Определение простого гармонического движения
| English | Русский |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | простое гармоническое колебание |
| restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/ | возвращающая сила |
То туда, то сюда, что природа любит
- Груз на пружине покачивается вверх-вниз снова и снова.
- Гитарная струна, качели, камертон — все повторяют один и тот же танец.
- Оттяните их в сторону, и всегда есть сила, тянущая их обратно.
- Одно правило управляет каждым плавным, повторяющимся колебанием.
Правило возвращающей силы
- Простое гармоническое движение возникает, когда возвращающая сила пропорциональна смещению:
- Знак минус означает, что сила всегда направлена обратно к положению равновесия.
- Чем больше сила притяжения на большем расстоянии — это признак гармонических колебаний (SHM).
Пружина с $k = 20\ \text{N/m}$ растянута на $x = 0.15\ \text{m}$. Каков модуль возвращающей силы (в Н)?
$|F| = kx = 20 \times 0.15 = 3\ \text{N}$.
Движение является простым гармоническим, когда возвращающая сила...
$F = -kx$ — пропорциональна $x$ и направлена обратно к положению равновесия.
Знак минус в $F = -kx$ означает, что сила всегда направлена обратно к положению равновесия.
Сила противодействует перемещению, возвращая массу к положению $x = 0$.
Ускорение возвращает домой
- Разделив на массу, ускорение подчиняется:
- Ускорение пропорционально смещению, но противоположно ему по направлению.
- Константа $\omega^2 = k/m$ определяет скорость колебаний.
При гармонических колебаниях с $\omega^2 = 25\ \text{rad}^2/\text{s}^2$ при смещении $x = 0.2\ \text{m}$ каков модуль ускорения (в м/с^²)?
$|a| = \omega^2 x = 25 \times 0.2 = 5\ \text{m/s}^2$.
Обычные подозреваемые
- Масса на пружине: $F = -kx$ напрямую.
- Математический маятник при малых углах: гравитация обеспечивает почти линейную возвращающую силу.
- Любая система с линейной возвращающей силой совершает колебания типа SHM.
Возвращающая сила ПГД
Простое гармоническое движение требует возвращающей силы, пропорциональной смещению и направленной обратно к центру.
Масса $0.5\ \text{kg}$ на пружине жесткостью $k = 8\ \text{N/m}$ оттягивают на $0.1\ \text{m}$ и отпускают.
- Возвращающая сила в момент отпускания: $F = -kx = -8 \times 0.1 = -0.8\ \text{N}$.
- Ускорение: $\omega^2 = k/m = 16$, следовательно $a = -\omega^2 x = -16 \times 0.1 = -1.6\ \text{m/s}^2$.
В ПГД где ускорение максимально?
$a = -\omega^2 x$ максимально там, где $x$ максимально — на границах амплитуды.
Маятник совершает колебания как простое гармоническое движение только при малых углах.
Только при малых углах возвращающее тяга пропорционально смещению.
Маятник совершает МН только при малых углах (примерно до $15^\circ$); при больших углах возвращающая перестает быть пропорциональной смещению. Знак минус обязателен — без него сила толкала бы массу прочь, и ничего не колебалось бы. А ускорение максимально на краях (самое большое $x$) и равно нулю в положении равновесия, что противоположно скорости.
Простые гармонические колебания — это плавное повторение, возникающее, когда возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена обратно: $F = -kx$, значит $a = -\omega^2 x$ с $\omega^2 = k/m$. Пружина демонстрирует это точно; маятник при малых углах — приблизительно. Ускорение достигает максимума на краях и исчезает в положении равновесия.