Вращательная кинематика
| English | Русский |
|---|---|
| angular position/ˈæŋɡjʊlə pəˈzɪʃn/ | угловое положение |
| angular velocity/ˈæŋɡjʊlə vəˈlɒsɪti/ | угловой скорости |
| angular acceleration/ˈæŋɡjʊlə əkˌseləˈreɪʃn/ | угловое ускорение |
Все, что вращается, подчиняется одному набору правил
- Фигуристка, колесо, планета, жесткий диск — все они вращаются.
- Прямолинейное движение имеет положение, скорость, ускорение; вращательное движение имеет угловые аналоги каждого из них.
- Уравнения выглядят почти идентично — просто замените расстояние на угол.
- Выучите соответствие один раз, и вся механика вращения откроется перед вами.
Угловые величины
- Угловое положение $\theta$ — это угол, на который повернулось тело (в радианах).
- Угловая скорость $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ — это то, насколько быстро меняется угол.
- Угловое ускорение $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$ — это скорость изменения угловой скорости $\omega$.
Угловое ускорение $\alpha$ является вращательным аналогом какой линейной величины?
$\alpha = d\omega/dt$ отражает $a = dv/dt$ — угловое ускорение является вращательным аналогом линейного ускорения.
Те же уравнения, но для вращения
- Для постоянного углового ускорения $\alpha$ вращательные уравнения полностью аналогичны линейным.
- Замените $x \to \theta$, $v \to \omega$, $a \to \alpha$, и любая формула кинематики продолжит работать.
- Постоянное угловое ускорение ведет себя точно так же, как постоянное линейное ускорение.
Выберите все правильные пары соответствия линейных и вращательных величин.
$x\to\theta$ и $v\to\omega$ верны. Масса соответствует моменту инерции, а не углу.
Когда альфа непостоянна
- Если $\alpha$ меняется со временем, используйте исчисление: $\omega = \int \alpha\,dt$ и $\theta = \int \omega\,dt$.
- Дифференцирование — спуск по цепочке $\theta \to \omega \to \alpha$; интегрирование — подъем.
- Это та же производная цепочка, что и для прямолинейного движения.
Вращательные аналоги
Каждой линейной величине соответствует вращательный аналог. Распределите каждое описание.
Если угловое ускорение зависит от времени, угловую скорость можно найти, взяв его ____.
$\omega = \int \alpha\,dt$ — проинтегрируйте угловое ускорение.
Колесо начинает движение из состояния покоя с постоянным $\alpha = 3\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$. Чему равно его угловая скорость через $4\ \text{s}$ (в рад/с)?
$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 3 \times 4 = 12\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — вращательный аналог $v = at$.
Период и частота
- Вращение повторяется каждые период $T$, а его частота равна $f = 1/T$.
- Они связаны с угловой скоростью через $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$.
- Один полный оборот составляет $2\pi$ радиан, поэтому более быстрое вращение означает больший $\omega$.
Диск вращается со скоростью $f = 4$ оборотов в секунду. Чему равна его угловая скорость (в рад/с)?
$\omega = 2\pi f = 2\pi(4) \approx 25.13\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
В формуле $\omega = 2\pi f$ один полный оборот составляет $2\pi$ радиан.
Один оборот равен $2\pi$ радианам, поэтому $\omega = 2\pi f$ переводит обороты в секунду в радианы в секунду.
Колесо вращается со скоростью $f = 5$ оборотов в секунду.
- Его угловая скорость равна $\omega = 2\pi f = 2\pi(5) \approx 31.4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- Если $\alpha$ постоянно, кинематические уравнения вращения предсказывают его последующее положение и скорость вращения.
В этих формулах угловые величины выражаются в радианах, а не в градусах. Частая ошибка — подставлять градусы или забывать, что один полный оборот равен $2\pi$ (а не $360$) в уравнении $\omega = 2\pi f$.
Вращение характеризуется угловым положением $\theta$, угловой скоростью $\omega = d\theta/dt$ и угловым ускорением $\alpha = d\omega/dt$ — точными аналогами линейных величин. При постоянном $\alpha$ кинематические уравнения сохраняются; иначе требуется интегрирование. Скорость вращения связана с периодом соотношением $\omega = 2\pi f$.