Законы Кирхгофа
| English | Русский |
|---|---|
| Kirchhoff's laws/ˈkɜːkhɒfs lɔːz/ | Законы Кирхгофа |
| junctions/ˈdʒʌŋkʃnz/ | узлы (точки соединения) |
| conservation of charge/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv tʃɑːdʒ/ | закон сохранения заряда |
| conservation of energy/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv ˈenədʒi/ | закон сохранения энергии |
| series/ˈsɪəriːz/ | последовательно |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
Два правила для любой цепи
- Спутанные провода могут выглядеть неразрешимо сложными.
- Но всего два правила — законы Кирхгофа — позволяют решить любую из них.
- Каждое из них на самом деле является законом сохранения в скрытой форме.
Первый закон: узлы
- В любом узле суммарный ток в = суммарный ток out.
- Это следует из сохранения заряда — заряд не может накапливаться в одной точке.
Цепи последовательного и параллельного соединения
Переключайтесь между последовательным и параллельным соединением, добавляйте лампочки. При последовательном соединении они делят напряжение, и один обрыв гасит все; при параллельном каждая получает полное напряжение, а обрыв отключает только свою ветвь.
Ток $5.0\ \text{A}$ входит в узел и разделяется на две ветви; одна несет ток $2.0\ \text{A}$. Какой ток несет другая?
Ток в = ток в вы: $5.0 = 2.0 + I$, значит $I = 3.0\ \text{A}$.
Второй закон: контуры
- Вокруг любого замкнутого контура суммарная ЭДС = суммарное напряжение на компонентах.
- Это следует из сохранения энергии — каждый кулон возвращает ту энергию, которую получил.
- Обходите контур в одном направлении: ЭДС считается положительной, если вы проходите через источник от $-$ к $+$; напряжение $IR$ считается положительным, если вы движетесь по направлению тока.
Сопоставьте каждый закон Кирхгофа с законом сохранения, лежащим в его основе.
Заряд не может накапливаться в узле; энергия, которую заряд получает от источников, равна энергии, отданной им компонентам по контуру.
Резисторы последовательно
- Через каждый протекает одинаковый ток; напряжения складываются.
- $R_{\text{series}} = R_1 + R_2 + \ldots$ — всегда больше, чем сопротивление каждого отдельного резистора.
Два резистора, соединенных последовательно, и их эквивалентный резистор
Резисторы $3.0\ \Omega$ и $6.0\ \Omega$ соединены последовательно. Каково общее сопротивление?
$R = R_1 + R_2 = 3.0 + 6.0 = 9.0\ \Omega$.
Резисторы параллельно
- Одинаковое напряжение на каждом; токи складываются.
- $\dfrac{1}{R_{\text{parallel}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \ldots$ — всегда меньше, чем у самого маленького из них.
Два резистора параллельно и их единый эквивалентный резистор
Резисторы $3.0\ \Omega$ и $6.0\ \Omega$ соединены параллельно. Каково общее сопротивление?
$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{3.0} + \dfrac{1}{6.0} = \dfrac{1}{2.0}$, значит $R = 2.0\ \Omega$ — меньше, чем любой из них.
Параллельное соединение всегда меньше самого маленького резистора в нем.
Да — добавление параллельного пути дает току альтернативную дорогу, снижая общее сопротивление.
Разобранный пример: элемент с парой параллельных резисторов
Элемент с ЭДС $6.0\ \text{V}$ и внутренним сопротивлением $1.0\ \Omega$ подключен к двум резисторам $4.0\ \Omega$ и $6.0\ \Omega$, соединенным параллельно. Найдите ток в элементе, напряжение на зажимах и ток через каждый резистор.
- Пара параллельно: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{4.0} + \dfrac{1}{6.0} = \dfrac{5}{12}$, значит $R = 2.4\ \Omega$.
- Вся цепь: $R_{\text{total}} = 2.4 + 1.0 = 3.4\ \Omega$, значит $I = \dfrac{6.0}{3.4} = 1.8\ \text{A}$ (второй закон Кирхгофа: $\varepsilon = I(R + r)$).
- Напряжение на зажимах: $V = 6.0 - 1.8 \times 1.0 = 4.2\ \text{V}$ — это напряжение на обоих резисторах.
- Токи в ветвях: $\dfrac{4.2}{4.0} = 1.1\ \text{A}$ и $\dfrac{4.2}{6.0} = 0.70\ \text{A}$.
- Проверка (первый закон): $1.1 + 0.70 = 1.8\ \text{A}$, ток в элементе. Меньший резистор пропускает больший ток.
Элемент ЭДС $12\ \text{V}$ и внутренним сопротивлением $2.0\ \Omega$ подключен к двум параллельно соединённым резисторам $8.0\ \Omega$. Чему равно напряжение на зажимах, В?
Два одинаковых резистора $8.0\ \Omega$, соединённых параллельно, дают $4.0\ \Omega$. $I = \dfrac{12}{4.0 + 2.0} = 2.0\ \text{A}$, значит $V = 12 - 2.0 \times 2.0 = 8.0\ \text{V}$.
Объяснение изменений с помощью законов
- Термистор параллельно резистору R, подключены к реальному источнику. Температура растет — почему ток в R падает?
- Цепочка причин: сопротивление термистора ↓ → общее сопротивление цепи ↓ → ток в элементе ↑ → потерянные вольты $Ir$ ↑ → напряжение на зажимах ↓ → ток в R $= \dfrac{V}{R}$ ↓.
- Каждая стрелка означает изменение. Ток в элементе возрастает, а ток в R убывает — оба изменения происходят одновременно.
Термистор включён параллельно резистору R через реальный элемент, температура повышается. Расставьте цепочку рассуждений в правильном порядке.
Меньше сопротивления → больше тока в элементе → больше потерь напряжения → меньше напряжения на зажимах → меньше тока через R. Обратите внимание: ток в элементе растёт, а ток через R падает.
Решение схемы
- Подпишите направление каждого тока.
- Примените правило для узлов и правило для контуров, плюс $V = IR$, затем решите систему уравнений.
Два одинаковых резистора $R$, соединенных параллельно, дают общее сопротивление:
$\dfrac{1}{R_{\text{tot}}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R} = \dfrac{2}{R}$, следовательно, $R_{\text{tot}} = \tfrac{1}{2}R$.
Формула для параллельного соединения дает $\dfrac{1}{R}$ — переверните результат в конце, иначе вы получите неверное значение $0.42\ \Omega$ для пары $2.4\ \Omega$. Два одинаковых резистора параллельно дают ровно половину. Добавление любого резистора параллельно всегда уменьшает общее сопротивление. И все ветви параллельного соединения имеют одно и то же напряжение, поэтому вы никогда не складываете напряжения на параллельных ветвях.
Компоненты, соединённые параллельно, всегда имеют одинаковый ____ на своих зажимах.
Параллельные ветви имеют общие два узла, поэтому напряжение на каждой из них одинаково; различаются токи.
Вы поняли
- Первый закон (узлы): ток входит = ток выходит — сохранение заряда
- Второй закон (контуры): суммарная ЭДС = суммарное напряжение — сохранение энергии; $\varepsilon = I(R + r)$
- последовательно: $R = R_1 + R_2$; параллельно: $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$ (затем перевернуть); любое изменение anywhere меняет ток в элементе и напряжение на зажимах.