Дискретные случайные величины
| English | Русский |
|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | дискретная случайная величина |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | математическое ожидание |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | распределение вероятностей |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | биномиального распределения |
| trial/ˈtraɪəl/ | испытание |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | геометрическое распределение |
Загруженная кость
- Справедливая кость дает каждой грани вероятность $\dfrac{1}{6}$. Но что если кость загружена? У каждого исхода все еще есть вероятность, но они больше не равны.
- Дискретная случайная величина присваивает вероятность каждому возможному исходу — это основа статистического моделирования.
Дискретные случайные величины
- Дискретная случайная величина $X$ принимает отдельные значения, каждое со своей вероятностью (они в сумме дают 1).
- Математическое ожидание (среднее): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- Дисперсия: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
Разобранный пример. $X$ принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями 0,2, 0,5, 0,3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
Вероятности должны суммироваться до 1. Перед вычислением математического ожидания или дисперсии всегда проверяйте, что $\sum P(X = x) = 1$. Если нет, распределение вероятностей недействительно.
Биномиальное распределение
X ~ B(n, p)
Каждый столбец — это шанс k успехов. Измените n и p и наблюдайте за смещением среднего np.
В таблице распределения вероятностей вероятности должны суммироваться до 1.
Корректное распределение имеет все вероятности, сумма которых равна 1.
X принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). Найдите его.
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
Если E(X) = 2.1 и E(X²) = 4.9, то Var(X) = E(X²) − (E(X))². Найдите его.
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
Соотнесите каждый биномиальный концепт с его результатом.
Биномиальное распределение имеет фиксированное число n испытаний с постоянной p; его среднее равно np, а дисперсия равна np(1−p).
Биномиальное распределение
- Биномиальное $X \sim B(n, p)$ — число успехов в $n$ независимых испытаниях:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
Каждый столбец представляет P(X = r) для B(10, 0,3); распределение имеет пик в точке среднего np = 3.
Для X ~ B(10, 0.3), чему равно E(X) = np?
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
Для X ~ B(10, 0.3), чему равно Var(X) = np(1−p)?
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
Геометрическое распределение
- Геометрическое — номер испытания первого успеха:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
Для геометрического распределения при p = 0.2, E(X) = 1/p. Найдите его.
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. В среднем первый успех наступает на испытании 5.
Разобранный пример — биномиальное
- $X \sim B(10, 0.3)$. Найдите $P(X = 2)$ и $E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
Вы поняли
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- биномиальное $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- геометрическое: первый успех на испытании $r$, $E = \dfrac1p$