Энергия гармонических осцилляторов
| English | Русский |
|---|---|
| potential energy/pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | потенциальная энергия |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | кинетическую энергию |
Бесконечный обмен
- Качели замедляются до остановки в верхней точке, затем最快 проходят через нижнюю.
- Ничего не теряется — движение лишь постоянно меняет форму.
- Растяжение запасает энергию; скорость расходуется; вперед-назад навсегда.
- Два вида энергии передают одну и ту же общую величину туда-сюда.
Два запаса в пружине
- Пружина хранит потенциальную энергию $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.
- Масса несет кинетическую энергию $K = \tfrac{1}{2}mv^2$.
- При колебаниях энергия перетекает из одного вида в другой.
Пружина с $k = 100\ \text{N/m}$ смещена на $x = 0.1\ \text{m}$. Её запасённая потенциальная энергия (в Дж)?
$U = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0.1)^2 = 0.5\ \text{J}$.
Сумма никогда не меняется
- Сложите их, и сумма останется неизменной:
- На краях она вся потенциальная (скорость равна нулю); в середине — вся кинетическая.
- Амплитуда одна определяет полную энергию.
Пружина с $k = 100\ \text{N/m}$ колеблется с амплитудой $A = 0.2\ \text{m}$. Её полная энергия (в Дж)?
$E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0.2)^2 = 2\ \text{J}$.
В какой точке энергия осциллятора полностью кинетическая?
В положении равновесия $x = 0$, следовательно $U = 0$, и вся энергия является кинетической.
Обмен энергии на скорость
- В положении равновесия всё является кинетической энергией, поэтому:
- Это восстанавливает $v_{max} = A\omega$, поскольку $\omega^2 = k/m$.
- Удвоение амплитуды дает четыре раза больше энергии и удвоенную максимальную скорость.
Энергия осциллятора
За цикл энергия перераспределяется между кинетической и потенциальной, в то время как полная остается неизменной.
Пружина с $k = 200\ \text{N/m}$ колеблется с амплитудой $A = 0.05\ \text{m}$.
- Полная энергия: $E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0.05)^2 = 0.25\ \text{J}$.
- В середине вся энергия кинетическая, а на концах — только потенциальная.
Если удвоить амплитуду осциллятора, его полная энергия...
$E = \tfrac{1}{2}kA^2 \propto A^2$, то есть $2^2 = 4$ раз больше энергии.
Кинетическая и потенциальная энергия могут одновременно достигать своих максимумов.
Каждая из них максимальна там, где другая равна нулю — они никогда не бывают обе максимальными одновременно.
В реальном осциляторе с трением со временем амплитуда...
Трение отводит энергию, поэтому амплитуда убывает — это затухание.
Энергия пропорциональна амплитуде в квадрате ($E = \tfrac{1}{2}kA^2$), поэтому удвоение $A$ четверо увеличивает энергию, а не удваивает её. Кинетическая и потенциальная энергии максимальны там, где другая равна нулю, никогда одновременно. А утверждение «сумма остаётся постоянной» предполагает отсутствие трения или сопротивления — реальный осциллятор медленно теряет энергию, и его амплитуда затухает (затухание).
Энергия осциллятора перетекает между потенциальной энергией $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ и кинетической энергией $K = \tfrac{1}{2}mv^2$, при этом полная энергия остается неизменной $E = \tfrac{1}{2}kA^2$. На экстремумах она полностью потенциальна, а в положении равновесия — полностью кинетическая, что дает $\tfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$. Поскольку $E \propto A^2$, удвоение амплитуды увеличивает энергию в четыре раза.