Вероятность
| English | Русский |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | независимы |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | взаимоисключающие |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | условная вероятность |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | дерево вероятностей |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | без возвращения |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Венна |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | двумерная таблица |
Парадокс дней рождений
- В комнате всего 23 человека вероятность того, что у двоих день рождения совпадает, превышает 50%.
- Вероятность контринтуитивна. Правила просты, но результаты могут вас удивить.
Объединение вероятностей
- Сложение («или»): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- Умножение («и», если независимо): $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
- Взаимоисключающие события не могут произойти одновременно; независимые события не влияют друг на друга.
Решенный пример. P(дождь) = 0.3, P(опоздание автобуса) = 0.2, независимо. P(дождь или опоздание автобуса) = 0.3 + 0.2 − 0.3 × 0.2 = 0.44.
Взаимоисключающее ≠ независимое. Взаимоисключающее означает, что они не могут произойти вместе (поэтому $P(A \cap B) = 0$). Независимое означает, что одно не влияет на другое (поэтому $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$). Это совершенно разные понятия.
Кубики: отправная точка для теории вероятностей
Условная вероятность
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Модель площади показывает, как объединяются условные вероятности — и как формула Байеса находит P(A | B).
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(A∩B) = 0,2. Являются ли A и B независимыми?
P(A)×P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2, что равно P(A∩B), поэтому они независимы.
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A∩B) = 0,2. Чему равно P(A∪B)?
P(A∪B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
Если A и B взаимоисключающие, то P(A∩B) = 0.
Взаимоисключающие события не могут произойти одновременно, поэтому их пересечение имеет вероятность 0.
Взаимоисключающие события всегда независимы.
Если A и B взаимоисключающие (и оба имеют P > 0), то P(A∩B) = 0 ≠ P(A)×P(B), поэтому они НЕ являются независимыми.
Условная вероятность
- Условная вероятность: вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$:
- Тест на независимость: проверить, выполняется ли условие $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$.
Нормальная кривая: вероятность равна площади под ней, центрированной относительно среднего
P(A∩B) = 0,2 и P(B) = 0,4. Чему равно P(A | B)?
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.4 = 0.5.
Решенный пример — древовидные диаграммы
- В мешке 3 красных и 2 синих шара. Извлекают два шара без возвращения.
- P(оба красные) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = 0.3$.
- P(по одному каждого цвета) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = 0.6$.
На диаграмме дерева умножайте вероятности вдоль ветвей, затем складывайте пути, которые вас интересуют.
В мешке 3 красных и 2 синих шара. Два вынимают без возвращения. P(оба красные) = (3/5)(2/4). Найдите это значение.
(3/5) × (2/4) = 6/20 = 0.3.
В мешке 3 красных и 2 синих шара, вынимают без возвращения. Расставьте шаги для P(оба красные) по порядку.
На дереве умножьте вероятности вдоль выбранной ветви, затем сократите дробь.
Диаграммы Эйлера-Венна и двумерные таблицы
- Диаграммы Эйлера-Венна визуально показывают пересекающиеся события — пересечение обозначается как $A \cap B$.
- Двумерные таблицы группируют данные по двум категориям — условные вероятности считываются из соответствующей строки или столбца.
- Подсчитывайте размещения с помощью перестановок (порядок важен) и сочетаний (порядок не важен).
Вы поняли
- Сложение (или): $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
- Умножение (и, независимые): $P(A\cap B) = P(A)P(B)$
- Условная: $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$; проверьте независимость с помощью $P(A\cap B) = P(A)P(B)$