Равномерные электрические поля
| English | Русский |
|---|---|
| uniform field/ˈjuːnɪfɔːm fiːld/ | однородное поле |
| potential difference/pəˈtenʃl ˈdɪfrəns/ | разность потенциалов |
| parabola/pəˈræbələ/ | параболу |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | снаряд |
Масляная капля, зависшая в воздухе
- В 1909 году Роберт Милликан распылил крошечные масляные капли между двумя горизонтальными заряженными пластинами и регулировал напряжение, пока капля не зависла идеально неподвижно.
- Это по-прежнему означало, что электрическая сила точно уравновешивала вес, превращая каплю в весы для её собственного заряда. Милликен измерял сотни капель, и каждый заряд был целочисленным кратным одному крошечному значению.
- Это значение составляло $e$. Равномерного поля между двумя пластинами было достаточно, чтобы доказать, что заряд существует неделимыми порциями.
- Этот урок посвящён равномерному полю между параллельными пластинами, его воздействию на заряженную частицу и двум ситуациям, которые предлагает экзамен: сбалансированная капля и отклонённый луч.
Сила равномерного поля
- Между двумя параллельными пластинами на расстоянии $d$ друг от друга с разностью потенциалов $V$ между ними поле является равномерным (за исключением краевых эффектов):
- Оно направлено от пластины с более высоким потенциалом к пластине с более низким. Единица измерения $\text{V/m}$ выводится непосредственно из этого уравнения и равна $\text{N/C}$.
- Только две вещи изменяют поле: увеличьте разность потенциалов или переместите пластины ближе. Резистор, подключённый последовательно к источнику питания, ничего не меняет, так как после зарядки пластин ток не течёт, а значит, на резисторе нет разности потенциалов.
Равномерно расположенные параллельные линии: одинаковая напряжённость везде между пластинами
Две пластины $0.050\ \text{m}$ разделены расстоянием, между ними действует поле $200\ \text{V}$. Чему равна напряженность поля?
$E = \dfrac{V}{d} = \dfrac{200}{0.050} = 4000\ \dfrac{\text{V}}{\text{m}}$.
Равномерное поле между двумя пластинами направлено:
Поле направлено от высокого потенциала (+) к низкому потенциалу (−).
Единица В/м эквивалентна Н/Кл.
Обе единицы описывают напряженность электрического поля; $\dfrac{\text{V}}{\text{m}} = \dfrac{\text{N}}{\text{C}}$.
Какие изменения увеличат напряженность поля между двумя заряженными параллельными пластинами? Выберите все подходящие варианты.
E = V/d зависит только от этих двух величин. Ток не течет после зарядки пластин, поэтому последовательный резистор не создает падения напряжения и ничего не меняет.
Заряженная частица в поле
- Сила $F = qE$ одинакова везде, поэтому ускорение $a = qE/m$ постоянно. Это аналогично массе в равномерном гравитационном поле, где $qE$ заменяет $mg$.
- Выпущенная из состояния покоя, частица ускоряется прямолинейно и приобретает кинетическую энергию. Энергетический метод обычно самый быстрый: $E_{\text{k}} = qV$, следовательно $v = \sqrt{2qV/m}$, без использования кинематики.
- Влетая под прямым углом, она сохраняет постоянную боковую скорость, одновременно ускоряясь через поле, поэтому движется по параболе, точно как снаряд.
Постоянная скорость в одном направлении, постоянное ускорение в другом
Лабораторная работа: равномерное электрическое поле
Изучите поведение заряда между параллельными пластинами.
Заряд в равномерном поле движется с постоянным ускорением.
Сила $qE$ постоянна, следовательно, $a = \dfrac{qE}{m}$ также постоянна — аналогично свободному падению под действием гравитации.
Заряд, входящий в равномерное поле под прямым углом, следует траектории:
Постоянная боковая скорость плюс постоянное ускорение вдоль поля дают параболический путь, как у снаряда.
Разобранный пример: электрон пересекает зазор
- Две пластины в вакууме находятся на расстоянии $0.041\ \text{m}$ друг от друга с разностью потенциалов $250\ \text{V}$ между ними. Электрон выпускают из состояния покоя у отрицательной пластины. Найдите напряжённость поля, ускорение, время пересечения и кинетическую энергию при прибытии.
- $E = V/d = 250/0.041 = 6.1 \times 10^3\ \text{V/m}$, и $F = eE = 9.8 \times 10^{-16}\ \text{N}$, поэтому $a = F/m_{\text{e}} = 1.07 \times 10^{15}\ \text{m/s}^2$.
- Из состояния покоя с постоянным ускорением, $d = \tfrac12 at^2$, следовательно $t = \sqrt{2d/a} = 8.8 \times 10^{-9}\ \text{s}$.
- Кинетическая энергия: используйте закон сохранения энергии, а не кинематику. $E_{\text{k}} = qV = (1.60 \times 10^{-19})(250) = 4.0 \times 10^{-17}\ \text{J}$, дающее $v = 9.4 \times 10^6\ \text{m/s}$, что подтверждается кинематическим методом.
Разобранный пример: сбалансированная масляная капля
- Масляная капля массой $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ с зарядом $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ висит неподвижно между горизонтальными пластинами на расстоянии $2.0\ \text{cm}$ друг от друга. Найдите разность потенциалов и скажите, какая пластина положительная.
- Действуют две силы, а не одна: электрическая сила и вес. Ответ «только электрическая сила» — стандартная ошибка. Неподвижность означает, что они равны по модулю и противоположны по направлению:
- Капля отрицательная, поэтому действующая на неё сила направлена противоположно полю. Чтобы эта сила была направлена вверх, поле должно указывать вниз, значит верхняя пластина положительная.
- Заряд здесь составляет $3e$: три избыточных электрона. Это целочисленное кратное является результатом Милликена.
Электрон выпускают из состояния покоя, и он пересекает разность потенциалов 250 В. Какова его кинетическая энергия при прибытии в единицах 10^-17 Дж? (e = 1.60e-19 Кл)
Ek = qV = 1.60e-19 x 250 = 4.0e-17 Дж, без необходимости использования кинематики. Энергетический подход почти всегда быстрее, чем поиск a, затем t, затем v.
Два способа изменить равномерное поле
- Между параллельными пластинами поле равно $E = V/d$, поэтому оно зависит от обеих величин: разности потенциалов и расстояния. Что произойдёт при удалении пластин, зависит от того, что остаётся неизменным, и экзамен спрашивает об обоих вариантах.
- Подключено к источнику питания, поэтому $V$ фиксировано: удвоение $d$ уменьшает $E$ вдвое. Заряд на пластинах уменьшается, чтобы соответствовать новому состоянию.
- Отключено после зарядки, поэтому заряд фиксирован: поле между пластинами не изменяется, а вместо него удваивается $V$.
- Второй вариант часто сбивает с толку. При фиксированном заряде поле определяется плотностью заряда на единицу площади пластин, и их удаление это не меняет.
- Прочитайте, какой случай описывается в вопросе, прежде чем писать ответ. Эти два случая дают противоположные ответы на вопрос «что происходит с полем».
Заряженная масляная капля неподвижна между двумя горизонтальными пластинами. Какие силы действуют на нее?
"Только электрическая сила" — стандартный отвлекающий вариант. Неподвижность означает, что две силы уравновешивают друг друга, что делает каплю измерительным прибором для собственного заряда.
Две параллельные пластины отодвигают друг от друга. Соотнесите каждый случай с тем, что происходит с полем между ними.
При фиксированном заряде поле определяется плотностью заряда на единицу площади, которую изменение расстояния между пластинами не меняет. Прочитайте, какой случай описан в вопросе, прежде чем отвечать.
Разобранный пример: отклонение пучка
- Электрон движется горизонтально со скоростью $2.0 \times 10^7\ \text{m/s}$ и входит в поле между горизонтальными пластинами на расстоянии $18\ \text{mm}$ друг от друга с разностью потенциалов $400\ \text{V}$ между ними. Пластины имеют длину $30\ \text{mm}$. Найдите отклонение при выходе.
- Рассматривайте два направления отдельно, как в любом движении снаряда. Горизонтальное движение не претерпевает изменений, поэтому время нахождения в поле равно $t = 0.030/(2.0 \times 10^7) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$.
- Вертикально: $a = eV/(m_{\text{e}}d) = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m/s}^2$, поэтому отклонение равно $y = \tfrac12 at^2 = 4.4\ \text{mm}$.
- Горизонтальная скорость определяет время, а поле определяет ускорение. Смешивание этих величин — типичная ошибка.
Упорядочьте шаги нахождения отклонения электрона, проходящего через равномерное поле.
Горизонтальная скорость определяет время, а поле определяет ускорение. Рассмотрение движения как движения снаряда составляет суть всего метода.
Потерянные баллы
- У неподвижной заряженной капли действуют две силы: электрическая сила и её вес. Назовите обе.
- Для отрицательного заряда сила направлена противоположно полю, что и определяет, какая пластина положительная.
- Напряжённость поля между пластинами зависит только от $V$ и $d$. Последовательный резистор ничего не меняет, так как ток не течёт.
- При отклонении разбейте движение: постоянная скорость вдоль, постоянное ускорение поперёк, а время определяется горизонтальным расстоянием.
Вы поняли
- между параллельными пластинами поле равномерно, $E = V/d$, направлено от пластины с более высоким потенциалом к пластине с более низким; изменяются только $V$ или $d$
- заряд испытывает постоянную силу $qE$ и, следовательно, постоянное ускорение; выпущенный из состояния покоя, он приобретает $E_{\text{k}} = qV$
- входя под прямым углом, он следует по параболе: постоянная скорость вдоль, постоянное ускорение поперёк, время задаётся горизонтальным расстоянием
- неподвижная капля балансирует электрическую силу против своего веса, $qV/d = mg$, а знак заряда определяет, какая пластина положительная