Звездные радиусы
| English | Русский |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | температура |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | закон смещения Вина |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | закон Стефана-Больцмана |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | абсолютно черный предмет |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | длину волны |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | постоянная Стефана-Больцмана |
Никакой телескоп не может увидеть звезду как диск
- Каждая звезда, кроме Солнца, даже в самом большом телескопе выглядит как точка. Её диск слишком мал для разрешения.
- Тем не менее радиус звезды, находящейся в нескольких тысячах световых лет, — это рутинный расчёт, выполняемый на основе двух величин, которые можно измерить: её цвета и яркости.
- Цвет дает температуру поверхности. Яркость и расстояние дают полную мощность. Эти два параметра вместе позволяют определить размер.
- Этот урок посвящён закону смещения Вина и закону Стефана-Больцмана, а также трёхступенчатой цепочке, их связывающей.
Закон смещения Вина
- Горячее тело излучает непрерывный чернотельный спектр, максимум которого расположен на длине волны, определяемой его температурой:
- Длина волны, на которой интенсивность максимальна, обратно пропорциональна термодинамической температуре. Говорите «длина волны максимальной интенсивности», а не просто «длина волны».
- Температура должна быть в кельвинах, а закон описывает пик непрерывной кривой, а не спектральные линии.
- Чем горячее, тем синее: красная звезда около $3000\ \text{K}$ имеет пик в инфракрасном диапазоне, Солнце около $5800\ \text{K}$ — примерно на $500\ \text{nm}$, а сине-белая звезда около $20000\ \text{K}$ — в ультрафиолетовом.
Горячее, выше и левее
Более горячие звезды имеют спектральный максимум (закон Вина) на ____ длине волны.
$\lambda_{\max}T = b$, поэтому более высокая $T$ означает меньшую $\lambda_{\max}$ — в сторону синего.
Что относится к формулировке закона смещения Вина? Выберите все подходящие варианты.
Речь идет о пике непрерывного чернотельного спектра, а не о линиях. Упоминание только длины волны лишает балла; нужно сказать длину волны максимальной интенсивности.
Разобранный пример: определение температуры звезды
- Спектр звезды имеет пик на $500\ \text{nm}$. Найдите температуру её поверхности.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Сначала переведите нанометры в метры. Константа выражена в метре·кельвин, поэтому длина волны в нм даст температуру, отличающуюся на $10^9$.
- Это одно измерение является главной причиной, по которой цвет звезды полезен: цвет — это температура.
Спектр звезды имеет максимум при $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. Какова ее температура поверхности? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — примерно у Солнца.
Соотнесите каждую звезду с тем, где максимален ее спектр.
Более высокие температуры дают максимумы на более коротких длинах волн. Именно это одно измерение делает цвет звезды полезным: цвет есть температура.
Закон Стефана-Больцмана
- Рассматривайте звезду как черное тело в форме сферы радиусом $r$ и температурой на поверхности $T$:
- $\sigma$ — это постоянная Стефана-Больцмана.
- Две зависимости, и они сильно различаются по силе. $L \propto r^2$: удвоение радиуса дает четырехкратное увеличение светимости. $L \propto T^4$: удвоение температуры дает шестнадцатикратное увеличение светимости.
- Поэтому небольшая ошибка в температуре приводит к большой ошибке в светимости, поэтому пиковую длину волны следует считывать внимательно.
Светимость и радиус звезды
L ∝ r²
При заданной температуре поверхности светимость звезды растет пропорционально КВАДРАТУ ее радиуса (закон Стефана-Больцмана).
Закон Стефана–Больцмана дает светимость звезды как:
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — сильно зависит как от радиуса, так и от температуры.
Используя $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты.
L пропорционально r^2 и T^4. Именно эта четвертая степень объясняет, почему длину волны максимума нужно считывать внимательно и исправлять на красное смещение.
Разобранный пример: светимость звезды, подобной Солнцу
- Звезда имеет радиус $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ и температуру поверхности $5800\ \text{K}$. Найдите её светимость.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Возведите радиус в квадрат, а температуру — в четвертую степень. На калькуляторе выполните $T^4$ как отдельный шаг и проверьте его порядок: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
Если температура звезды удваивается (при том же радиусе), ее светимость увеличивается в:
$L \propto T^{4}$, поэтому удвоение $T$ дает $2^{4} = 16$ светимости.
Одинаковая светимость, противоположные звезды
- Поскольку $L$ зависит от обоих $r$ и $T$, две совершенно разные звезды могут иметь одинаковую светимость.
- Красный гигант холодный, поэтому его $T^4$ мало, но он огромен, и $r^2$ компенсирует это.
- Белый карлик очень горячий, но крошечный: огромное $T^4$ при мизерном $r^2$.
- Если ответ кажется неожиданным, проверьте его следующим образом. Звезда $140$ раз ярче Солнца, но только $1.6$ раз горячее обязательно должна быть значительно больше, поскольку $L \propto r^2T^4$.
Расставьте три шага для оценки радиуса звезды по порядку.
Каждый шаг занимает одну строку. Сохраняйте полную точность L и T до конца, потому что T возводится в четвертую степень.
Оценка радиуса в три шага
- Первый. Измерьте $\lambda_{\text{max}}$ и получите $T$ из закона Вина.
- Второй. Получите $L$, обычно из потока и расстояния: $L = 4\pi d^2 F$.
- Третий. Выразите радиус из закона Стефана-Больцмана:
- Каждый шаг занимает одну строку. Сохраняйте полную точность $L$ и $T$ до конца, потому что $T$ возводится в четвертую степень, а раннее округление стоит дорого.
Объединение закона Вина и закона Стефана–Больцмана позволяет оценить радиус звезды.
Вин дает $T$, поток и расстояние дают $L$, затем $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Солнечный свет имеет поток 1370 Вт/м^2 на расстоянии 1.50e11 м, а спектр Солнца максимален при 500 нм. Каков радиус Солнца в единицах 1e8 м?
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, тогда r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 м против принятого значения 6.96e8 м. Три формулы в одну строку, разрешение телескопа не требуется.
Разобранный пример: радиус Солнца с нуля
- Солнечный свет у Земли имеет поток $1370\ \text{W/m}^2$ на расстоянии $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, а спектр Солнца имеет максимум при $500\ \text{nm}$. Оцените радиус Солнца.
- Светимость: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Температура: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Радиус: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- Принятое значение составляет $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Три формулы в одну строку, разрешение телескопа не требуется.
В $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ и $F = L/(4\pi d^2)$ длины $r$ и $d$ означают одно и то же.
r — собственный радиус звезды; d — расстояние от нас. Перестановка их местами является наиболее частой ошибкой в этой теме, и эти величины отличаются на многие порядки.
Потерянные баллы
- Закон Вина касается длины волны максимальной интенсивности, и $T$ должно быть в кельвинах.
- Переведите $\lambda_{\text{max}}$ в метры; постоянная $b$ выражена в метр-кельвин.
- В $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ $r$ — это радиус звезды; в $F = L/(4\pi d^2)$ $d$ — это расстояние до нас. Два разныхlengths, и их перепутать — самая частая ошибка в этой теме.
- Сохраняйте полную точность до последней строки, так как $T$ возводится в четвертую степень.
- Для удаляющейся галактики скорректируйте наблюдаемый максимум перед использованием закона Вина, иначе температура получится слишком низкой.
Вы поняли
- Закон смещения Вина: длина волны максимальной интенсивности обратно пропорциональна термодинамической температуре, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Стефан-Больцман: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, поэтому светимость зависит от квадрата радиуса и четвертой степени температуры
- радиус определяется в три шага: $\lambda_{\text{max}} \to T$, затем $F$ и $d \to L$, затем $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- держите $r$ (звезду) и $d$ (до нас) отдельно и сохраняйте полную точность до конца из-за $T^4$