Уравнение идеального газа
| English | Русский |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | объем |
| pressure/ˈpreʃə/ | давление |
| equation of state/ɪˈkweɪʒn ɒv steɪt/ | уравнение состояния |
| ideal gas/aɪˈdɪəl ɡæs/ | идеальный газ |
| thermodynamic temperature/ˌθɜːməʊdaɪˈnæmɪk ˈtemprɪtʃə/ | термодинамическая температура |
| molar gas constant/ˈməʊlə ɡæs ˈkɒnstənt/ | универсальная газовая постоянная |
| Boltzmann constant/ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | постоянная Больцмана |
| Boyle's law/bɔɪlz lɔː/ | Закон Бойля |
| Charles's law/ˈtʃɑːlzɪz lɔː/ | Закон Шарля |
| pressure law/ˈpreʃə lɔː/ | закон Бойля-Мариотта (изохорный закон) |
Бак, который нельзя наполнять в полдень
- Баллон для дайвинга заполнен до 200 бар в прохладное утро и оставлен в машине на солнце. Ничего не добавляется и ничего не выходит, но к дню манометр показывает значительно выше.
- Газ не изменился. Изменилась его температура, а для фиксированного количества в фиксированном объёме давление и температура изменяются строго пропорционально.
- Дайверам это преподается как правило безопасности. На экзамене это требуют в виде уравнения, и одно уравнение охватывает все его случаи.
- Этот урок посвящён уравнению состояния $pV = nRT$, его паре «на молекулу» и трём особым случаям, которые из него следуют.
Что делает газ идеальным
- Идеальный газ — это газ, который подчиняется $pV \propto T$, где $T$ — термодинамическая температура, при всех значениях давления, объёма и температуры.
- Определение идеального газа на два балла от экзаменатора требует обеих частей: соотношения и «при всех значениях $p$, $V$ и $T$». Указание только уравнения даёт один балл.
- Реальные газы приближаются к этому поведению при низком давлении и высокой температуре, и отклоняются от него, когда молекулы расположены плотно или движутся медленно.
Какими элементами должна обладать двухбалльная определение идеального газа? Выберите все подходящие варианты.
Само соотношение приносит один балл; фраза «при любых значениях» приносит второй. Одноатомность не входит в определение.
Уравнение состояния, обе формы
- $p$ — это давление в Па, $V$ — объём в м³, $T$ — термодинамическая температура в кельвинах, никогда в °C.
- $n$ — количество вещества (молей), а $R = 8.31\ \text{J/(mol K)}$ — молярная газовая постоянная. $N$ — число молекул, а $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ — постоянная Больцмана.
- Обе формы — одно и то же уравнение: поскольку $N = nN_{\text{A}}$, следует, что $k = R/N_{\text{A}}$. Выберите форму, соответствующую «количеству», данному в задаче: моли идут с $R$, молекулы — с $k$.
Фиксированное количество в фиксированном объёме: остаётся только температура, которая может изменить давление
Уравнение состояния идеального газа выглядит так:
$pV = nRT$ (моли) или $pV = NkT$ (молекулы) — с $T$ в кельвинах.
Вы можете использовать температуру в °C в уравнении идеального газа.
Нет — $pV \propto T$ только с $T$ в кельвинах. Сначала переведите °C в K.
Постоянная Больцмана равна $R / N_{\text{A}}$ — газовой постоянной на молекулу.
Поскольку $N = n N_{\text{A}}$, сравнение $pV = nRT$ с $pV = NkT$ дает $k = \dfrac{R}{N_{\text{A}}}$.
Разбор примера: сколько газа в цилиндре
- Цилиндр объёмом $0.020\ \text{m}^3$ содержит газ при $27\ ^\circ\text{C}$ и давлении $2.0 \times 10^5\ \text{Pa}$. Сколько там молей?
- Сначала переведите: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. Объём и давление уже даны в единицах СИ.
- Выразите нужную величину и подставьте значения:
- Переведите в кельвины до всего остального. Использование 27 вместо 300 даст ответ, превышающий правильный в eleven раз, и это самая частая ошибка в этой теме.
Цилиндр объемом 0.020 м^3 содержит газ при температуре 27 °C и давлении 2.0 × 10^5 Па. Сколько молей газа находится в цилиндре? (R = 8.31)
T должно быть 300 К, а не 27. n = pV/RT = (2,0e5 × 0,020)/(8,31 × 300) = 1,6 моль. Использование 27 дает ответ, превышающий верный в 11 раз.
Фиксированное количество, изменяющее состояние
- Если количество газа не меняется, $nR$ является константой, поэтому $pV/T$ одинаково до и после изменения:
- Запишите шесть величин, отметьте ту, которую нужно найти, и подставьте. Любая величина, оставшаяся неизменной, сокращается из обеих частей.
- Поскольку она сокращается, вам не нужен объём в задаче с постоянным объёмом, ни давление в задаче с постоянным давлением.
Газ при $200\ \text{kPa}$ и $300\ \text{K}$ нагревают до $600\ \text{K}$ при постоянном объеме. Каково новое давление?
При постоянном объеме $\dfrac{p}{T}$ остается неизменным: $p_2 = 200 \times \dfrac{600}{300} = 400\ \text{kPa}$.
Три специальных случая
- Закон Бойля-Мариотта, постоянная температура: $pV$ — константа, значит $p_1V_1 = p_2V_2$. Уменьшите объём вдвое, и давление удвоится.
- Закон Шарля, постоянное давление: $V/T$ — константа. Объём растёт линейно с абсолютной температурой и экстраполируется до нуля при абсолютном нуле.
- Закон Гей-Люссака (закон давления), постоянный объём: $p/T$ — константа. Это акваланг на солнце.
- Все три являются одним и тем же уравнением, в котором одна величина зафиксирована. Выучите родительское уравнение и выведите нужный случай.
Линия указывает на абсолютный ноль, именно поэтому шкала Кельвина является естественной
Идеальный газ (Бойля)
p = k / V
При постоянной температуре p ∝ 1/V — уменьшите объем, и давление возрастет.
При постоянной температуре газ под давлением $100\ \text{kPa}$ сжимается до половины своего объема. Каково новое давление?
Закон Бойля: $pV$ остается неизменным, поэтому уменьшение $V$ вдвое удваивает $p$ → $200\ \text{kPa}$.
При постоянном давлении $V$, деленное на $T$, остается ____.
Это закон Шарля: $\dfrac{V}{T} =$ постоянен при фиксированном давлении.
Соотнесите каждый газовый закон с тем, что удерживается постоянным, и тем, что остается неизменным.
Все три уравнения являются производными от основного уравнения с одной фиксированной величиной, поэтому эта величина сокращается из p1V1/T1 = p2V2/T2.
Разбор примера: нагрев при постоянном давлении
- Фиксированная масса газа при $300\ \text{K}$ занимает $0.50\ \text{m}^3$. Её нагревают до $450\ \text{K}$ при постоянном давлении. Найдите новый объем.
- Давление постоянно, поэтому оно сокращается из $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, оставляя $V/T$ постоянной.
- Здесь обе температуры уже в кельвинах. Если бы они были в °C, отношение было бы бессмысленным: $\tfrac{177}{27}$ не равно $\tfrac{450}{300}$.
Фиксированная масса газа при температуре 300 K занимает объем 0.50 м^3. Газ нагревают до температуры 450 K при постоянном давлении. Каков новый объем в м^3?
Давление сокращается, оставляя V/T константой: V2 = 0.50 x 450/300 = 0.75 м^3. Это соотношение работает только потому, что обе температуры выражены в кельвинах.
Разбор примера: чтение цикла p-V
- Фиксированное количество газа при температуре $T$ находится в состоянии X, с давлением $2p$ и объёмом $V$. Его охлаждают при постоянном объёме до состояния Y с давлением $p$, затем нагревают при постоянном давлении до состояния Z с объёмом $2V$.
- X → Y происходит при постоянном объёме, поэтому $p/T$ — константа. Уменьшение давления вдвое уменьшает температуру вдвое: $T_{\text{Y}} = T/2$.
- Y → Z происходит при постоянном давлении, поэтому $V/T$ — константа. Удвоение объёма удваивает температуру: $T_{\text{Z}} = T$.
- На диаграмме $p$-$V$ вертикальная линия соответствует постоянному объёму, а горизонтальная — постоянному давлению; при этом $pV/T$ имеет одно и то же значение в любом состоянии цикла. Именно этот последний факт позволяет проверить правильность ответов.
Фиксированное количество газа при температуре T, давлении 2p и объеме V охлаждают при постоянном объеме до давления p. Какова его новая температура?
При постоянном объеме p/T постоянно, поэтому уменьшение давления вдвое уменьшает абсолютную температуру вдвое. На диаграмме p-V это вертикальная линия.
Потерянные баллы
- Кельвин всегда. $T(\text{K}) = \theta(^\circ\text{C}) + 273$. Это самая карательная ошибка в данной теме.
- Соотнесите форму с количеством: моли с $R$, молекулы с $k$. Смешивание их приводит к ошибке в $N_{\text{A}}$.
- Определение идеального газа на два балла требует фразы «при всех значениях $p$, $V$ и $T$» вместе с самим соотношением.
- Объёмы в м³ и давления в Па. Объём в литрах или давление в кПа необходимо сначала перевести.
Вы поняли
- идеальный газ подчиняется $pV \propto T$ с $T$ термодинамической температурой, при всех значениях $p$, $V$ и $T$
- $pV = nRT$ с молями и $R$, или $pV = NkT$ с молекулами и $k$, и $k = R/N_{\text{A}}$; температура в кельвинах и единицы СИ на протяжении всего решения
- Для фиксированного количества $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$, и всё, что удерживается постоянным, сокращается
- три случая: Бойль ($pV$ постоянно), Шарль ($V/T$ постоянно), закон давления ($p/T$ постоянно)