Интегрирование (Pure 3)
| English | Русский |
|---|---|
| standard integral/ˈstændəd ˈɪntɪɡrəl/ | стандартный интеграл |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | числителе |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | знаменателе |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | разложения на простейшие дроби |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | интегрирование по частям |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замена переменной в интеграле |
| change of variable/tʃeɪndʒ ɒv ˈveərɪəbl/ | замена переменной |
Интеграл, дающий углы
- Вы можете проинтегрировать $\dfrac{1}{x^2+1}$, чтобы получить $\tan^{-1}x$ — функцию, возвращающую углы.
- Эта связь между алгеброй и геометрией является одним из самых красивых результатов в математическом анализе.
Новые стандартные интегралы
- Новый стандартный интеграл: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Паттерн $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$ → $k\ln|f(x)| + C$, например, $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$.
Пример решения. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 4}\,dx = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$ (здесь $a = 2$).
Заметьте паттерн. $\displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$. Числитель должен быть (кратным) производной знаменателя. Если нет, вам понадобится другой метод.
Множество точек |z - a| = r представляет собой окружность радиуса r с центром в точке a
Площадь под кривой
площадь = ∫ f(x) dx
Любой метод интегрирования просто измеряет эту площадь — перетащите пределы, чтобы получить итоговое значение.
Чему равен ∫ 2x/(x²+1) dx?
Числитель является производной знаменателя (форма k f′/f), поэтому интеграл равен ln(x²+1) + C.
∫ 1/(x²+a²) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C.
Это стандартный интеграл Pure 3, связанный с производной обратного тангенса.
∫ 1/(x²+9) dx = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C. Чему равно a?
a² = 9, следовательно a = 3.
∫ 1/(x²+1) dx = ln(x²+1) + C.
Числитель НЕ является производной знаменателя. Правильный интеграл — tan⁻¹x + C.
Дробное разложение для интегрирования
- Дробное разложение: разделите рациональную функцию, затем проинтегрируйте каждую часть как логарифм.
- Пример: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \int\left(\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}\right)dx = \dfrac{1}{2}\ln|x-1| - \dfrac{1}{2}\ln|x+1| + C$.
Интегрирование по частям
- Интегрирование по частям (для произведения): $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Выберите $u$ как ту часть, которая упрощается при дифференцировании.
Формула интегрирования по частям ∫ u dv =
Интегрирование по частям: ∫ u dv = uv − ∫ v du.
Интегрирование заменой переменной
- Интегрирование заменой переменной: замена переменной превращает сложный интеграл в простой.
- Пусть $u = g(x)$, тогда $du = g'(x)\,dx$, и перепишите интеграл в терминах $u$.
allow_no_figure: Методы интегрирования (по частям, заменой, дробное разложение) — визуальное содержание представляет собой алгебраические преобразования, а не диаграмму.
- Интегрирование является дифференцированием в обратном порядке.
Используя замену u = x²+1, вычислите ∫₀² 2x/(x²+1) dx (2 dp).
∫₀² 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 − ln 1 = ln 5 ≈ 1.61.
Вы поняли
- $\displaystyle\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac1a\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$; $\displaystyle\int\frac{k f'(x)}{f(x)}dx = k\ln|f(x)| + C$
- по частям: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ (для произведений)
- заменой переменной: измените переменную, чтобы упростить