Дифференцирование (Чистая математика, 3)
| English | Русский |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | арктангенс |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | цепное правило |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | параметрический |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | правило произведения |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | обратной величиной |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | неявное дифференцирование |
Производная, замыкающая круг
- Вы знаете производные от $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$ и $\ln x$. Pure 3 добавляет еще одну: арктангенс.
- Вместе эти стандартные производные позволяют дифференцировать любую комбинацию элементарных функций.
Повторение методов Pure 2
- Методы относятся кPure 2: правила произведения, частного и цепное правило, а также параметрические и неявные кривые.
- Это основные инструменты дифференцирования — овладейте ими, и вы сможете решить любую задачу.
Пример решения. $y = x^2 e^{3x}$. Правило произведения с $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z на диаграмме Аргона: модуль — это расстояние, аргумент — угол, сопряженное — отражение
Наклон касательной в точке
наклон = dy/dx
Независимо от того, явное оно или неявное, производная — это всё ещё наклон касательной — перетащите точку, чтобы увидеть это.
В Pure 3 дифференцирование по-прежнему использует правила произведения, частного и сложной функции из Pure 2.
Эти правила сохраняются; новым является только правило дифференцирования для обратного тангенса.
Если y = x²e^(3x), то dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). При x = 0, dy/dx = ?
При x = 0: e(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
Производная арктангенса
- Одна новая стандартная производная:
- Она встречается в интегрировании (как обратная операция) и в задачах о связанных скоростях.
$\tan^{-1}x$ НЕ равно $\dfrac{1}{\tan x}$. Обозначение $\tan^{-1}x$ означает обратную функцию (арктангенс), а не обратную величину. Обратная величина равна $\cot x$.
Производная tan⁻¹x равна 1/(1+x²). Каково её значение при x = 1?
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
Чему равна производная tan⁻¹x при x = 0?
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x означает 1/tan x.
tan⁻¹x — это обратная функция (арктангенс), а не обратная величина. Обратная величина — это cot x.
Повторение неявного дифференцирования
- Для уравнений вида $x^2 + y^2 = 25$ продифференцируйте каждый член по $x$.
- Когда вы встречаете член $y$, примените цепное правило: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- Затем решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: Урок повторения, обобщающий методы дифференцирования Pure 2 (правила произведения, частного, цепное правило) с одной новой производной — новые визуальные концепции не вводятся.
Пример решения — неявное дифференцирование
- Найдите $\dfrac{dy}{dx}$ для $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- Продифференцируйте: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Сгруппируйте члены с $\dfrac{dy}{dx}$: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- Дифференцируйте зависимости, заданные неявно или параметрически.
При неявном дифференцировании y² по переменной x вы получаете:
По правилу сложной функции: d/dx(y²) = 2y · dy/dx.
Вы поняли
- используйте правила произведения / частного / цепное из Pure 2
- новая производная: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- все еще обрабатывайте параметрические и неявные кривые тем же способом