Векторы
| English | Русский |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | векторное |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | величина |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | единичный вектор |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | пересекаться |
| skew/skjuː/ | skew |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | скалярное произведение |
Навигация в 3D
- Спутники GPS отслеживают ваше положение в трех измерениях. Авиационные судна ориентируются по курсу, тангажу и крену.
- Векторы — это математика направления и величины в пространстве — они необходимы для физики, инженерии и компьютерной графики.
Векторы в 3D
- Вектор имеет размер и направление: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
- Модуль $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; единичный вектор имеет модуль 1.
Пример решения. $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$. Модуль $= \sqrt{9 + 16} = 5$. Единичный вектор $= \dfrac{1}{5}(3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})$.
Такие силы, как ветер и вода, являются векторами, имеющими размер и направление
Чему равен модуль вектора i + 2j + 2k?
|v| = √(1² + 2² + 2²) = √(1+4+4) = √9 = 3.
Векторные уравнения прямых
- Прямая через точку $\mathbf{a}$ в направлении $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Прямые могут быть параллельными (одно направление), пересекающимися (иметь общую точку) или скрещивающимися (ни то, ни другое).
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны. В 3D две прямые могут полностью не касаться друг друга — они не лежат в одной плоскости. Это невозможно в 2D.
Скалярное произведение
a · b = |a||b|cos θ
Скалярное произведение показывает, насколько сильно два вектора направлены в одну сторону — оно равно нулю, когда они перпендикулярны.
Векторное уравнение прямой, проходящей через точку a в направлении b:
r = a + tb, где t — скалярный параметр.
В 3D две прямые, которые не пересекаются, должны быть параллельны.
В 3D прямые могут быть скрещивающимися — ни параллельными, ни пересекающимися. Это невозможно в 2D.
Скалярное (точечное) произведение
- Таким образом, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ означает, что векторы перпендикулярны.
- Используйте его для нахождения угла между двумя векторами: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.
Скалярное произведение дает угол: a·b = |a||b|cos θ, поэтому cos θ = (a·b)/(|a||b|).
Найдите скалярное произведение (i + 2j + 2k)·(2i + 2j + k).
(1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 2 + 4 + 2 = 8.
Если a·b = 0, то два вектора перпендикулярны.
cos θ = 0 дает θ = 90°, поэтому нулевое скалярное произведение означает, что векторы перпендикулярны.
Если a·b = 6, |a| = 3, |b| = 4, чему равен cos θ?
cos θ = (a·b)/(|a||b|) = 6/(3×4) = 6/12 = 0.5.
Пример решения — угол между векторами
- $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. Так как $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ перпендикулярны ($\theta = 90^{\circ}$).
allow_no_figure: Векторы по своей природе находятся в 3 измерениях и их трудно четко представить на статичной диаграмме в 2 измерении — алгебраическая нотация и разборы эффективнее передают концепции.
- Используйте векторы положения и векторы перемещения, а также единичные векторы; теорема о делении отрезка делит прямую в заданном отношении.
Вы поняли
- модуль $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$; прямая: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$
- скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ → перпендикулярность