Закон сохранения углового момента
| English | Русский |
|---|---|
| angular momentum is conserved/ˈæŋɡjʊlə məʊˈmentəm ɪz kənˈsɜːvd/ | момент импульса сохраняется |
Секрет фигуристки
- Фигуристка, вращаясь, подтягивает руки к телу и внезапно начинает крутиться быстрее.
- Она ни от чего не отталкивалась — никто не толкнул её.
- Тем не менее, скорость её вращения резко возрастает.
- Когда ничто не скручивает вращающуюся систему, скрытая величина остается неизменной.
Когда вращение сохраняется
- Если суммарный внешний момент сил равен нулю, импульс момента сохраняется:
- Общий момент вращения остается неизменным, однако масса перераспределяется.
- Это вращательный аналог закона сохранения импульса.
Импульс момента сохраняется точно тогда, когда...
Нулевой суммарный внешний момент означает $dL/dt = 0$, поэтому $L$ остается постоянным.
Уменьшение I, ускорение вращения
- Поскольку $I\omega$ фиксировано, снижение $I$ вынуждает $\omega$ расти.
- Конькобежец подтягивает руки к себе, момент инерции $I$ уменьшается, а угловая скорость $\omega$ увеличивается.
- Она расставляет руки обратно, $I$ растет, и вращение снова замедляется.
Фигурист с $I_i = 8\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ вращается со скоростью $2\ \text{rad/s}$, затем подтягивает руки до значения $I_f = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Какова её новая угловая скорость (в рад/с)?
$I_i\omega_i = I_f\omega_f \Rightarrow 8\times2 = 4\times\omega_f$, следовательно, $\omega_f = 4\ \text{rad/s}$.
При сохранении импульса момента уменьшение момента инерции увеличивает угловую скорость.
$I\omega$ зафиксировано, поэтому меньший $I$ вынуждает больший $\omega$.
От фигуристов до звезд
- Сжимающаяся звезда ускоряет вращение при уменьшении размеров — то же самое правило.
- Два вращающихся диска, соединяющиеся вместе, делят свой общий $L$.
- Драйверы и гимнасты подтягивают ноги для быстрого переворота, затем расправляются, чтобы замедлиться.
Сохранение углового момента
При отсутствии внешнего момента вращающаяся фигуристка ускоряется, подтягивая руки.
Момент инерции звезды уменьшается до четверти своего старого значения при коллапсе. Во сколько раз увеличивается скорость её вращения?
$I\omega$ зафиксирован, а $I \to I/4$ означает $\omega \to 4\omega$ — в четыре раза быстрее.
У фигуристки есть $I_i = 6\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$, вращающееся со скоростью $\omega_i = 2\ \text{rad/s}$. Она подтягивает руки, чтобы получить $I_f = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- $I_i\omega_i = I_f\omega_f \Rightarrow 6 \times 2 = 2 \times \omega_f$.
- Так что $\omega_f = 6\ \text{rad/s}$ — в три раза быстрее.
Мышцы фигуриста, подтягивающие её руки, являются внутренними силами. Могут ли они изменить её импульс момента?
Внутренние силы действуют парами без суммарного момента; только внешние моменты изменяют $L$.
Когда фигурист подтягивает руки, её вращательная кинетическая энергия остается точно такой же.
Она совершает работу при подтягивании, поэтому $K_{rot}$ возрастает, хотя $L$ сохраняется.
Вращение сохраняется только тогда, когда суммарный внешний момент сил равен нулю. Внутренние силы (мышцы фигуристки) не могут изменить $L$, но трение, гравитационный момент или внешнее толчок могут. Обратите внимание также: кинетическая энергия здесь не сохраняется — фигуристка совершает работу, подтягивая руки к себе, поэтому $K_{rot}$ на самом деле возрастает.
При нулевом суммарном внешнем моменте импульс момента сохраняется: $I_i\omega_i = I_f\omega_f$. Уменьшение $I$ вынуждает $\omega$ расти — фигуристка, сжимающаяся звезда, подтянувшийся драйвер. Только внешние моменты могут изменить $L$; внутренние силы не могут. И помните, что кинетическая энергия вращения не обязана оставаться неизменной.