Конденсаторы и ёмкость
| English | Русский |
|---|---|
| capacitance/kəˈpæsɪtəns/ | ёмкость (конденсатора) |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| farad/ˈfæræd/ | фарад |
| dielectric/ˌdaɪɪˈlektrɪk/ | диэлектрик |
| series/ˈsɪəriːz/ | последовательно |
Аккумулятор, который заполняется, а затем останавливается
- Подключите конденсатор к источнику тока, и ток потечет на мгновение, а затем полностью прекратится, даже если источник остается подключенным.
- Он прекращается, потому что две пластины не соединены между собой. Электроны покидают одну пластину и поступают на другую через батарею, и поток прекращается, когда разность потенциалов (p.d.) на зазоре достигла значения, соответствующего напряжению батареи.
- Так конденсатор оказывается с зарядом $+Q$ на одной пластине и $-Q$ на другой, всегда равными по модулю и противоположными по знаку, а само устройство в целом остается нейтральным.
- Этот урок посвящен емкости, тому, что ее определяет, и тому, как конденсаторы объединяются.
Определение емкости
- Емкость конденсатора или любого изолированного проводника — это заряд на единицу разности потенциалов:
- Определения на два балла немного различаются. Для плоского конденсатора: заряд на одной пластине на единицу разности потенциалов между пластинами. Для изолированной сферы: заряд на проводнике на единицу потенциала.
- Единица измерения — фарад, $1\ \text{F} = 1\ \text{C/V}$. Фарад огромен, поэтому реальные конденсаторы имеют емкость от пикофарад до миллифарад.
Две пластины, диэлектрик между ними, и заряд, который не может пересечь
Ёмкость
Q = C·V
Charge stored is proportional to voltage — the gradient is the capacitance C.
Capacitance is the charge stored per unit:
$C = \dfrac{Q}{V}$ — charge per volt, in farads.
A capacitor holds $0.012\ \text{C}$ at $4.0\ \text{V}$. What is its capacitance, in mF?
$C = \dfrac{Q}{V} = \dfrac{0.012}{4.0} = 0.0030\ \text{F} = 3.0\ \text{mF}$.
A charged capacitor holds +Q on one plate and -Q on the other, so the capacitor as a whole is neutral.
Electrons move from one plate to the other through the battery, so the charges are always equal and opposite. The stored charge Q means the charge on one plate.
Что определяет емкость
- $C$ является константой для данного конденсатора. Удвоение заряда удваивает и разность потенциалов, поэтому соотношение не меняется. Именно поэтому график $Q$ от $V$ представляет собой прямую линию через начало координат.
- Для параллельных пластин $C$ пропорциональна площади пластин и обратно пропорциональна расстоянию: уменьшение зазора вдвое удваивает емкость. Замена воздуха на диэлектрик еще больше увеличивает её.
- Для изолированной сферы радиусом $r$, $V = Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$, следовательно $C = 4\pi\varepsilon_0 r$: емкость зависит только от её размера.
Doubling the charge on a capacitor doubles the voltage, so its capacitance stays the same.
$C = \dfrac{Q}{V}$ is fixed by the capacitor's size and dielectric — $Q$ и $V$ rise together.
Разобранный пример: заряженная сфера
- Изолированная металлическая сфера радиусом $15\ \text{cm}$ заряжена до потенциала $9.0 \times 10^3\ \text{V}$. Найдите её емкость и заряд.
- $C = 4\pi\varepsilon_0 r = \dfrac{0.15}{8.99 \times 10^9} = 1.7 \times 10^{-11}\ \text{F}$, что равно $17\ \text{pF}$.
- $Q = CV = (1.67 \times 10^{-11})(9.0 \times 10^3) = 1.5 \times 10^{-7}\ \text{C}$.
- Полезная формула: поскольку $4\pi\varepsilon_0 = 1/(8.99 \times 10^9)$, ёмкость сферы равна просто $r/(8.99 \times 10^9)$, где $r$ указано в метрах. Девять тысяч вольт накапливают лишь седьмую часть микрокулона, потому что сфера является очень плохим конденсатором.
Конденсаторы параллельно
- Конденсаторы, соединённые параллельно, имеют одинаковый разность потенциалов на своих обкладках, поэтому каждый накапливает $C_nV$, а заряды складываются:
- Суммарная ёмкость комбинации больше, чем у любого отдельного конденсатора, поскольку эффект аналогичен увеличению площади пластин.
Параллельное соединение увеличивает ёмкость; последовательное уменьшает её
A $2.0\ \mu\text{F}$ and a $3.0\ \mu\text{F}$ capacitor are in parallel. What is the total capacitance, in µF?
In parallel capacitances add: $2.0 + 3.0 = 5.0\ \mu\text{F}$.
Two capacitors in parallel give a combined capacitance that is:
Parallel capacitors add ($C_1 + C_2$) — the opposite of resistors, which add in series.
An isolated sphere of radius 0.15 m has capacitance C = 4 pi eps0 r. What is C in picofarads? (1/4 pi eps0 = 8.99e9)
C = r / 8.99e9 = 0.15 / 8.99e9 = 1.7e-11 F = 17 pF. A sphere is a very poor capacitor: 9000 V stores only about 0.15 microcoulombs.
Конденсаторы последовательно
- Конденсаторы, соединённые последовательно, несут одинаковый заряд, так как заряд, подведённый к одной обкладке, должен уйти с соединённой с ней обкладки. Разности потенциалов складываются, поэтому $V = Q/C_1 + Q/C_2$ и:
- Суммарная ёмкость комбинации меньше, чем у любого отдельного конденсатора, словно расстояние между пластинами увеличилось.
- Это обратная ситуация по сравнению с резисторами; формулировка причины (одинаковая разность потенциалов для параллельного соединения и одинаковый заряд для последовательного) является сутью вопроса типа «выведите».
Match each capacitor arrangement to the fact that gives its combination rule.
Those two facts are what a "derive the formula" question wants, and they are the reason the rules are the reverse of the ones for resistors.
Capacitors in parallel add, which is the ____ of the rule for resistors.
Resistors add in series and use reciprocals in parallel; capacitors do it the other way round. Mixing them up is the commonest error in this subtopic.
Разобранный пример: объединение трёх
- Конденсатор $2.0\ \mu\text{F}$ и конденсатор $3.0\ \mu\text{F}$ соединены параллельно, и эта комбинация соединена последовательно с конденсатором $5.0\ \mu\text{F}$. Найдите полную ёмкость.
- Сначала параллельная пара: $C_{\text{p}} = 2.0 + 3.0 = 5.0\ \mu\text{F}$.
- Затем последовательно с $5.0\ \mu\text{F}$: $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{5.0} + \dfrac{1}{5.0} = \dfrac{2}{5.0}$, итого $C = 2.5\ \mu\text{F}$.
- Вычисляйте от внутреннего к внешнему, точно так же, как с резисторами, но с поменявшимися местами правилами. Окончательный ответ должен быть меньше, чем у любой части последовательной пары, что служит проверкой.
A 2.0 uF and a 3.0 uF capacitor in parallel are connected in series with a 5.0 uF capacitor. What is the total capacitance in uF?
The parallel pair gives 5.0 uF, then in series with 5.0 uF: 1/C = 1/5 + 1/5, so C = 2.5 uF. The result must be smaller than either series element.
Потерянные баллы
- Параллельные конденсаторы складываются; последовательные используют правило обратных величин. Это противоположно резисторам и является самой распространённой ошибкой здесь.
- Определение — это заряд на единицу разности потенциалов, а для пластин это заряд на одной обкладке.
- Заряды на двух обкладках равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому конденсатор в целом нейтрален. Никогда не пишите $2Q$.
- $C$ определяется геометрией конденсатора. Увеличение заряда не меняет $C$; оно изменяет $Q$ и $V$ вместе.
Вы поняли
- Ёмкость — это заряд на единицу разности потенциалов, $C = Q/V$, в фарадах; для пластин это заряд на одной обкладке
- $C$ зависит от геометрии: отношение площади пластин к расстоянию между ними для конденсатора, и $C = 4\pi\varepsilon_0 r$ для изолированной сферы
- Параллельное: одинаковая разность потенциалов, заряды складываются, $C = C_1 + C_2$, большая ёмкость
- Последовательное: одинаковый заряд, разности потенциалов складываются, $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$, меньшая ёмкость, противоположно резисторам