Связь линейного и вращательного движения
На карусели край обгоняет центр
- Стойте ближе к центру вращающейся карусели, и вы будете медленно смещаться.
- Стойте на краю, и вас будет мчаться быстро — но все имеют одну и ту же скорость вращения.
- Вся платформа вращается целиком, поэтому у всех одинаковая угловая скорость.
- Но линейная скорость каждого пассажира зависит от того, насколько далеко он сидит от центра.
Уравнения связи
- Длина дуги связана с углом: $s = r\theta$.
- Линейная скорость связана с угловой скоростью: $v = r\omega$.
- Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением: $a_t = r\alpha$.
- В каждом случае умножьте угловую величину на радиус $r$.
Радиус определяет скорость
Измените радиус и посмотрите, как длина дуги (а значит, и линейная скорость) масштабируется пропорционально r.
Точка находится на расстоянии $0.3\ \text{m}$ от оси колеса и вращается со скоростью $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Какова ее линейная скорость в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Длина описанной дуги равна $s = r\_\_$ (вставьте вращательную величину).
$s = r\theta$ — радиус, умноженный на угол в радианах.
Выберите все правильные уравнения, связывающие линейные и вращательные величины.
Каждое из них связывает вращательную величину с линейной путем умножения на $r$. $v = \omega/r$ неверно.
Чем дальше — тем быстрее
- Поскольку $v = r\omega$, больший радиус дает большую линейную скорость при том же вращении.
- Обод колеса движется быстрее, чем точка рядом с ступицей.
- Вот почему длинный конец рычага, лопастной вентилятор или внешняя лошадь на карусели движутся быстрее всего.
- Один и тот же $\omega$ везде на теле; разный $v$ на разных радиусах.
На жестком вращающемся диске как сравниваются точка на ободе и точка у ступицы?
Все точки имеют одинаковое $\omega$; обод имеет больший радиус, поэтому там значение $v = r\omega$ больше.
Для того же колеса выше, какова линейная скорость на расстоянии $0.6\ \text{m}$ от оси в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — удвоение радиуса удваивает скорость.
Катение без проскальзывания
- Когда колесо катится без проскальзывания, его центр движется со скоростью $v = r\omega$.
- Точка контакта мгновенно покоится; верхняя точка движется со скоростью $2v$.
- Это аккуратное условие связывает вращение колеса с его поступательным движением.
- Мы воспользуемся этим снова при изучении энергии качения в следующей теме.
Колесо, катящееся без проскальзывания, имеет центр, движущийся со скоростью $v = r\omega$.
Катение без проскальзывания связывает пройденный путь с вращением точно через $v = r\omega$.
Каждая точка жёсткого вращающегося тела имеет одинаковый $\omega$, но не одинаковый $v$. Не полагайте, что край и центр движутся с одинаковой линейной скоростью — край движется значительно быстрее, поскольку его радиус больше ($v = r\omega$).
Точка находится на расстоянии $0.3\ \text{m}$ от оси колеса, вращающегося со скоростью $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Точка на расстоянии $0.6\ \text{m}$ двигалась бы со скоростью $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — вдвое быстрее при том же вращении.
Линейное и угловое движение связаны через радиус: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Каждая точка твердого тела имеет одинаковую $\omega$, но точки, удаленные дальше от оси, имеют большую $v$. Колесо, катящееся без проскальзывания, подчиняется $v = r\omega$.