Вращательная инерция
| English | Русский |
|---|---|
| rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/ | момент инерции |
Фигуристка крутится быстрее, подтягивая руки
- Фигуристка медленно крутится с раскинутыми руками, затем подтягивает их к телу и превращается в размытое пятно.
- Она не добавила ни одного толчка — она просто переместила свою массу ближе к оси.
- Насколько трудно что-то раскрутить, зависит от того, где расположена масса, а не только от ее количества.
- Эта «вращательная инертность» называется моментом инерции.
Распределение массы — всё
- Момент инерции (момент инерции) $I$ измеряет сопротивление угловому ускорению.
- Для точечных масс: $I = \sum m r^2$ — каждый элемент массы учитывается пропорционально квадрату своего расстояния.
- Масса, расположенная далеко от оси, вносит гораздо больший вклад, чем масса рядом с ней.
- Единицы измерения: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Два шара массой $0.5\ \text{kg}$ расположены на расстоянии $2\ \text{m}$ от оси на легкой палке. Чему равен момент инерции в $\text{kg}\cdot\text{m}^2$?
$I = \sum mr^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Вращательная инерция зависит от:
$I = \sum mr^2$ зависит как от массы, так и от расстояния до оси (в квадрате).
Для точечных масс вращательная инерция равна сумме $m r^{\_\_}$. Вставьте степень.
$I = \sum m r^2$ — расстояние появляется в квадрате.
Переместите те же два шара массой $0.5\ \text{kg}$ на расстояние $1\ \text{m}$ от оси. Чему равна новая вращательная инерция в $\text{kg}\cdot\text{m}^2$?
$I = 2 \times (0.5 \times 1^2) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — уменьшение $r$ вдвое приводит к уменьшению $I$ вчетверо.
Форма имеет значение, поэтому существуют стандартные формулы
- Одна и та же масса может иметь совершенно разные значения $I$ в зависимости от формы и оси.
- Пустое кольцо (вся масса на ободе) имеет больший $I$, чем сплошной диск той же массы.
- Для стандартных форм известны формулы, например, для сплошного диска это $I = \tfrac12 M R^2$.
- Именно такой $r^2$ делает пустотелые объекты «тяжелее» для раскручивания.
Два объекта имеют одинаковую массу. Выберите все способы сделать один из них труднее для вращения, чем другой.
Перемещение массы наружу (обод, полый环) повышает $I$. Цвет не имеет значения.
Возвращаемся к фигуристке
- Подтягивание рук уменьшает $r$, поэтому её угловая скорость $I$ резко возрастает (благодаря сохранению $r^2$).
- При сохранении момента импульса (следующая тема) меньшее $I$ означает большее $\omega$ — она ускоряется.
- Дайверы и гимнасты принимают положение «книгой» по той же причине: малый $I$, быстрый вращение.
- Растягивание обратно замедляет вращение.
Больше или меньше вращательная инерция?
Вращательная инерция зависит от того, насколько далеко масса расположена от оси. Отсортируйте каждый случай.
Фигурист ускоряет вращение, прижимая руки к телу, потому что его вращательная инерция уменьшается.
Меньший $r$ означает меньший $I$; при сохранении момента импульса $\omega$ возрастает.
Момент инерции — это не просто масса; он зависит от расположения массы. Два объекта одинаковой массы могут быть очень разными по легкости раскручивания. Благодаря $r^2$ масса на ободе важна намного больше, чем масса у оси.
Два $0.5\ \text{kg}$ шара находятся на легкой палке, каждый на расстоянии $2\ \text{m}$ от оси.
- $I = \sum m r^2 = 2 \times (0.5 \times 2^2) = 2 \times 2 = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
Переместите их к $1\ \text{m}$ и $I$ уменьшится до $2 \times (0.5 \times 1) = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ — в четыре раза меньше.
Момент инерции $I$ — это сопротивление угловому ускорению: $I = \sum mr^2$. Он зависит от расположения массы (расстояние в квадрате), а не только от её количества — поэтому фигурист, подтягивая руки к телу, уменьшает $I$ и вращается быстрее. Единицы измерения: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.