Электрическое поле точечного заряда
| English | Русский |
|---|---|
| point charge/pɔɪnt tʃɑːdʒ/ | точечного заряда |
| inverse-square/ɪnˈvɜːs skweə/ | обратный квадрат |
| vector sum/ˈvektə sʌm/ | векторная сумма |
Уберите второй заряд
- Закон Кулона требует наличия двух зарядов. Но одиночный заряд всё равно изменяет пространство вокруг себя, независимо от того, есть ли там что-либо, что могло бы это почувствовать.
- Разделив силу Кулона на пробный заряд, сам пробный заряд сокращается. Остальное описывает источниковый заряд сам по себе: его поле.
- Это и есть вся суть перехода от силы к полю, и именно поэтому определение поля имеет смысл.
- Этот урок посвящен полю точечного заряда, его убыванию по закону обратной квадрата и тому, как поля нескольких зарядов складываются.
Поле точечного заряда
- Возьмите закон Кулона и разделите его на пробный заряд, $E = F/q$:
- Он направлен наружу от положительного $Q$ и внутрь к отрицательному, и убывает как $\dfrac{1}{r^2}$.
- В уравнении участвует только источниковый заряд. В этом и состоит суть: поле существует независимо от наличия другого заряда, который мог бы его ощутить.
Радиальные линии и кривая, резко падающая вниз
Поле точечного заряда
E ∝ Q/r²
Электрическое поле точечного заряда распространяется радиально и подчиняется закону обратного квадрата.
Напряжённость поля на расстоянии $r$ от точечного заряда $Q$ равна:
Из $E = F/q$ с силой Кулона пробный заряд сокращается, оставляя $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$.
Поле равно $100\ \dfrac{\text{N}}{\text{C}}$ на расстоянии $r$ от заряда. Чему оно равно на расстоянии $2r$?
Обратно-квадратичная зависимость: $\dfrac{100}{2^{2}} = 25\ \dfrac{\text{N}}{\text{C}}$.
Вектор напряжённости направлен ____ от положительного точечного заряда.
Положительный заряд отталкивает положительный пробный заряд, поэтому его поле направлено наружу.
Точно как гравитация
- Сравните $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ с $g = \dfrac{GM}{r^2}$. Та же форма обратной квадрата, где $Q$ стоит вместо $M$, а $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ — вместо $G$.
- Единственное реальное различие: заряд имеет два знака, поэтому электрическое поле может отталкивать или притягивать, тогда как гравитационное поле всегда только притягивает.
- Поскольку формы совпадают, каждый результат переносится. Уменьшите расстояние вдвое, и оба поля увеличатся в четыре раза.
Электрическое поле точечного заряда убывает с расстоянием точно так же, как гравитация (как 1/r²).
Оба они следуют закону обратного квадрата: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}$ и $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
Как напряжённость электрического поля и электрический потенциал точечного заряда зависят от расстояния?
Перепутать эти два понятия — самая частая ошибка в этой теме. Поле является отрицательным градиентом потенциала, именно поэтому степень в V на единицу меньше.
Разобранный пример: заряженная Земля
- Рассмотрите Землю как проводящую сферу радиусом $6.37 \times 10^6\ \text{m}$, несущую заряд $-4.80 \times 10^5\ \text{C}$. Найдите поле на поверхности и сравните его со $g$.
- Снаружи сферы заряд ведет себя как точечный заряд в центре, поэтому $r$ — это радиус:
- Он направлен к центру, так как заряд отрицательный. Гравитация дает $g = GM/R^2 = 9.83\ \text{N/kg}$, значит $E/g \approx 11$.
- Укажите также направление. Для отрицательного источника поле направлено внутрь, за это дается половина баллов.
Сфера радиусом 6.37e6 м несет заряд -4.80e5 Кл. Чему равна напряженность поля на ее поверхности в В/м? (1/4 pi eps0 = 8.99e9)
Вне сферы заряд ведет себя как точечный заряд в центре, поэтому r — это радиус: E = 8.99e9 x 4.80e5 / (6.37e6)^2 = 106 В/м, направлено к центру.
Несколько зарядов: складываются векторно
- Полное поле в точке равно векторной сумме полей каждого заряда отдельно.
- Складывайте их как стрелки (с размером и направлением), а не как числа. Два поля по $100\ \text{V/m}$ в противоположных направлениях дают ноль, а не двести.
- Вот здесь электрическое поле отличается от электрического потенциала, который является скаляром и складывается только со знаком. Не смешивайте эти операции.
Для нескольких зарядов полное поле в точке равно:
Поля являются векторами, поэтому складывайте их с учётом как величины, так и направления.
Разобранный пример: где поле равно нулю?
- Точечные заряды $+4.0\ \text{nC}$ и $+1.0\ \text{nC}$ находятся на расстоянии $30\ \text{cm}$ друг от друга. Где на прямой, соединяющей их, результирующее поле равно нулю?
- Между зарядами два поля направлены в противоположные стороны, поэтому они могут взаимно уничтожиться. Пусть $x$ — это расстояние от заряда $4.0\ \text{nC}$:
- Точка нуля находится в два раза дальше от большего заряда, что служит проверкой здравого смысла: более сильному полю нужно большее расстояние, чтобы ослабнуть.
- Для разноименных зарядов два поля между ними направлены в одну сторону и никогда не компенсируются, поэтому точка нуля лежит снаружи, за меньшим зарядом.
Заряды +4.0 нКл и +1.0 нКл расположены на расстоянии 0.30 м друг от друга. На каком расстоянии от заряда 4.0 нКл результирующее поле равно нулю (в метрах)?
Приравниваем модули: 4/x^2 = 1/(0.30-x)^2, откуда (0.30-x)/x = 1/2 и x = 0.20 м, то есть вдальше от большего заряда.
Для двух противоположных точечных зарядов существует точка между ними, где результирующее поле равно нулю.
Между противоположными зарядами оба поля направлены в одну сторону и складываются, поэтому они никогда не компенсируют друг друга. Точка нуля находится снаружи, за меньшим зарядом.
Чтение графика зависимости поля от расстояния
- Для заряженной проводящей сферы $E$ равен нулю внутри, скачком достигает максимума на поверхности, а затем убывает как $1/r^2$ снаружи.
- Радиус — это расстояние, на котором поле совершает скачок из нуля, а заряд следует из любой точки кривой с использованием $Q = 4\pi\varepsilon_0 r^2 E$.
- Зная поверхностное значение $E_0$, поле равно $E_0/4$ при $2R$ и $E_0/9$ при $3R$. Проведите через эти точки, а не угадывайте форму кривой.
На графике зависимости напряжённости поля от расстояния до центра заряженной проводящей сферы какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты.
Радиус находится там, где поле скачком меняется с нуля, а заряд определяется из любой точки внешней кривой по формуле Q = 4 pi eps0 r^2 E.
Потерянные баллы
- Поле равно $\dfrac{1}{r^2}$; потенциал равен $\dfrac{1}{r}$. Путаница между ними — самая частая ошибка в этой теме.
- Укажите направление: наружу от положительного, внутрь к отрицательному.
- Поля складываются как векторы; потенциалы складываются как скаляры. Два равных противоположных поля компенсируются.
- Для одноименных зарядов нулевое поле лежит между ними; для разноименных — снаружи, за меньшим зарядом.
Вы поняли
- Делия закона Кулона на пробный заряд остается только исходный заряд: $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, направленный наружу от положительного и внутрь к отрицательному
- он обратно-квадратичный, той же формы, что и $g = GM/r^2$, но заряд имеет два знака, поэтому поле может отталкивать
- несколько зарядов складываются как векторная сумма, в отличие от потенциалов, которые являются скалярами
- точка нулевого поля лежит между одноименными зарядами ближе к меньшему, и снаружи разноименных зарядов за меньшим