Комплексные числа
| English | Русский |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | комплексное число |
| real part/rɪəl pɑːt/ | действительная часть |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | мнимая часть |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | сопряженный |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | модуль |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | аргумент |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Арганда |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | полярная форма |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | дискриминант |
Число, которого не существует
- Что такое $\sqrt{-1}$? Столетиями математики утверждали, что его не существует. Затем они обнаружили, что притворившись, будто оно существует — назвав его $i$ — можно найти решения уравнений, которые иначе не имеют решений.
- Комплексные числа расширяют числовую ось до плоскости, и они необходимы в электротехнике, квантовой механике и обработке сигналов.
Комплексные числа
- Комплексное число имеет вид $z = x + iy$, где $i^2 = -1$ — $x$ является действительной частью, а $y$ — мнимой частью.
- Сопряженное число $z^* = x - iy$. Полиномы с вещественными коэффициентами имеют комплексно-сопряженные корни парами.
- Модуль числа равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; аргумент — это угол от положительного направления действительной оси.
Разобранный пример. Для числа $z = 3 + 4i$: модуль равен $= \sqrt{9 + 16} = 5$, сопряженное число равно $= 3 - 4i$.
$i^2 = -1$, а не $1$. При умножении комплексных чисел помните, что $i^2 = -1$. Например, $(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i - 1 = 5 + 5i$.
Самоподобные узоры, такие как цветная капуста романо, возникают при итерациях в комплексной плоскости
Диаграмма Арганда
z = x + yi
Отметьте комплексное число как точку: его расстояние от O — это модуль, а угол — аргумент.
Чему равен модуль комплексного числа 3 + 4i?
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Сопряженное к z = 5 + 2i — это:
Сопряжение меняет знак мнимой части: z* = 5 − 2i.
Чему равно значение i²?
По определению мнимой единицы, i² = −1.
(2 + i)(3 + i) = a + bi. Чему равно a (действительная часть)?
(2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i² = 6 + 5i − 1 = 5 + 5i. Действительная часть = 5.
Диаграмма Арганда и полярная форма
- Отметьте число $z$ точкой на диаграмме Арганда (действительная ось горизонтальна, мнимая вертикальна).
На диаграмме Арганда модуль |z| — это расстояние от начала координат, а аргумент — угол θ.
- Полярная форма: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — при умножении перемножаются модули и складываются аргументы.
Деление с помощью сопряженного числа
- Чтобы разделить, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя.
- Пример: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.
(3+i)/(1−i) = a + bi. Чему равно b (мнимая часть)?
Умножьте на (1+i)/(1+i): (3+i)(1+i)/2 = (3+3i+i−1)/2 = (2+4i)/2 = 1+2i. Мнимая часть = 2.
Решение уравнений с комплексными корнями
- Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом имеет комплексные корни: x = $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
- Многочлены с действительными коэффициентами всегда имеют комплексные корни парами сопряженных чисел: если $a + bi$ является корнем, то таковым же является и $a - bi$.
allow_no_figure: Арифметика комплексных чисел и диаграмма Арганда — это алгебраические/геометрические концепции, которые эффективно передаются через нотацию и разобранные примеры.
- Помимо декартовой и полярной форм находить квадратные корни из комплексных чисел и строить локусы точек (например, $|z-a|=r$).
Если многочлен с действительными коэффициентами имеет корень 2 + 3i, он также должен иметь корень 2 − 3i.
Многочлены с действительными коэффициентами всегда имеют комплексные корни парами сопряженных чисел.
Вы поняли
- Числа $z = x + iy$ и $i^2 = -1$; сопряженное число равно $z^* = x - iy$; модуль равен $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- отметить на диаграмме Арганда; полярная форма имеет вид $z = re^{i\theta}$
- делить, умножая числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя