Второй закон Ньютона во вращательной форме
| English | Русский |
|---|---|
| rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/ | момент инерции |
| angular acceleration/ˈæŋɡjʊlə əkˌseləˈreɪʃn/ | угловое ускорение |
| Newton's second law for rotation/ˈnjuːtnz ˈsekənd lɔː fɔː rəʊˈteɪʃn/ | Второй закон Ньютона для вращательного движения |
Формула раскручивания
- Сильный рывок быстро раскручивает колесо; слабый едва приводит его в движение.
- Лёгкое колесо реагирует охотно; массивный маховик сопротивляется.
- Это аналогично $F = ma$, но для вращения.
- Одно уравнение связывает момент, момент инерции и угловое ускорение.
Второй закон Ньютона для вращения
- Второй закон Ньютона для вращения выглядит так:
- Суммарный момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение.
- Приложив момент, вы получаете угловое ускорение.
Результирующий момент силы $8\ \text{N}\cdot\text{m}$ действует на колесо с моментом инерции $I = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Каково его угловое ускорение (в рад/с^2)?
$\alpha = \tau/I = 8/2 = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Вращательный вариант второго закона Ньютона: τ = I × ____.
$\tau_{net} = I\alpha$ — суммарный момент равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение.
Какой суммарный момент создает для колеса $5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ угловое ускорение $3\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$ (в Н·м)?
$\tau = I\alpha = 5 \times 3 = 15\ \text{N}\cdot\text{m}$.
Идеальная аналогия
- Сравните с $F = ma$: момент выполняет роль силы.
- Момент инерции $I$ выполняет роль массы.
- Угловое ускорение $\alpha$ выполняет роль линейного ускорения.
В $\tau = I\alpha$ момент инерции $I$ выполняет роль какой величины в $F = ma$?
Момент ~ сила, $I$ ~ масса, $\alpha$ ~ ускорение. Значит, $I$ — это вращательная масса.
Выберите все правильные аналогии между $F = ma$ и $\tau = I\alpha$.
Сила ~ момент, а масса ~ $I$; ускорение соответствует угловому ускорению, а не моменту.
Больше инерции — слабее реакция
- При фиксированном моменте бо́льшее $I$ даёт меньшее $\alpha$.
- Массивное, растянутое колесо трудно раскрутить или остановить.
- Именно поэтому маховики сопротивляются изменению своего вращения.
Второй закон Ньютона для вращательного движения
Момент силы вызывает угловое ускорение пропорционально моменту инерции: момент = I × α.
При одинаковом суммарном моменте колесо с большим моментом инерции получает меньшее угловое ускорение.
$\alpha = \tau/I$, поэтому больший $I$ означает меньшее $\alpha$ — более плавный отклик.
Поступательное и вращательное движение вместе
- Груз на нити через блок соединяет эти два мира.
- Запишите уравнение $F = ma$ для подвешенного груза и $\tau = I\alpha$ для блока.
- Свяжите их через натяжение нити и кинематическую связь $a = \alpha r$, затем решайте систему.
Результирующий момент сил $12\ \text{N}\cdot\text{m}$ действует на колесо с моментом инерции $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- Угловое ускорение: $\alpha = \dfrac{\tau}{I} = \dfrac{12}{3} = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
- Если увеличить момент инерции вдвое, тот же самый момент даст лишь половину $2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Нельзя применять второй закон Ньютона $F = ma$ для самого блока. Блок, имеющий массу, обладает моментом инерции, поэтому натяжения нити по обе стороны от него различны — эта разница обеспечивает результирующий момент $\tau = I\alpha$. Рассмотрение его как невесомого (равные натяжения) — распространённая ошибка.
Второй закон Ньютона для вращения — это $\tau_{net} = I\alpha$: вращательный аналог $F = ma$, где момент силы заменяет силу, момент инерции — массу, а угловое ускорение — ускорение. Больший $I$ означает более медленную реакцию; системы с грузами и блоками решают $F = ma$ и $\tau = I\alpha$ одновременно.