Скаляры и векторы
| English | Русский |
|---|---|
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| vector/ˈvektə/ | векторное |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | величина |
| components/kəmˈpəʊnənts/ | компоненты |
«Иди 5 км» — но куда?
- Скажите другу «пройди 5 км», и он может оказаться в любой точке круга вокруг вас.
- Скажите «пройди 5 км на север», и будет ровно одна конечная точка.
- Некоторым величинам нужна только величина; другим также требуется направление.
- Разграничение их — первый шаг во всей механике.
Скалярные и векторные величины
- Скаляр имеет только величину (модуль) — например, температуру или время.
- Вектор имеет величину и направление — например, толчок или скорость.
- Правильное определение типа меняет способ их сложения.
Величина, имеющая и величину, и направление, называется ____.
Вектор имеет модуль и направление; скаляр имеет только модуль.
Что есть что
- Скаляры: путь, скорость, масса, энергия, время.
- Векторы: перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс.
- Векторный аналог скаляра несет дополнительную информацию о «куда».
Скаляр или вектор?
Распределите каждую величину по признаку необходимости направления.
Какая из этих величин является вектором?
Скорость имеет величину и направление, поэтому это вектор. Температура, масса и время — скаляры.
Выберите все скаляры.
Скорость и энергия — скаляры (только величина). Сила и перемещение — векторы.
Сложение векторов
- Векторы складываются головкой к хвосту, а не просто числами.
- Самый простой метод: разложить каждый на компоненты вдоль осей, затем сложить компоненты.
- Две силы по $3\ \text{N}$ могут в сумме дать все что угодно от $0$ до $6\ \text{N}$, в зависимости от их направлений.
Вы прошли $9\ \text{km}$ на восток, а затем $12\ \text{km}$ на север. Как далеко вы находитесь от начальной точки (в км)?
Модуль перемещения равен $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15\ \text{km}$ — а не $21$.
Два $4\ \text{N}$ силы всегда складываются до $8\ \text{N}$.
Только если они направлены одинаково. При прямых углах они дают $\sqrt{4^2+4^2} \approx 5.7\ \text{N}$; встречные — $0$.
Модуль и направление
- Из компонентов $(A_x, A_y)$ модуль равен $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$.
- Направление — угол $\theta = \tan^{-1}(A_y/A_x)$.
- Компоненты и модуль-угол — это просто два языка для одного и того же вектора.
Вектор имеет компоненты $A_x = 6$, $A_y = 8$. Чему равен его модуль?
$|\vec{A}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
Вектор имеет компоненты $A_x = 3$, $A_y = 4$.
- Модуль: $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
- Направление: $\theta = \tan^{-1}(4/3) \approx 53^\circ$ над осью x.
Вы не можете складывать векторы как обычные числа. Пройдя $3\ \text{km}$ на восток, а затем $4\ \text{km}$ на север, вы окажетесь на расстоянии $5\ \text{km}$ — а не $7$. Только когда два вектора направлены в одну сторону, их модули просто складываются.
Скаляр имеет только величину; вектор имеет величину и направление. Складывайте векторы через компоненты ($A_x$, $A_y$), затем восстановите модуль $\sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ и угол. Путь и скорость — скаляры; перемещение, скорость и сила — векторы.