Математический и физический маятники
| English | Русский |
|---|---|
| simple pendulum/ˈsɪmpl ˈpendjʊləm/ | простой маятник |
| physical pendulum/ˈfɪzɪkl ˈpendjʊləm/ | физический маятник |
Каждый взмах сохраняет ритм
- Маятник старинных часов тикает ровными секундами.
- Ребёнок на качелях движется с той же периодичностью, независимо от того, подталкивают его высоко или низко.
- Любое раскачивающееся тело — тонкое или массивное — имеет свой собственный постоянный ритм.
- Две формулы описывают время любого малого колебания вокруг точки опоры.
Математический маятник
- Математический маятник — это материальная точка на невесомой нити длиной $L$:
- Гравитация создаёт возвращающий момент, который растёт вместе с углом.
- Для малых углов движение является гармоническим (ШН).
Математический маятник имеет $L = 0.25\ \text{m}$ и $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Его период (в секундах, до 1 знаков)?
$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{0.25/9.8} \approx 1.0\ \text{s}$.
Удвоение массы груза математического маятника изменяет его период.
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ не зависит от массы — масса груза сокращается.
Физический маятник
- Физический маятник — любое твёрдое тело, совершающее колебания вокруг точки опоры:
- $I$ — момент инерции относительно точки опоры, $d$ — расстояние от точки опоры до центра масс.
- Линейка, бит, нога — каждое из них колеблется с этим периодом.
Для физического маятника период зависит от $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$, что такое $d$?
$d$ — это расстояние от точки подвеса до центра масс — плечо силы тяжести.
Одно является частным случаем другого
- Для материальной точки на расстоянии $L$: $I = mL^2$ и $d = L$.
- Подставляем: $T = 2\pi\sqrt{mL^2/(mgL)} = 2\pi\sqrt{L/g}$.
- Таким образом, математический маятник — это простейший случай физического маятника.
Математический и физический маятники
Измените длину и гравитацию и посмотрите, как реагирует период маятника — амплитуда почти не имеет значения.
Формула для периода математического маятника является частным случаем формулы для физического маятника.
Подставьте $I = mL^2$ и $d = L$ в $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$, и вы получите обратно $2\pi\sqrt{L/g}$.
Равномерный стержень длиной $L$, закреплённый одним концом, имеет $I = \tfrac{1}{3}mL^2$ и $d = L/2$.
- $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}mL^2}{mg\cdot L/2}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}$.
- Он колеблется немного быстрее, чем математический маятник той же длины.
Для физического маятника момент инерции $I$ должен быть измерен относительно...
Тело вращается вокруг точки подвеса, поэтому $I$ вычисляется относительно этой оси.
Обе формулы периода маятника справедливы только тогда, когда угол отклонения...
Только малые углы делают возвращающий момент пропорциональным смещению (СКО).
Обе формулы предполагают малые углы — при углах более ~$15^\circ$ движение перестаёт быть истинным ШН. Для физического маятника берите $I$ относительно точки опоры (используйте теорему о параллельных осях, если знаете $I$ относительно центра масс), а пусть $d$ будет расстоянием от точки опоры до центра масс, а не полной длиной. Масса грузика сокращается для математического маятника, но может иметь значение для физического.
Математический маятник (материальная точка на нити) колеблется с $T = 2\pi\sqrt{L/g}$; физический маятник (любое твёрдое тело на оси) колеблется с $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$, где $I$ берётся относительно точки опоры, а $d$ достигает центра масс. Простейший случай вытекает из общего, и оба являются ШН только для малых углов.