Кинетическая теория газов
| English | Русский |
|---|---|
| kinetic theory/kɪˈnetɪk ˈθɪəri/ | кинетическая теория |
| random motion/ˈrændəm ˈməʊʃn/ | случайное движение |
| elastic/ɪˈlæstɪk/ | упругим |
| momentum/məʊˈmentəm/ | импульс |
| mean-square speed/miːn skweə spiːd/ | средний квадрат скорости |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | среднеквадратичная скорость |
| average translational kinetic energy/ˈævrɪdʒ trænˈsleɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | средняя поступательная кинетическая энергия |
Давление — это барабанная дробь, а не толчок
- Воздушный шар кажется подталкиваемым наружу. Ничего не подталкивает его равномерно. Молекулы ударяются о резину случайно, каждый удар длится долю наносекунды.
- Ударов так много и так часто, что среднее значение идеально гладкое. Давление — это барабанная дробь, услышанная достаточно далеко, чтобы отдельные удары слились в непрерывный звук.
- Принимая эту картинку всерьёз и применяя к ней исключительно законы Ньютона, можно вывести газовые законы с нуля и понять, чем на самом деле является температура.
- Этот урок посвящён предположениям кинетической теории, выводу давления, среднеквадратичной скорости и значению температуры.
Предположения
- Большое число одинаковых молекул, находящихся в непрерывном случайном движении.
- Собственный объём молекул пренебрежимо мал по сравнению с объёмом газа.
- Между молекулами нет сил взаимодействия, кроме момента столкновений, поэтому между ними они движутся по прямым линиям.
- Столкновения являются полностью упругими, без потери кинетической энергии, а время столкновения пренебрежимо мало по сравнению со временем между столкновениями. На всём этом действуют законы Ньютона.
- Эти предположения не работают при очень высоком давлении, когда объём молекул имеет значение, и при очень низкой температуре, когда межмолекулярные силы становятся значимыми.
Выберите все предположения кинетической теории идеального газа.
Силы между молекулами игнорируются кроме моментов (упругих) столкновений — они не притягиваются сильно все время.
Вывод давления
- Возьмём куб со стороной $L$, содержащий $N$ молекул массой $m$, и проследим за одной из них, движущейся вдоль $x$ со скоростью $u_1$.
- Одно столкновение с правой стенкой меняет направление её скорости на противоположное, поэтому её импульс изменяется на $-2mu_1$, и, согласно третьему закону Ньютона, стенка получает $+2mu_1$.
- Между ударами о эту стенку она пролетает расстояние $2L$, что занимает время $\Delta t = 2L/u_1$, создавая среднюю силу $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- Суммируя вклады всех молекул и деля на площадь стенки $L^2$, получаем $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. В трёх измерениях симметрия означает, что $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$, поэтому:
Одна молекула, одна стенка, затем масштабирование
Закон Бойля
p ∝ 1/V
При постоянной температуре давление обратно пропорционально объёму — сожмите газ, и давление возрастет.
Газ оказывает давление на стенки сосуда, потому что молекулы:
Каждое столкновение толкает стенку; совокупное действие бесчисленных столкновений создает давление.
Разобранный пример: объясните давление словами
- Объясните, как движение молекул вызывает давление, оказываемое газом. [3]
- Молекулы движутся случайно и сталкиваются со стенками сосуда.
- При каждом столкновении молекула отскакивает, поэтому её импульс меняется; согласно второму закону Ньютона, стенка действует на неё с силой, а согласно третьему закону — она действует на стенку с равной и противоположно направленной силой.
- Происходит очень много столкновений каждую секунду, поэтому индивидуальные импульсы усредняются до постоянной суммарной силы, а давление равно этой силе, делённой на площадь.
- Три предложения, три балла. В среднем предложении необходимо указать оба закона Ньютона для получения балла.
Расставьте элементы трехбалльного объяснения газового давления по порядку.
Случайное движение, изменение импульса с учётом обоих законов Ньютона, усреднение по множеству столкновений, затем сила на единицу площади.
Форма через плотность
- $Nm$ — это общая масса газа, поэтому $Nm/V$ является его плотностью $\rho$. Тот же результат выглядит так:
- Используйте эту версию, когда задача даёт плотность вместо $N$ и $m$, что встречается часто.
Среднеквадратичная скорость
- $\langle c^2 \rangle$ — это средний квадрат скорости: возведите в квадрат скорость каждой молекулы, затем найдите среднее. Корень из этого значения — среднеквадратичная скорость:
- Это единая полезная мера скорости молекул, немного превышающая среднюю скорость, поскольку возведение в квадрат придаёт больший вес быстрым молекулам.
- Не все молекулы движутся с этой скоростью. У них широкий разброс скоростей, а повышение температуры сдвигает весь разброс в сторону более высоких скоростей.
Распределение, из которого среднеквадратичная скорость является одним из обобщающих показателей
Корень из среднеквадратичной скорости равен квадрату корня из ____ скорости.
Возьмите среднее значение квадратов скоростей, а затем извлеките квадратный корень: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$.
Как вычислить среднеквадратичную скорость по набору скоростей молекул?
Возведение в квадрат, усреднение, извлечение корня — в этом порядке. Возведение в квадрат сначала придаёт больший вес быстрым молекулам, поэтому c_rms немного больше средней скорости.
Разобранный пример: среднеквадратичная скорость из плотности
- Идеальный газ при давлении $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ имеет плотность $1.9\ \text{kg/m}^3$. Докажите, что среднеквадратичная скорость его молекул составляет примерно $500\ \text{m/s}$.
- Из $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- Затем $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- В задаче «докажите» сохраняйте один лишний значащий разряд и укажите его (503) перед сравнением с заданным значением. Округление до 500 ничего не доказывает.
Идеальный газ при давлении 1.6 × 10^5 Па имеет плотность 1.9 кг/м^3. Какова среднеквадратичная скорость его молекул, в м/с?
Используйте p = ρ<c^2>/3, тогда ⟨<c^2>⟩ = 3p/ρ = 2,53e5, и c_rms = 503 м/с. В заданиях типа «докажите» приводите промежуточное значение до округления.
Что на самом деле представляет собой температура
- Два выражения для одного и того же $pV$: $pV = NkT$ из уравнения состояния и $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ из кинетической теории. Приравняем их, сократим $N$ и умножим на $\tfrac32$:
- Левая часть — это средняя поступательная кинетическая энергия одной молекулы. Следовательно, температура является мерой средней кинетической энергии молекул и nothing else.
- Два следствия, которые требуют экзаменаторы. Увеличьте абсолютную температуру вдвое, и средняя кинетическая энергия увеличится вдвое, поэтому $c_{\text{r.m.s.}}$ возрастет в $\sqrt{2}$ раза. А при той же температуре более лёгкие молекулы движутся быстрее, поскольку $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ одинаково для обеих.
Средняя поступательная кинетическая энергия молекулы газа зависит только от:
$\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — важна только термодинамическая температура.
Если абсолютная температура удваивается, среднеквадратичная скорость увеличивается в:
$\langle c^{2}\rangle \propto T$, следовательно $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — удвоение $T$ умножает его на $\sqrt{2} \approx 1.41$.
При одной и той же температуре лёгкие молекулы движутся в среднем быстрее тяжёлых.
Однаковая средняя КЭ $\tfrac{3}{2}kT$, но меньшая масса означает большую $\langle c^{2}\rangle$ — значит, лёгкие молекулы быстрее.
Сравнение pV = NkT с pV = Nm<c^2>/3 показывает, что средняя поступательная кинетическая энергия молекулы равна ____ kT.
Таким образом, температура является прямой мерой средней кинетической энергии молекул, а внутренняя энергия идеального газа равна (3/2)nRT.
Внутренняя энергия идеального газа
- Идеальный газ не имеет сил взаимодействия между молекулами, поэтому нет потенциальной энергии молекул: его внутренняя энергия entirely кинетическая.
- Умножив среднюю кинетическую энергию на число молекул:
- Таким образом, внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры, а не от давления или объёма. Этот единственный факт выполняет основную работу в следующем уроке.
Внутренняя энергия идеального газа равна:
Молекулы идеального газа обладают только кинетической энергией, поэтому $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — пропорциональна $T$.
Потерянные баллы
- Среднеквадратичная скорость — это корень из среднего квадратов, а не средняя скорость. Порядок важен: сначала квадрат, потом среднее, затем корень.
- Средняя кинетическая энергия зависит только от температуры. Два разных газа при одинаковой температуре имеют одинаковую среднюю кинетическую энергию молекул.
- Удвоение $T$ приводит к тому, что $c_{\text{r.m.s.}}$ возрастает в $\sqrt{2}$ раза, а не в 2 раза. Энергия пропорциональна $T$, поэтому скорость растёт как $\sqrt{T}$.
- Ответ на вопрос «объясните давление» требует изменения импульса, обоих законов Ньютона и очень большого числа столкновений в секунду.
Вы поняли
- Предпосылки: множество одинаковых молекул в случайном движении, пренебрежимо малый объём молекул, отсутствие сил, кроме моментов столкновений, упругие столкновения бесконечно малой продолжительности, действие законов Ньютона
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$, или $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ при наличии плотности; давление — это изменение импульса на стенках, усреднённое по очень большому числу столкновений
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, одно обобщающее значение широкого разброса скоростей
- Сравнение с $pV = NkT$ даёт $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: температура является средней кинетической энергией молекул, поэтому $U = \tfrac32 nRT$ зависит только от температуры