$$

Для первых пяти строк вместе используйте арифметическую сумму, а не пятый член.

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$
$$S_5=\frac52[2(4)+(5-1)(3)]=50$$

Практический лист 2.1 предлагает постепенно усложняющийся набор с разобранными решениями.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
English Русский
test/test/ тест
projects/ˈprɒdʒekts/ хосты
examination/eɡˌzæmɪˈneɪʃn/ экзамен
coursework/ˈkɔːsjuːɜːk/ Практическая работа
sequence/ˈsiːkwəns/ последовательность
series/ˈsɪəriːz/ последовательно
arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ арифметическая прогрессия
common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ общая разность
geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ геометрическая прогрессия
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ общий знаменатель
sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ сумма бесконечного ряда
Gross pay/ɡrəʊs peɪ/ Валовая зарплата
net pay/net peɪ/ чистый доход
deductions/dɪˈdʌkʃnz/ удержания
Simple interest/ˈsɪmpl ˈɪntrest/ Простой процент
Depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ Амортизация
discount/ˈdɪskaʊnt/ скидка
present value/ˈprezənt ˈvæljuː/ текущая стоимость
annuity/əˈnjuːɪti/ рента
loan repayment/ləʊn rɪˈpeɪmənt/ погашение кредита
2.2

Finance: earning money and purchasing goods · ⁨Финансы: заработок денег и покупка товаров⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 2 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.2: Apply algebraic methods to solve financial problems and analyse information.

Русский

Раздел 2 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.2: Применять алгебраические методы для решения финансовых задач и анализа информации.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

This unit is the arithmetic of an ordinary life, in English.

  • Gross pay 税前工资 is what you earn; net pay 税后工资 is what arrives after deductions 扣除项 such as tax and insurance.
  • Simple interest 单利 is $I = Prt$ — interest on the original amount only.
  • Compound interest is $A = P(1+r)^n$ — interest on the interest, which is why it is geometric.
  • Depreciation 折旧 is a reduction in recorded value. A fixed-percentage model uses $V_n=V_0(1-r)^n$; other depreciation conventions can use different rules.
  • A discount 折扣 of 20% multiplies by 0.8. Two successive discounts of 20% and 10% multiply by $0.8 \times 0.9 = 0.72$, which is a 28% reduction, not 30%.

Worked example. calculate regular and overtime hours separately

Known: 8 hours at 20 units per hour and 2 overtime hours at 1.5 times that rate. Separate the two categories before adding pay.

$$G=h_rp+h_okp$$
$$G=8(20)+2(1.5)(20)=220\ \text{units}$$

If the invented fixed deduction is 15 units, take it from gross pay once.

$$N=G-D=220-15=205\ \text{units}$$

Practice sheet 2.2 gives a progressively harder set with worked solutions.

Русский

Этот модуль представляет собой арифметику обычной жизни на английском языке.

  • Валовая зарплата — это то, что вы зарабатываете; чистая зарплата — это то, что приходит после удержаний, таких как налоги и страхование.
  • Простой процент равен $I = Prt$ — процент только на первоначальную сумму.
  • Сложный процент равен $A = P(1+r)^n$ — процент на процент, поэтому он является геометрическим.
  • Амортизация — это снижение зафиксированной стоимости. Фиксированная процентная модель использует $V_n=V_0(1-r)^n$; другие конвенции амортизации могут использовать другие правила.
  • Скидка в размере 20% умножает на 0.8. Две последовательные скидки в размерах 20% и 10% умножают на $0.8 \times 0.9 = 0.72$, что составляет снижение на 28%, а не на 30%.

Разобранное решение. рассчитывайте обычные и сверхурочные часы отдельно

Разобранный платежный документ разделяет 8 обычных часов и 2 сверхурочных часа с соответствующими ставками.

Известно: 8 часов по ставке 20 единиц в час и 2 сверхурочных часов по ставке, в 1.5 раза превышающей основную. Разделите две категории перед сложением выплат.

$$G=h_rp+h_okp$$
$$G=8(20)+2(1.5)(20)=220\ \text{units}$$

Если вымышленное фиксированное удержание составляет 15 единиц, вычтите его из валовой зарплаты один раз.

$$N=G-D=220-15=205\ \text{units}$$

Практический лист 2.2 предлагает постепенно усложняющийся набор с разобранными решениями.

2.3

Finance: investing money and loans · ⁨Финансы: инвестиции и кредиты⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 3 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.2: Apply algebraic methods to solve financial problems and analyse information.

Русский

Раздел 3 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.2: Применять алгебраические методы для решения финансовых задач и анализа информации.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English
  • Under a stated constant discount rate and timing assumption, the present value 现值 of a future amount is: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
  • An annuity 年金 has specified payments at regular intervals. A loan repayment 贷款还款 schedule may instead have changing amounts or an adjusted final payment; specify whether interest comes before or after payment.
  • The label APR 年利率 is an annual rate measure whose calculation and included charges depend on the stated convention. This sheet uses explicitly defined period rates, not an unstated APR convention.
  • ⚠ A nominal 12% teaching rate with monthly rate 1% has effective annual growth $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. A different compounding frequency or fee schedule needs a different calculation.

Worked example. interest then payment, in that order

Known: opening balance 1000 units, period rate 2%, end-of-period payment 300 units. Interest comes before payment under this stated convention.

$$B_1=B_0(1+r)-M$$
$$B_1=1000(1.02)-300=720$$

The next period's interest uses 720, not the original principal.

$$B_2=B_1(1+r)-M=720(1.02)-300=434.40$$

Practice sheet 2.3 gives a progressively harder set with worked solutions.

Русский
  • При указанной постоянной ставке дисконтирования и предположении о сроках текущая стоимость будущей суммы равна: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
  • Аннуитет имеет指定 платежи через равные промежутки времени. График погашения кредита может иметь изменяющиеся суммы или скорректированный окончательный платеж; укажите, comes interest before or after payment (приходят ли проценты до или после платежа).
  • Метка APR является мерой годовой ставки, расчет которой и включаемые сборы зависят от указанной конвенции. Этот лист использует явно определенные периодические ставки, а не неизъявленную конвенцию APR.
  • ⚠ Номинальная учебная ставка 12% с месячной ставкой 1% имеет эффективный годовой рост $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$. Иная частота капитализации или график сборов требуют иного расчета.

Разобранное решение. проценты затем платеж, в таком порядке

Движение средств за период займа берет начальное сальдо 1000, добавляет 2% процентов, затем вычитает платеж 300.

Известно: начальное сальдо 1000 единиц, периодическая ставка 2%, конец периода платеж 300 единиц. Проценты приходят перед платежом согласно этой указанной конвенции.

$$B_1=B_0(1+r)-M$$
$$B_1=1000(1.02)-300=720$$

Проценты следующего периода рассчитываются на основе 720, а не первоначального основного долга.

$$B_2=B_1(1+r)-M=720(1.02)-300=434.40$$

Практический лист 2.3 предлагает постепенно усложняющийся набор с разобранными решениями.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
English Русский
APR/ˌeɪ piː ˈɑː/ годовая процентная ставка
2.4

Probability: key concepts · ⁨Вероятность: ключевые концепции⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 4 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.3: Solve problems using probability and counting techniques.

Русский

Раздел 4 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.3: Решать задачи с использованием методов теории вероятностей и комбинаторики.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English

Probability 概率 measures how likely an event is, on a scale from 0 to 1.

  • For equally likely outcomes, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
  • Events are mutually exclusive 互斥 when they cannot both happen: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
  • Events are independent 独立 when one does not affect the other: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
  • The complement 对立事件 rule, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, is often the fastest route to an answer containing "at least one".
  • Counting techniques 计数方法 supply the denominator: a permutation 排列 counts ordered selections, a combination 组合 counts unordered ones.

Conditional probability is $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ for $P(B)>0$. A union subtracts its overlap: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Association in a supplied table does not by itself establish a cause.

Worked example. a second draw depends on the first

Known: two red and one blue counter, two random draws without replacement. To get two reds, follow the red-red path and multiply its conditional probabilities.

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
$$P(RR)=\frac23\times\frac12=\frac13$$

A first blue leaves only red counters; the blue-blue path has probability zero. The draws are not independent.

Practice sheet 2.4 gives a progressively harder set with worked solutions.

Русский

Вероятность измеряет вероятность наступления события по шкале от 0 до 1.

  • Для равновероятных исходов, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
  • События называются взаимоисключающими, когда они не могут произойти одновременно: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
  • События называются независимыми, когда одно не влияет на другое: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
  • Правило сопутствия (complement rule), $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, часто является самым быстрым путем к ответу, содержащему «как минимум один».
  • Методы подсчета обеспечивают знаменатель: перестановка считает упорядоченные выборки, сочетание считает неупорядоченные.

Условная вероятность равна $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ для $P(B)>0$. Объединение вычитает пересечение: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Ассоциация в предоставленной таблице сама по себе не устанавливает причинно-следственную связь.

Разобранное решение. второй розыск зависит от первого

Дерево вероятностей с двумя извлечениями для мешка с двумя красными и одним синим маркером, без возвращения, обозначает условные вероятности второго извлечения.

Известно: два красных и один синий счетчик, два случайных розыска без возвращения. Чтобы получить два красных, следуйте пути красный-красный и перемножьте условные вероятности.

$$P(RR)=P(R_1)P(R_2\mid R_1)$$
$$P(RR)=\frac23\times\frac12=\frac13$$

Первый синий оставляет только красные счетчики; путь синий-синий имеет вероятность ноль. Розыски не являются независимыми.

Практический лист 2.4 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
English Русский
Probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ Вероятность
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ взаимоисключающие
independent/ˌɪndɪˈpendənt/ независимы
complement/ˈkɒmplɪmənt/ дополнением
Counting techniques/ˈkaʊntɪŋ tekˈniːks/ методы подсчета
permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ перестановка
combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ комбинации
population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ населением
sample/ˈsæmpl/ выборка
representative/ˌreprɪˈzentətɪv/ репрезентативную
Qualitative data/ˈkwɒlɪteɪtɪv ˈdeɪtə/ качественные данные
quantitative data/ˈkwɒntɪteɪtɪv ˈdeɪtə/ количественные данные
discrete/dɪˈskriːt/ дискретная
continuous/kənˈtɪnjuːəs/ непрерывными
Bias/ˈbaɪəs/ Предвзятость
mean/miːn/ среднее значение
median/ˈmiːdiːən/ медианой
mode/məʊd/ модой
range/reɪndʒ/ область значений
interquartile range (IQR)/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ межквартильный размах (МQR)
box plot/bɒks plɒt/ ящик с усами
standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ стандартное отклонение
2.5

Statistics: collecting and displaying data · ⁨Статистика: сбор и представление данных⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 5 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Русский

Раздел 5 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.4: Анализировать собранные данные с помощью статистических методов.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English
  • A population 总体 is everyone you want to describe; a sample 样本 is who you actually measure.
  • Generalising to a population needs a suitably representative 有代表性的 sample and an honest account of selection and nonresponse. A class survey can describe that class without establishing a school-wide percentage.
  • Qualitative data 定性数据 are categories; quantitative data 定量数据 measure amounts, either discrete 离散 (counted) or continuous 连续 (measured).
  • Bias 偏差 enters through who you ask, who answers, and how the question is worded, and arithmetic alone does not repair missing or systematically selected observations.

Worked example. equal bar heights can conceal unequal frequencies

Known: class 0 to 10 has frequency 20; class 10 to 30 has frequency 20. Widths differ, so calculate frequency density.

$$D=\frac f w$$
$$D_1=\frac{20}{10}=2$$
$$D_2=\frac{20}{20}=1$$

The second bar is half as high but twice as wide. Both areas represent 20 observations.

Practice sheet 2.5 gives a progressively harder set with worked solutions.

For unequal-width histogram classes, height is frequency divided by class width so that bar area represents frequency. Keep categories in separated bars and numeric continuous intervals in a histogram.

Русский
  • Генеральная совокупность — это все объекты, которые вы хотите описать; выборка — это те, кого вы фактически измеряете.
  • Обобщение на генеральную совокупность требует соответствующей представительной выборки и честного отчета о выборе и отсутствии ответа. Опрос в классе может описать этот класс без установления общешкольного процента.
  • Качественные данные — это категории; количественные данные измеряют количества, либо дискретные (подсчетные) или непрерывные (измеряемые).
  • Смещение возникает из-за того, кого вы спрашиваете, кто отвечает, и как сформулирован вопрос; арифметика сама по себе не исправляет отсутствующие или систематически выбранные наблюдения.

Разобранный пример. равная высота столбцов может скрывать неравные частоты

Гистограмма имеет интервалы от 0 до 10 и от 10 до 30 с плотностями 2 и 1; их площади каждая представляют частоту 20.

Известно: класс от 0 до 10 имеет частоту 20; класс от 10 до 30 имеет частоту 20. Ширина различается, поэтому вычисляется плотность частоты.

$$D=\frac f w$$
$$D_1=\frac{20}{10}=2$$
$$D_2=\frac{20}{20}=1$$

Второй столбец вдвое ниже, но вдвое шире. Обе площади представляют 20 наблюдений.

Практический лист 2.5 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Для гистограмм с неравноширокими классами высота равна частоте, деленной на ширину класса, чтобы площадь столбца представляла частоту. Держите категории на отдельных столбцах, а числовые непрерывные интервалы — на гистограмме.

2.6

Statistics: measures of central location · ⁨Статистика: меры центрального расположения⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 6 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Русский

Раздел 6 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.4: Анализировать собранные данные с помощью статистических методов.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English
  • The mean 平均数 is the total divided by the count. It uses every value, and every outlier.
  • The median 中位数 is the middle value in order. Moving an extreme value without changing the ordered middle may leave it unchanged.
  • The mode 众数 is the most frequent value, and it can identify the most frequent category without imposing a numerical scale. A distribution may have more than one mode or no unique mode.
  • ⚠ Choose the summary for the question. A high extreme can pull the mean above the median. The mean still measures total per observation; the median locates the ordered middle. Neither says that most observations equal it.

Worked example. group size determines a combined mean

Known: group A has 10 scores with mean 60; group B has 20 with mean 75. Recover each group's total before combining.

$$\bar x=\frac{n_A\bar x_A+n_B\bar x_B}{n_A+n_B}$$
$$\bar x=\frac{10(60)+20(75)}{10+20}=70$$

The unweighted mean of 60 and 75 would be 67.5, which ignores the unequal counts.

Practice sheet 2.6 gives a progressively harder set with worked solutions.

Русский
  • Среднее арифметическое — это сумма, деленная на количество. Оно использует каждое значение и каждый выброс.
  • Медиана — это среднее значение в упорядоченном ряду. Изменение крайнего значения без изменения упорядоченной середины может не изменить медиану.
  • Мода — это наиболее часто встречающееся значение, и она может определить наиболее частую категорию без навязывания числовой шкалы. Распределение может иметь более одной моды или не иметь уникальной моды.
  • ⚠ Выберите сводку для вопроса. Высокий экстремум может сдвинуть среднее выше медианы. Среднее все еще измеряет сумму на наблюдение; медиана локализует упорядоченную середину. Ни одно из них не говорит о том, что большинство наблюдений равно ему.

Разобранный пример. размер группы определяет объединенное среднее

Две группы дают разные суммы: 10 учеников со средним 60 и 20 учеников со средним 75.

Известно: группа A имеет 10 оценок со средним 60; группа B имеет 20 со средним 75. Восстановите сумму каждой группы перед объединением.

$$\bar x=\frac{n_A\bar x_A+n_B\bar x_B}{n_A+n_B}$$
$$\bar x=\frac{10(60)+20(75)}{10+20}=70$$

Невзвешенное среднее значений 60 и 75 составило бы 67.5, что игнорирует неравное количество элементов.

Практический лист 2.6 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

2.7

Statistics: measures of variability · ⁨Статистика: меры изменчивости⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 7 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.4: Analyse collected data using statistical methods.

Русский

Раздел 7 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.4: Анализировать собранные данные с помощью статистических методов.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English
  • The range 全距 is the largest minus the smallest — the full span, so an extreme can change it substantially.
  • The interquartile range (IQR) 四分位距 is the difference $Q_3-Q_1$ spanning the central half by the stated quartile convention. A box plot 箱线图 shows quartiles and a median, with whisker rules that must be specified.
  • The standard deviation 标准差 summarises spread using squared deviations. For a complete population, use: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. A sample estimate uses $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ under that stated convention. Variance has squared units; standard deviation has the original units.
  • A larger standard deviation means a wider spread. Two data sets can share a mean and describe completely different situations.

Worked example. read a five-number summary rather than every observation

Known five-number summary: minimum 2, $Q_1=4$, median 6, $Q_3=8$, maximum 12. The overall span and middle-half span are different.

$$R=x_{max}-x_{min}=12-2=10$$
$$IQR=Q_3-Q_1=8-4=4$$

The box does not identify every original value, the sample size or why the spread arose.

Practice sheet 2.7 gives a progressively harder set with worked solutions.

For sheet 2.7, quartiles are medians of ordered half-lists, excluding the overall median for an odd count. Whiskers run to the minimum and maximum. Do not mix that convention with software interpolated quartiles or outlier-fence whiskers.

Русский
  • Размах — это максимальное минус минимальное — полный диапазон, поэтому экстремум может значительно его изменить.
  • Межквартильный размах (IQR) — это разница $Q_3-Q_1$, охватывающая центральную половину согласно указанному правилу квартилей. Ящик с усами показывает квартили и медиану, при этом правила «усов» должны быть указаны.
  • Стандартное отклонение обобщает разброс, используя квадратичные отклонения. Для полной генеральной совокупности используйте: $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$. Оценка выборки использует $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ согласно указанному правилу. Дисперсия имеет квадраты единиц измерения; стандартное отклонение имеет исходные единицы измерения.
  • Большее стандартное отклонение означает больший разброс. Два набора данных могут иметь одинаковое среднее и описывать совершенно разные ситуации.

Разобранный пример. прочитайте пятизначную сводку вместо каждого наблюдения

Ящик с усами от минимума до максимума отмечает минимум 2, первый квартиль 4, медиану 6, третий квартиль 8 и максимум 12.

Известна пятизначная сводка: минимум 2, $Q_1=4$, медиана 6, $Q_3=8$, максимум 12. Общий диапазон и диапазон центральной половины различаются.

$$R=x_{max}-x_{min}=12-2=10$$
$$IQR=Q_3-Q_1=8-4=4$$

Ящик не идентифицирует каждое исходное значение, размер выборки или причину возникновения разброса.

Практический лист 2.7 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Для листа 2.7 квартили являются медианами упорядоченных половин списков, исключая общую медиану для нечетного количества. Усы идут до минимума и максимума. Не смешивайте это правило с интерполированными программным обеспечением квартилями или усами пороговых значений для выбросов.

2.8

Distributions: the normal distribution · ⁨Распределения: нормальное распределение⁩
Syllabus · ⁨Программа⁩
English

Unit 8 of 8 in GAC010 Mathematics II: Probability, Statistics and Finance (Level II). The module is taught over about 40 class hours plus 20 hours of independent study, and is assessed at the teaching centre and moderated by ACT — there is no external exam.

The module outcomes this unit works towards:

Learning Objective GAC010.5: Use the normal distribution to analyse data.

Русский

Раздел 8 из 8 в GAC010 Математика II: Вероятность, статистика и финансы (Уровень II). Модуль читается около 40 академических часов плюс 20 часов самостоятельной работы, оценивается на базе учебного центра и проходит модерацию ACT — внешнего экзамена нет.

Результаты обучения, к которым работает этот раздел:

Учебная цель GAC010.5: Использовать нормальное распределение для анализа данных.

Source: Cambridge International syllabus · ⁨Источник: Программа Cambridge International⁩

English
  • The normal distribution 正态分布 is a continuous symmetric bell-shaped model specified by its mean and positive standard deviation. Those two summaries alone do not establish that observed data follow this model.
  • Under a normal model, the approximate empirical rule is: about 68% of values lie within one standard deviation of the mean, 95% within two, and 99.7% within three.
  • A z-score 标准分 says how many standard deviations a value sits from the mean: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, which is what makes two different scales comparable.

For a normal model, use cumulative area $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ and symmetry $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. An interval subtracts its two cumulative bounds. Expected count is sample size times probability and need not be an integer; an observed count is an integer.

Worked example. a threshold is an area beyond a standardised value

Known: an invented measurement model has $\mu=50$ and $\sigma=10$. For values above 60, standardise the threshold.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{10}=1$$

Use the complement of the supplied cumulative area.

$$P(X>60)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$$

This is a model probability, not a guarantee that exactly 15.87% of a finite sample exceeds 60.

Practice sheet 2.8 gives a progressively harder set with worked solutions.

Русский
  • Нормальное распределение — это непрерывная симметричная колоколообразная модель, заданная своим средним и положительным стандартным отклонением. Эти две сводки сами по себе не устанавливают, что наблюдаемые данные следуют этой модели.
  • При нормальном распределении приближенное эмпирическое правило гласит: около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% в пределах двух, и 99.7% — в пределах трёх.
  • Z-оценка говорит, на сколько стандартных отклонений значение находится от среднего: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, что позволяет сравнивать различные шкалы.

Для нормальной модели используйте кумулятивную вероятность $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ и симметрию $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$. Интервал вычитает свои два кумулятивных предела. Ожидаемое количество равно размеру выборки, умноженному на вероятность, и не обязательно является целым числом; наблюдаемое количество — целое число.

Разобранный пример. порог — это вероятность за пределами стандартизированного значения

Стандартная нормальная кривая отмечает z равный 1 и заштриховывает область правого хвоста за ним.

Известно: вымышленная модель измерений имеет $\mu=50$ и $\sigma=10$. Для значений выше 60 стандартизируйте порог.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{60-50}{10}=1$$

Используйте дополнение предоставленной кумулятивной вероятности.

$$P(X>60)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$$

Это модельная вероятность, а не гарантия того, что ровно 15.87% конечной выборки превысит 60.

Практический лист 2.8 содержит progressively усложняющийся набор задач с разбором решений.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩
English Русский
normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ нормального распределения
z-score/zed skɔː/ z-оценка

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

More topics in GAC Mathematics · ⁨GAC Математика⁩ · ⁨Больше тем в GAC Mathematics · ⁨GAC Математика⁩⁩

Log in or create account · ⁨Войти или создать аккаунт⁩

IGCSE, A-Level & AP