Логарифмы, тригонометрия и численные методы (Чистая математика, 3)
| English | Русский |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | логарифм |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | показательное уравнение |
| decay/dɪˈkeɪ/ | распадом |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | линеаризация |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | конвергенция |
Опираясь на то, что вы знаете
- Pure 3 не вводит совершенно новые идеи — он углубляет и расширяет навыки из Pure 2.
- Логарифмы, тригонометрия и численные методы возвращаются с более сложными задачами и богатыми приложениями.
Логарифмы повторены
- Свойства логарифмов с $e^x$ и $\ln x$ возвращаются в более сложных контекстах: решение показательных уравнений, моделирование роста и распада, линеаризация данных.
- Ключевой навык: когда неизвестное находится в степени, возьмите логарифмы обеих сторон.
Разобранный пример. Решите $5e^{2x} = 30$. Разделите: $e^{2x} = 6$. Возьмите $\ln$: $2x = \ln 6$, значит $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
Прямая r = a + t b: начните с a, затем скользите на t единиц в направлении b
Чему равен ln(e³)?
ln и e являются взаимно обратными функциями, поэтому ln(e³) = 3.
Решите 5e^(2x) = 30 относительно x (округлить до 2 знаков).
e^(2x) = 6, следовательно 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
Тригонометрия повторена
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- Формулы сложения и двойного угла, а также форма $R$ для $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- Эти тождества необходимы для интегрирования и решения тригонометрических уравнений.
Не путайте тождества. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (плюс), а не $1 - \tan^2\theta$. Знак берется из деления $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ на $\cos^2\theta$.
Единичная окружность
(cos θ, sin θ)
Формула R переписывает a sin θ + b cos θ как одну волну — и всё это resides на этой окружности.
Используя sec²θ ≡ 1 + tan²θ, если tan θ = 3, чему равно sec²θ?
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
Правильное тождество: sec²θ ≡ 1 + tan²θ (плюс, а не минус).
Численные методы повторены
- Смена знака для поиска корня, затем итеративная формула $x_{n+1} = F(x_n)$.
- Сходимость требует $|F'(x)| < 1$ рядом с корнем.
allow_no_figure: Урок обзора, consolidating skills Pure 2 (логарифмы, тригонометрия, численные методы) — новые визуальные концепции не вводятся.
Численный корень находится методом изменения знака, затем многократным применением:
Метод итераций использует формулу x_{n+1} = F(x_n) до тех пор, пока значения не сойдутся к корню.
Разобранный пример — применение R-формулы
- Выразите $3\sin\theta + 4\cos\theta$ в виде $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- Тогда $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- Максимальное значение равно $5$ (при $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- График зависимости $\ln y$ от $x$ дает прямую, чей наклон и пересечение с осью позволяют найти константы (используя показатели степени и обратные функции); знать обратные тригонометрические функции секанс, косеканс, котангенс; и итерации $x_{n+1}=F(x_n)$ демонстрируют сходимость к корню.
Для выражения 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), чему равно R?
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Вы поняли
- 3.2 логарифмы, 3.3 тригонометрические тождества/формулы углов, 3.6 численные методы = навыки Pure 2
- используйте $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ и формулу R-формы как прежде
- найдите корни с помощью смены знака, затем итерацией $x_{n+1} = F(x_n)$