GAC004 Mathematics I: Fundamentals · ⁨GAC004 Математика I: Основы⁩

Цена может снизиться на 20%, а затем вырасти на 20%, но так и не вернуться к первоначальной стоимости. Математика I помогает объяснить такие результаты с использованием метода, единиц измерения и чёткой интерпретации. Шесть модулей объединяют арифметику, алгебру, графики, геометрию, тригонометрию и экспоненциальные модели.

Текущее задание на оценку вашего учебного центра является руководящим документом для задач, весовых коэффициентов, разрешённых инструментов и сроков. Классная работа выполняется в заявленных условиях класса. Проекты могут включать сбор данных, расчёты и отчётность; экзамен и курсовая работа могут иметь иные инструкции. Не выводите официальную схему оценки из этих практических листов.

Терминологический дневник может фиксировать английский термин, его значение своими словами и небольшой пример. Следуйте инструкциям вашего учебного центра, если он представляется или оценивается.

Прочитайте ключевое слово: решить требует найти значения, удовлетворяющие условию, упростить — привести к равносильному выражению, а обосновать — привести причину. Покажите корректный метод, чтобы читатель мог проверить, как получен результат. Схема оценивания для каждого задания определяет количество баллов.

Шесть прилагаемых практических листов содержат оригинальные материалы, соответствующие GAC004, и не являются официальными экзаменационными работами. В решениях баллы начисляются за указанные математические шаги, а не за объем письменного отчета.

Словарь чисел подразумевается в каждом последующем разделе.

Целое число — это целое число, включая отрицательные целые числа и ноль. Рациональное число может должно быть записано как дробь двух целых чисел с ненулевым знаменателем; иррациональное число не может быть так записано, и $\pi$ и $\sqrt{2}$ являются стандартными примерами. Простое число — это положительное целое число, большее 1, имеющее ровно два положительных делителя: само себя и 1.

Порядок действий определяет смысл написанного выражения: скобки, затем степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание, выполняя действия слева направо на одном уровне. правильно внутри одного уровня.

• Делитель делит число нацело; кратное — это то, что получается при умножении его. 6 является делителем 24, а 24 — кратным 6.
• Наибольший общий делитель (НОД) и **наименьшее общее кратное (НОК) определяются по простым множителям: $24 = 2^3 \times 3$ и $36 = 2^2 \times 3^2$, поэтому НОД равен $2^2 \times 3 = 12$, а НОК равен $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Процент — это дробь со знаменателем 100. Увеличение на 15% означает умножение на $1.15$; уменьшение на 15% означает умножение на $0.85$. Для обратного изменения процента необходимо делить, никогда не вычитать тот же процент обратно.
• Значащие цифры — это цифры, оставленные для выражения значения с указанной точностью. Одних только значащих цифр недостаточно для установления точности измерения. $0.004\,072$ до трех значащих цифр составляет $0.004\,07$.
• Стандартный вид записывает число как $a \times 10^n$ со множителем $1 \le |a| < 10$ для ненулевого числа, где n — целое число. Именно так калькулятор отображает очень большое или очень маленькое значение. калькулятор показывает очень большое или очень маленькое значение.

Разобранный пример. уменьшение и увеличение используют разные основания

Известно: вымышленная цена в 80 единиц уменьшается на 20%, затем увеличивается на 20%. Почему использовать последовательные множители? Каждое изменение рассчитывается от текущей цены.

Цена не вернулась к значению 80. Снижение составило 16, тогда как последующий рост составил 12.8, поскольку базы расчёта различаются.

Продолжайте с практическим листом 1.1. Решите задачи перед открытием ответов и проверьте как метод, так и итоговые единицы.

Алгебра — это арифметика с буквами, обозначающими числа, и она имеет свой собственный словарь.

В $5x^2 - 3x + 7$ всё вместе называется выражением; $5x^2$, $-3x$ и $7$ — это его слагаемые; 5 — это коэффициент при $x^2$; а 7 — это константа.

Уравнение утверждает равенство двух выражений и решается относительно значения. Тождество верно для любого значения из области определения. Неравенство сравнивает два выражения с помощью $<$, $\le$, $>$ или $\ge$.

Чтобы раскрыть скобки, нужно убрать их; чтобы разложить на множители, нужно вернуть их обратно.

• Решение линейного уравнения означает выполнение одной и той же операции с обеими частями до тех пор, пока переменная не останется одна.
• Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$. Раскладывайте на множители, когда это уместно, или используйте $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Система уравнений состоит из двух уравнений с двумя неизвестными, решаемых методом подстановки или методом исключения. Для двух линейных уравнений единственное решение соответствует точке пересечения. Параллельные различные прямые не имеют решений; совпадающие прямые имеют бесконечно много решений.
• ⚠ Неравенство меняет знак при умножении или делении обеих частей на отрицательное число: из $-2x > 6$ следует, что $x < -3$.

Разобранный пример. меняйте знак неравенства при делении на отрицательное число

Известно: решите $7-3x>1$. Вычтите 7 из обеих частей, затем разделите на отрицательное 3. Последняя операция меняет знак неравенства.

Пустой кружок исключает значение 2. Проверьте $x=1$: $7-3(1)=4>1$; граница $x=2$ дает равенство и исключена.

Продолжайте с практическим листом 1.2. Решите задачи перед открытием ответов и проверьте как метод, так и итоговые единицы.

График превращает уравнение в изображение, а координатная геометрия измеряет это изображение.

Невертикальную прямую можно записать как $y = mx + c$, где $m$ — это угловой коэффициент (наклон), а $c$ — это точка пересечения с осью y. Угловой коэффициент равен подъему, деленному на горизонтальную проекцию.

• Различные невертикальные прямые называются параллельными, если их угловые коэффициенты равны. Две невертикальные прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. Вертикальные прямые имеют неопределенный угловой коэффициент; вертикальная и горизонтальная прямые перпендикулярны друг другу.
• Середина отрезка — это среднее арифметическое координат концов, а расстояние между двумя точками определяется по теореме Пифагора: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Квадратичная функция графически изображается как парабола. Ее вершина — это точка перегиба, а корни — это значения x, при которых график пересекает ось $x$, то есть решения уравнения $y=0$. Повторяющийся корень касается оси без пересечения; некоторые квадратные уравнения не имеют действительных корней.
• Чтобы решить систему двух уравнений графически, нарисуйте оба графика и прочитайте координаты точки пересечения. Точность ответа зависит только от качества чертежа, поэтому важно выполнить алгебраическую проверку. проверяйте важность моментов.

Разобранный пример. возрастающая прямая через две заданные точки

Известно: $A=(1,2)$ и $B=(4,8)$. Используйте градиент, так как прямая не вертикальна.

Уравнение прямой имеет вид $y=mx+c$. Подставьте точку A, чтобы найти смещение (intercept).

Таким образом, $y=2x$. Горизонтальное изменение на диаграмме равно 3, а вертикальное — 6.

Продолжайте работу с практическим листом 1.3. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Плоская геометрия изучает плоские фигуры, объемная — трехмерные, а евклидова геометрия — это рассуждения, их связывающие.

Сумма углов на прямой линии равна $180°$, углов вокруг точки — $360°$, а внутренние углы плоского евклидова треугольника в сумме дают $180°$. В простом многоугольнике из $n$ сторон внутренние углы в сумме составляют $(n - 2) \times 180°$.

• Конгруэнтные фигуры идентичны по размеру и форме; подобные фигуры имеют ту же форму, но все длины связаны одним коэффициентом.
• Теорема Пифагора справедлива для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ является гипотенузой.
• Площадь измеряется в квадратных единицах, а объем — в кубических. Цилиндр имеет объем $\pi r^2 h$; сфера имеет объем $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ и площадь поверхности $4\pi r^2$.
• ⚠ Масштабирование не является линейным. Если каждую длину твердого тела увеличить вдвое, его площадь увеличится в $2^2 = 4$ раз, а объем — в $2^3 = 8$ раз.

Разбор примера. Треугольная призма имеет постоянное поперечное сечение

Известно: катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см; длина призмы — 10 см. Найдите площадь поперечного сечения, затем умножьте на длину призмы.

Наклонная сторона треугольника не является его высотой. Объем не равен площади треугольного торца.

Продолжайте работу с практическим листом 1.4. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Тригонометрия связывает углы треугольника с его сторонами.

В прямоугольном треугольнике, если $\theta$ — один из острых углов, три отношения равны $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ и $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Для невырожденного плоского евклидова треугольника справедливы закон синусов и закон косинусов:

• Угол можно измерять в градусах или в радианах, где $\pi$ радиан равен $180°$. Проверяйте режим работы калькулятора перед каждым заданием.
• Единичная окружность расширяет область определения отношений за пределы $90°$ и объясняет, почему $\sin$ и $\cos$ повторяются каждые $360°$: они являются периодическими.
• Азимут отсчитывается по часовой стрелке от севера и всегда записывается тремя цифрами, например, $075°$.
• Углы места и глубины отсчитываются от горизонтали, вверх и вниз соответственно. При необходимости добавьте высоту наблюдателя или прибора, если требуется высота над землей. При данных «сторона-сторона-угол» закон синусов может дать два возможных треугольника: проверьте оба смежных угла на соответствие оставшейся сумме углов.

Разбор примера. Высота по горизонтальному расстоянию и углу

Известно: горизонтальное расстояние $d=12$ м и угол места $\theta=30^\circ$. Высота h лежит против угла, d — прилежащий, поэтому используйте тангенс в градусном режиме.

Это высота над горизонтальной линией зрения наблюдателя, а не обязательно высота над землей.

Продолжайте работу с практическим листом 1.5. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.

Эти две функции описывают рост и убывание, являясь взаимно обратными.

Показательная функция имеет вид $y=a^x$, где $a>0$ и $a\ne1$: переменная находится в показателе степени. Каждый шаг на единицу умножает значение на a. Функция возрастает при $a>1$ и убывает при $0. Точка пересечения с осью y равна 1, значения остаются положительными; ось x является горизонтальной асимптотой.

Логарифм отвечает на обратный вопрос. $\log_a y = x$ означает ровно $a^x = y$, следовательно, $\log_{10}1000=3$. Для действительных логарифмов аргумент должен быть положительным, а основание — положительным и отличным от 1. График $y=\log_a x$ проходит через точку $(1,0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

• Для положительных аргументов и одного и того же допустимого основания законы преобразуют умножение в сложение, что делает логарифм полезным для решения уравнений, содержащих неизвестную в показателе степени.
• Натуральные логарифмы используют основание $e \approx 2.718$ и обозначаются как $\ln$.
• Сложный процент является показательным: $A = P(1 + r)^n$ после $n$ периодов.
• Показательное убывание имеет основание между 0 и 1 и может описывать сохраняемую долю каждого периода при заданных предположениях. Это не гарантирует, что реальный процесс будет следовать этой модели неограниченно долго.

Разбор примера. Повторные уменьшения перемножают, а не вычитают фиксированную величину

Известно: величина начинается со значения 100 единиц и уменьшается на 20% за каждый полный период. Сохранённая доля составляет 0.8, поэтому используйте мультипликативную модель.

Первое уменьшение составляет 20 единиц, второе — 16. Фиксированное вычитание 20 единиц каждый период дало бы другую модель.

Продолжайте работу с практическим листом 1.6. Решите задания до открытия ответов, проверьте как метод, так и итоговые единицы измерения.