Второй закон Ньютона во вращательной форме
Крутите сильнее, чтобы раскрутиться быстрее — но большие колеса сопротивляются
- Резко дерните колесо велосипеда, и оно быстро раскрутится; тяжёлый маховик почти не реагирует на тот же крутящий момент.
- Больше момента силы быстрее раскручивает объекты; больше момент инерции сопротивляется изменению.
- Существует одно уравнение, связывающее момент силы, момент инерции и угловое ускорение.
- Это второй закон Ньютона — адаптированный для вращения.
Вращательный второй закон
- Результирующий момент силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение: $\sum \tau = I\alpha$.
- Переформулировано: $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I}$ — величина раскручивания, которую создаёт момент.
- Больший момент силы ⇒ больший $\alpha$; больший $I$ ⇒ меньший $\alpha$.
- Это точный аналог $\vec F = m\vec a$, в котором вращательные величины заменены соответствующими линейными.
Результирующий момент силы $12\ \text{N·m}$ действует на колесо с моментом инерции $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Каково угловое ускорение в $\tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$?
$\alpha = \sum\tau / I = 12/3 = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Какой суммарный момент создает колесу с моментом инерции $I = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ угловое ускорение $5\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$? Ответ дайте в $\text{N·m}$.
$\tau = I\alpha = 2 \times 5 = 10\ \text{N·m}$.
Второй закон вращательного движения гласит: суммарный момент $= I\_\_$ (вставьте угловую величину).
$\sum\tau = I\alpha$ — это момент инерции, умноженный на угловое ускорение.
Полный аналогизм
- Сила $\to$ момент силы $\tau$; масса $\to$ момент инерции $I$; ускорение $\to$ угловое ускорение $\alpha$.
- Каждому закону прямолинейного движения соответствует вращательный аналог, полученный путём этой замены.
- $F = ma$ становится $\tau = I\alpha$; импульс $mv$ превращается в момент импульса $I\omega$.
- Выучите один столбец, и другой получите бесплатно.
Во втором законе вращательного движения $\tau = I\alpha$ какая величина выполняет роль массы?
Момент инерции $I$ является вращательным аналогом массы — сопротивлением угловому ускорению.
Сопоставьте каждую вращательную величину с ее линейным аналогом.
$\tau \leftrightarrow F$, $I \leftrightarrow m$, $\alpha \leftrightarrow a$ превращают $F = ma$ в $\tau = I\alpha$.
Почему тяжёлые колеса медлительны
- Большой $I$ (масса далеко от оси) означает, что данный момент силы вызывает лишь малое $\alpha$.
- Маховики используют это намеренно — они сопротивляются изменениям скорости вращения, сглаживая работу двигателя.
- Чтобы быстро раскрутить тяжёлое колесо, требуется большой момент.
- Один и тот же момент, больший момент инерции ⇒ медленнее разгоняется и медленнее останавливается.
Второй закон Ньютона для вращательного движения
Момент силы вызывает угловое ускорение пропорционально моменту инерции: момент = I × α.
При одинаковом суммарном моменте больший момент инерции дает меньшее угловое ускорение.
$\alpha = \tau / I$: более большой $I$ в знаменателе означает меньший $\alpha$.
Вращательный второй закон использует результирующий момент, а не силу, и момент инерции, а не массу. Не подставляйте обычную массу в $\tau = I\alpha$ — вы должны использовать $I = \sum mr^2$, который зависит от распределения массы.
Результирующий момент силы $12\ \text{N}\cdot\text{m}$ действует на колесо с моментом инерции $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I} = \dfrac{12}{3} = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Удвоение момента инерции при том же моменте силы даёт только $2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
Второй закон Ньютона для вращения: $\sum \tau = I\alpha$, следовательно $\alpha = \sum\tau / I$. Он отражает $F = ma$ с заменой момента на силу, момента инерции на массу и углового ускорения на ускорение. Большой $I$ делает объект медлительным как при разгоне, так и при торможении.