Электрический потенциал
| English | Русский |
|---|---|
| electric potential/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl/ | электрический потенциал |
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| electric potential energy/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | электрический потенциальная энергия |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | бесконечности |
| potential gradient/pəˈtenʃl ˈɡreɪdɪənt/ | градиент потенциала |
| bound/baʊnd/ | связанную |
График, отвечающий на четыре вопроса сразу
- Любимый экзаменационный вопрос рисует электрический потенциал вдоль линии между двумя заряженными сферами и просит найти четыре вещи: знаки зарядов, где поле равно нулю, соотношение зарядов и силу, действующую на заряд, помещенный в точку.
- Все четыре выводятся из одной кривой, потому что потенциал — это скаляр, который просто складывается, а поле — это градиент графика.
- Научитесь читать эту одну картинку, и целый класс вопросов станет рутинным.
- Этот урок посвящен электрическому потенциалу, его связи с полем и электрической потенциальной энергии.
Определение потенциала
- Электрический потенциал в точке — это работа, совершенная на единицу положительного заряда при перемещении малого пробного заряда из бесконечности в эту точку:
- Оба момента: работа на единицу положительного заряда и из бесконечности в точку. Потенциал равен нулю в бесконечности, именно это делает определение корректным.
- Для положительного исходного заряда $V > 0$ везде снаружи него, так как работу необходимо совершать над положительным пробным зарядом, чтобы толкать его против отталкивания. Для отрицательного исходного заряда $V < 0$.
Электрический потенциал в точке — это работа по перемещению единичного положительного заряда из:
Как и гравитационный потенциал, он отсчитывается от бесконечности, где потенциал принимается равным нулю.
Какие элементы необходимы для определения электрического потенциала на два балла? Выберите все подходящие варианты.
На единицу положительного заряда и из бесконечности. То, что потенциал на бесконечности равен нулю, делает определение корректным; покой заряда в него не входит.
Потенциал точечного заряда
- Обратите внимание на $\dfrac{1}{r}$, где поле меняется как $\dfrac{1}{r^2}$. Эта разница — самый часто проверяемый факт в теме.
- $V$ является скаляром. Для нескольких зарядов складывайте потенциалы со знаками: никаких направлений, никакого разложения, только сумма.
Кривая выше оси или ниже нее, зависящая только от знака Q
Электрический потенциал
V = kQ / r
Потенциал ∝ 1/r вокруг заряда — крутой рядом с ним, выравнивающийся дальше.
Электрический потенциал вблизи точечного заряда изменяется как 1/r.
Да — $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ изменяется как $1/r$, тогда как поле изменяется как $1/r^{2}$.
Чтобы найти потенциал в точке от нескольких зарядов, сложите индивидуальные потенциалы с учетом их знаков.
Потенциал является скаляром, поэтому ничего не нужно разлагать. Поля же необходимо складывать как векторы с учетом направлений.
Поле есть минус градиент потенциала
- Поле в точке равно минус градиенту потенциала в этой точке:
- Знак минус указывает, что поле направлено к меньшему потенциалу: положительный заряд, освобожденный в этом поле, движется «вниз» по $V$.
- В однородном поле потенциал падает равномерно, поэтому градиент постоянен, и это сводится к $E = V/d$, что является результатом для параллельных пластин из предыдущего раздела.
- Практически: чтобы получить поле из графика $V$ от $x$, проведите касательную и возьмите минус ее градиента.
Электрическое поле равно минус производной потенциала ____ (E = −dV/dx).
Поле направлено «вниз» по потенциалу, к более низким значениям V.
Как определить электрическое поле по графику зависимости потенциала от расстояния?
E = -dV/dx. Знак минус указывает, что поле направлено к более низкому потенциалу; в однородном поле постоянный наклон дает E = V/d.
Разобранный пример: чтение графика двух сфер
- Потенциал вдоль линии между сферами X и Y, $1.2\ \text{m}$ apart (расстояние), положителен везде и имеет минимум на расстоянии $0.50\ \text{m}$ от X. Сформулируйте три вывода.
- Оба заряда положительны, потому что потенциал положителен везде вдоль линии.
- Поле равно нулю в точке $x = 0.50\ \text{m}$, потому что там градиент равен нулю (точка равновесия) и $E = -dV/dx$.
- Y имеет больший заряд, потому что точка нулевого поля находится ближе к X. Количественно это соотносится как $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^2 = 2.0$.
- Если бы кривая пересекала ноль, заряды были бы противоположными, и там отношение определяется формулой из $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d-x)$ без квадрата.
Потенциал между двумя сферами положителен везде, но имеет минимум ближе к сфере X. Какие выводы верны? Выберите все подходящие варианты.
Минимум V соответствует нулевому наклону, а значит, и нулевому полю; он расположен ближе к меньшему заряду. Потенциал там является минимумом, а не нулем, поэтому qV также не равен нулю.
Электрический потенциальная энергия
- Заряд $q$, помещенный в точку с потенциалом $V$, обладает электрической потенциальной энергией $E_{\text{P}} = qV$. Для двух точечных зарядов:
- Одноименные заряды дают положительную потенциальную энергию: при освобождении они разлетаются. Разноименные заряды дают отрицательную энергию — это связанная система, и для их разведения на бесконечность нужно совершить работу.
- Это та же схема, что и гравитационная потенциальная энергия, которая всегда отрицательна, так как гравитация всегда притягивает.
Выше оси они разлетелись бы; ниже она связана
Электрическая потенциальная энергия заряда $q$ в точке с потенциалом $V$ равна:
$E_{\text{P}} = qV$; для двух точечных зарядов это принимает вид $\dfrac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
Два противоположных заряда имеют отрицательную электрическую потенциальную энергию (связанная система).
Отрицательная потенциальная энергия означает, что для их разъединения необходимо затратить энергию — они связаны, как электрон и ядро.
Два противоположных заряда имеют отрицательную электрическую потенциальную энергию, поэтому систему описывают как ____.
Необходимо совершить работу, чтобы разнести их в бесконечность, где энергия равна нулю. Одноименные заряды имеют положительную энергию и разлетелись бы при освобождении.
Электрическое и гравитационное, рядом
| гравитационное | электрическое | |
|---|---|---|
| сила | $F = \dfrac{Gm_1m_2}{r^2}$ | $F = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ |
| поле | $g = \dfrac{GM}{r^2}$ | $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ |
| потенциал | $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ | $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ |
- Одинаковая форма во всех случаях. Единственное отличие: масса имеет один знак, поэтому гравитация всегда притягивает, а $\phi$ всегда отрицателен; заряд имеет два знака, поэтому электрические величины могут быть любыми.
Сопоставьте каждую величину с тем, как она изменяется с расстоянием от точечного заряда.
Поле обратно пропорционально квадрату расстояния; потенциал обратно пропорционален расстоянию (зависимость слабее, чем у поля).
Разобранный пример: опишите движение
- Положительный заряд помещают в точку P на линии двух сфер и отпускают. Опишите и объясните его движение.
- Он движется в сторону меньшего потенциала, то есть вниз по склону графика $V$, потому что поле направлено туда, а сила, действующая на положительный заряд, совпадает с полем.
- Сила, а значит ускорение, не постоянна: она равна $-q\,dV/dx$, а градиент меняется вдоль линии.
- Он разгоняется везде, где переходит в область меньшего потенциала, приобретая кинетическую энергию, равную $q\Delta V$, потерянной в потенциальной энергии.
Потерянные баллы
- Потенциал равен $\dfrac{1}{r}$; поле равно $\dfrac{1}{r^2}$. Проверьте, что именно требует вопрос, прежде чем подставлять значения.
- Определение требует на единицу положительный заряд и от бесконечности. Ноль на бесконечности — основа определения.
- Потенциалы складываются как скаляры со знаками; поля складываются как векторы. Никогда не раскладывайте потенциалы на компоненты.
- Нулевое поле — это место, где график $V$ имеет нулевой градиент, а не где сам $V$ равен нулю. Между противоположными зарядами кривая пересекает ноль, но её градиент не равен нулю.
Вы поняли
- Электрический потенциал — это работа, совершенная на единицу положительный заряд при перемещении малого пробного заряда из бесконечности; он равен нулю на бесконечности, положителен около положительного заряда
- $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ изменяется как $\dfrac{1}{r}$ и является скаляром, поэтому несколько зарядов складываются со знаками
- $E = -\dfrac{dV}{dx}$: поле равно минус градиенту потенциала, поэтому нулевое поле означает нулевой градиент, а в однородном поле это дает $E = V/d$
- Электрическая потенциальная энергия $E_{\text{P}} = qV = \dfrac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 r}$: положительна для одноименных зарядов, отрицательна для противоположных, которые являются связанными