Показательные функции и логарифмы
Introduced| English | Русский |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | показательная функция |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | показателе степени |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | натуральные логарифмы |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | сложный процент |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | экспоненциального спада |
Повторное умножение создаёт модель
- Экспоненциальная функция, например $y=a^x$, имеет переменную в показателе степени с параметрами $a>0$ и $a\ne1$.
- Его значения растут при $a>1$ и убывают при $0
Показательный рост против прямой линии
$y = a^x$
Постоянный множитель всегда превосходит постоянную величину, какой бы крутой ни была линия.
Используйте логарифм как обратную операцию
- $\log_a y=x$ означает $a^x=y$. Действительные логарифмы требуют положительного аргумента и положительного основания, отличного от 1.
- Натуральные логарифмы используют основание e. График $y=\ln x$ проходит через точку $(1,0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$; экспоненциальные графики имеют y-пересечение 1 и горизонтальную асимптоту $y=0$.
Чему равен log₁₀ 1000?
Это вопрос о том, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 1000, и 10³ = 1000.
Применяйте законы только в их области определения
- Для положительных m и n с одним и тем же допустимым основанием, $\log(mn)=\log m+\log n$ и $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- Закон степеней $\log(m^k)=k\log m$ выносит показатель степени в произведение. Не существует соответствующего закона, позволяющего разбить логарифм суммы.
Какое свойство позволяет решить уравнение, где неизвестное находится в показателе степени?
Свойство степени выносит k вперед, где его можно сократить. Четвёртый вариант вообще не является законом.
log(m + n) равно log m + log n.
Логарифм суммы применяется к произведению внутри логарифма, никогда не к сумме.
Укажите временные и финансовые предположения
- Сложный процент использует формулу $A=P(1+r)^n$ для заявленной ставки за период и без дополнительных денежных потоков. Ставка r является дробью, а не процентным числом.
- Экспоненциальный распад использует множитель между 0 и 1. Пороговое значение для непрерывного времени может отличаться от первого подходящего целого периода выборки; реальным процессам требуется доказательство перед принятием модели.
Сумма 5000 растет на 4% в год. После скольких ЦЕЛЫХ лет она впервые превысит 7000?
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, а годы — целые числа, поэтому ответ равен 9.
Какое основание дает показательное убывание?
Основание от 0 до 1 уменьшает значение на каждом шаге. Основание 1 никогда его не изменяет.
В одном английском предложении скажите, когда следует использовать логарифм для решения уравнения.
Пример: «Я применяю логарифмы, когда неизвестное находится в показателе степени, так как свойство степеней выносит его вниз».
Порог за целый год. При значении $A(n)=500(1.04)^n$ условие $A(n)>600$ даёт результат $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. Первый полный год составляет 5. Проверьте годы 4 и 5, чтобы подтвердить строгое неравенство.
Проверяйте области определения уравнения и графика отдельно. В $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$ уравнение требует $x>1$ и имеет решение 6. Отдельный базовый график $y=\ln x$ определён для $x>0$. Лист 1.6 отрабатывает оба уравнения и свойства графиков.
Модель положительного экспоненциального затухания остается выше нуля в любой конечный момент времени. Физическая величина, измеренная как ноль, может отражать пределы обнаружения или несоответствие модели, а не точный ноль, предсказанный формулой.