Представление и анализ МСВ
| English | Русский |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | точке амплитуды |
| phase/feɪz/ | фазовое |
Рисование колебаний
- Если отследить движение грузка во времени, на графике получится плавная волна.
- Та же S-образная кривая описывает пружины, маятники и звук.
- Высота, скорость и крутизна следуют из одного уравнения.
- Один косинус охватывает всё движение туда-сюда.
Положение со временем
- Смещение при гармонических колебаниях описывается косинусом:
- $A$ — это амплитуда, максимальное смещение.
- $\omega$ — угловая частота, а $\varphi$ — фаза, начальная точка отсчета.
В уравнении $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ символ A обозначает ____.
A в $A$ — это амплитуда, то есть максимальное отклонение от положения равновесия.
Скорость и ускорение следуют за ней
- Продифференцируйте, чтобы получить скорость и ускорение:
- Максимальная скорость $v_{max} = A\omega$; максимальное ускорение $a_{max} = A\omega^2$.
Колебательный контур имеет $A = 0.2\ \text{m}$ и $\omega = 4\ \text{rad/s}$. Его максимальная скорость (в м/с)?
$v_{max} = A\omega = 0.2 \times 4 = 0.8\ \text{m/s}$.
Для того же колебателя ($A = 0.2\ \text{m}$, $\omega = 4\ \text{rad/s}$) максимальное ускорение (в м/с²)?
$a_{max} = A\omega^2 = 0.2 \times 16 = 3.2\ \text{m/s}^2$.
Противоположные крайности
- Скорость наибольшая в положении равновесия (где $x = 0$) и равна нулю на концах траектории.
- Ускорение максимально на концах траектории и равно нулю в положении равновесия.
- Таким образом, $x$ и $a$ находятся в противофазе, тогда как $v$ опережает их на четверть цикла.
ПГД как синусоида
Смещение простого гармонического осциллятора описывает косинусоидальную кривую во времени.
В какой точке движения скорость наибольшая?
Скорость максимальна там, где $x = 0$ (середина), и равна нулю на краях.
В ПГД смещение и ускорение находятся ровно в противофазе (противоположная фаза).
Для $a = -\omega^2 x$ $a$ всегда направлено противоположно $x$.
Осциллятор обладает $A = 0.1\ \text{m}$ и $\omega = 5\ \text{rad/s}$.
- Максимальная скорость: $v_{max} = A\omega = 0.1 \times 5 = 0.5\ \text{m/s}$, достигается посередине.
- Максимальное ускорение: $a_{max} = A\omega^2 = 0.1 \times 25 = 2.5\ \text{m/s}^2$, достигается на концах.
Массу, отпущенную из состояния покоя на крайнем конце, лучше всего описывать с помощью...
При t = $t = 0$ смещение максимально, что соответствует значению косинуса при угле $\varphi = 0$.
Не путайте места максимумов скорости и ускорения — они находятся в противоположных точках: скорость максимальна в центре, ускорение — на краях. Если движение начинается с крайнего положения, используйте косинус ($\varphi = 0$); если оно начинается из положения равновесия с движением наружу, используйте синус. И $\omega$ здесь задано в рад/с, а не как частота $f$.
МН — это один косинус: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, с амплитудой $A$ и фазой $\varphi$. Его производные дают $v_{max} = A\omega$ (в положении равновесия) и $a_{max} = A\omega^2$ (на краях). Смещение и ускорение находятся в полном противофазе, а скорость опережает смещение на четверть цикла.