Катание
| English | Русский |
|---|---|
| rolling without slipping/ˈrəʊlɪŋ wɪˈðaʊt ˈslɪpɪŋ/ | катание без проскальзывания |
Почему шар обгоняет кольцо по склону
- Проведите гонку между сплошным шаром и полойм кольцом по одному и тому же уклону.
- Одинаковая масса, одинаковый радиус, одинаковый старт — однако шар побеждает каждый раз.
- Секрет заключается в том, как каждое из них распределяет свое движение.
- Колесо, которое вращается по мере движения, подчиняется аккуратному правилу скорости.
Катение без проскальзывания
- Когда колесо катится без проскальзывания, его скорость и вращение связаны вместе:
- Точка контакта на мгновение покоится на земле.
- Ускорение подчиняется согласованному правилу $a = \alpha r$.
Колесо радиусом $0.3\ \text{m}$ катится без проскальзывания со скоростью $\omega = 10\ \text{rad/s}$. Какова его скорость поступательного движения (в м/с)?
$v = \omega r = 10 \times 0.3 = 3\ \text{m/s}$.
Для колеса, катящегося без проскальзывания, точка касания с землей в данный момент...
Точка контакта имеет нулевую скорость в этот момент — это условие отсутствия проскальзывания.
Когда колесо радиуса ⟦r⟧ катится без проскальзывания, его линейное ускорение ⟦a⟧ равно ✂️ умножить на ____.
$a = \alpha r$ — вращательный аналог $v = \omega r$.
Движение, разделенное двумя путями
- Кинетическая энергия движущегося тела разделяется на две части:
- Часть идет на поступательное движение, часть — на вращение.
- Используя $v = \omega r$, обе части растут вместе.
Кинетическая энергия катящегося объекта разделена между поступлением и вращением.
$K = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$ — движение и вращение.
Кто достигнет низа первым
- На уклоне высвобожденная энергия распределяется между поступательным движением и вращением.
- Фигура с меньшим моментом инерции (согласно $mr^2$) сохраняет больше энергии для скорости.
- Порядок: сплошной шар, затем сплошной цилиндр, затем полое кольцо — побеждает шар.
Катание без проскальзывания
Для колеса, катящегося без проскальзывания, v = r × omega. Распределите каждый случай.
Упорядочьте их от ПЕРВОГО до ПОСЛЕДНЕГО достигающего дна того же склона (одинаковые m, r).
Меньший момент инерции сохраняет больше энергии для скорости, поэтому сфера опережает, а обруч отстает.
Обруч и сплошной диск, имеющие одинаковые $m$ и $r$, скатываются из состояния покоя по одному и тому же уклону.
- Обруч: $I = mr^2$, поэтому половина энергии уходит на вращение — он медленный.
- Диск: $I = \tfrac{1}{2}mr^2$, меньшая доля на вращение — он приходит первым.
При качении без проскальзывания, какую работу совершает сила трения покоя?
Отсутствие скольжения в точке контакта означает отсутствие работы силы трения и нагрева — в отличие от скользящего колеса.
Катение без проскальзывания требует статического трения в точке контакта, но это трение не совершает работы — точка контакта не скользит, поэтому нет потерь тепла от трения. Потерю энергии на кинетическое трение теряет только скользящее (проскальзывающее) колесо. А $v = \omega r$ связывает скорость со вращением только во время катения без проскальзывания.
Качение без проскальзывания связывает линейную скорость со вращением: $v = \omega r$ (и угловая скорость $a = \alpha r$). Кинетическая энергия распределяется между поступательным и вращательным движением $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$, поэтому форма с меньшим моментом инерции выигрывает гонку вниз по склону (сфера опередит цилиндр, а тот — кольцо). Статическое трение обеспечивает качение, но не совершает работу.