Дифференциальные уравнения
| English | Русский |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | распадом |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | скорость изменения |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | начальное условие |
| separable/ˈsepərəbl/ | разделяемое |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | постоянная интегрирования |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | частное решение |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | общее решение |
Уравнение, предсказывающее будущее
- Как быстро растет популяция? Как быстро распадается радиоактивное вещество? Как остывает чашка кофе?
- Все эти вопросы приводят к дифференциальным уравнениям — уравнениям, связывающим величину с её скоростью изменения. Решение таких уравнений позволяет предсказать будущее.
Что такое дифференциальное уравнение?
- Дифференциальное уравнение связывает величину с её скоростью изменения.
- Пример: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ означает, что скорость роста пропорциональна текущему значению — экспоненциальный рост.
Пример из реальной жизни. Закон Ньютона об охлаждении: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. Скорость охлаждения пропорциональна разнице между температурой объекта и температурой окружающей среды.
Константа порождает семейство кривых; начальное условие выбирает одну конкретную
Поле направлений
dy/dx = a y
Дифференциальное уравнение задает направление касательной повсюду — решение представляет собой кривую, следующую этим направлениям от y₀.
Дифференциальное уравнение связывает величину с ее скоростью изменения.
Это определяющая особенность: уравнение включает как y, так и dy/dx (или более высокие производные).
Разделяемые уравнения
- Для разделяемого дифференциального уравнения первого порядка: перенесите все $y$-члены в одну сторону, все $x$-члены — в другую, затем проинтегрируйте обе части.
- Пример: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
Не забудьте константу интегрирования. При интегрировании обеих частей добавьте $+C$ к одной из них. Эта константа определяет, какое именно частное решение вы получите.
Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, нужно:
Разделить переменные, затем проинтегрировать каждую часть.
Общее и частное решения
- Общее решение содержит константу (целое семейство кривых).
- Начальное условие (известное значение) фиксирует константу → получается частное решение.
Начальное условие используется для того, чтобы:
Известное значение фиксирует произвольную постоянную, превращая общее решение в частное.
Общее решение дифференциального уравнения содержит произвольную постоянную.
При интегрировании появляется постоянная, поэтому общее решение представляет собой целое семейство кривых.
Разобранный пример
- Решите $\dfrac{dy}{dx} = xy$ при $y = 1$ = $x = 0$.
- Разделите переменные: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Проинтегрируйте: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Примените $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- Тогда $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Дифференциальные уравнения решаются алгебраически — ключевым содержанием является процесс решения (разделение переменных, интегрирование), а не диаграмма.
- Решать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования реальных скоростей изменения.
Решите dy/dx = xy при y(0) = 1. При x = 2, y = e^(x²/2). Найдите y (2 dp).
y = e^(x²/2). При x = 2: y = e² ≈ 7.39.
Если ln y = x²/2 + C и y(0) = 1, чему равно C?
ln 1 = 0 + C, значит C = 0.
Вы поняли
- решать разделяемое уравнение, разделяя переменные и интегрируя обе части
- общее решение содержит константу; начальное условие дает частное решение
- дифференциальное уравнение связывает величину с её скоростью изменения