Связь линейного и вращательного движения
| English | Русский |
|---|---|
| tangential velocity/tænˈdʒenʃl vəˈlɒsɪti/ | касательная скорость |
| tangential acceleration/tænˈdʒenʃl əkˌseləˈreɪʃn/ | касательное ускорение |
| rigid body/ˈrɪdʒɪd ˈbɒdi/ | твердое тело |
Край обгоняет центр
- Стойте в центре вращающегося карусельного барабана, и вы почти не двигаетесь.
- Стойте на краю, и вас будет уносить с большой скоростью.
- Одинаковое вращение, но совершенно разные скорости — всё зависит от того, насколько вы удалены от центра.
- Простая связь связывает вращение с поступательным движением.
Линейная скорость из вращения
- Точка на расстоянии $r$ от оси движется с касательной скоростью $v = \omega r$.
- Чем дальше от оси, тем быстрее — внешний край побеждает.
- Все точки имеют одну и ту же $\omega$, но их линейные скорости различны.
Колесо радиусом $0.5\ \text{m}$ вращается со скоростью $\omega = 8\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Чему равна линейная скорость точки на ободе (в м/с)?
$v = \omega r = 8 \times 0.5 = 4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
На вращающемся диске точка, расположенная дальше от оси, имеет большую линейную скорость.
$v = \omega r$ возрастает вместе с $r$, поэтому внешние точки движутся быстрее.
Винтовой стол поворачивается со скоростью $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Какова линейная скорость (в м/с) точки, находящейся на расстоянии $r = 0.2\ \text{m}$ от оси?
$v = \omega r = 10 \times 0.2 = 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Два вида ускорения
- Увеличение скорости вращения дает касательное ускорение $a_t = \alpha r$, направленное вдоль траектории.
- Движение по окружности также создает центростремительное ускорение $v^2/r$, направленное внутрь.
- Точка, которая одновременно вращается и ускоряется, обладает обоими видами ускорения сразу.
Ускорение вдоль направления движения точки на ободе равно $a_t = ____\, r$.
Касательное ускорение равно $a_t = \alpha r$, повторяя $v = \omega r$.
Твердое тело
- Твердое тело вращается целиком — каждая точка сохраняет расстояние до оси.
- Поэтому все точки делят одну $\omega$ и одну $\alpha$.
- Их линейные скорости просто пропорциональны их радиусу $r$.
Линейные из вращательных
Точка на вращающемся теле движется быстрее, чем дальше она от оси: v = r умножить на omega.
Две точки на одном жестком вращающемся диске, находящиеся на разных радиусах, имеют одинаковое...
Жесткое тело вращается как единое целое, поэтому каждая точка имеет одинаковое $\omega$. Линейная скорость различается в зависимости от радиуса.
Где это проявляется
- Катящиеся колеса: точка контакта, ось и верхняя точка движутся с разной линейной скоростью.
- Шкивы: линейная скорость веревки равна $\omega r$ обода шкива.
- Зубчатые передачи: зубья зацепляются при одинаковой линейной скорости, поэтому маленькая шестерня вращается быстрее.
Выберите все верные утверждения для точки на вращающемся твердом теле.
$v = \omega r$ и все точки разделяют $\omega$; линейные скорости различаются в зависимости от радиуса, поэтому третье утверждение неверно.
Карусель вращается со скоростью $\omega = 2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Ребенок на расстоянии $r = 3\ \text{m}$ движется со скоростью $v = \omega r = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Ребенок на расстоянии $r = 1\ \text{m}$ движется всего лишь со скоростью $2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — то же вращение, но в три раза медленнее.
Не путайте угловую и линейную скорость. Два гонщика на одной платформе имеют одну и ту же $\omega$, но разную $v$. Только линейная скорость зависит от радиуса; угловая скорость общая для всего тела.
Точка на вращающемся твердом теле имеет касательную скорость $v = \omega r$ и касательное ускорение $a_t = \alpha r$. Все точки делят одну $\omega$ и $\alpha$, но линейная скорость растет с радиусом — внешний край движется быстрее всего. Это связывает колеса, шкивы и зубчатые передачи.