Алгебра (Чистая математика, 3)
| English | Русский |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | разложения на простейшие дроби |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | рациональная функция |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | разложить на множители |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | кратный множитель |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | неприводимый квадратный трехчлен |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | биномиальное разложение |
Дробление неделимого
- Вы не можете интегрировать $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ напрямую. Но разбейте его на $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$, и каждая часть станет простым логарифмом.
- Дробно-рациональное разложение превращает сложные рациональные функции в простые части — необходимо для интегрирования и разложения в ряды.
Дробно-рациональное разложение
- Дробь с разложенным знаменателем распадается на более простые дроби:
- Это упрощает интегрирование или разложение рациональной функции.
Разобранный пример. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. Умножим: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. Подставим $x = -1$: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. Подставим $x = 2$: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. Результат: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
Произведение скалярное измеряет, насколько b направлено вдоль a: |b| cos theta
Обратные кривые
y = a/(x − b) + c
Разложение на простейшие дроби разбивает сложную дробь на простые обратные части — каждая с вертикальной и горизонтальной асимптотой.
Записывая (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2), подставьте x = 2, чтобы найти B.
При x = 2: 2 + 4 = B(2 + 1), следовательно 6 = 3B, откуда B = 2.
Разложение на простейшие дроби упрощает интегрирование рациональной функции.
Каждая простая дробь интегрируется в логарифм, поэтому предварительное разделение облегчает интегрирование.
Повторяющиеся и квадратичные множители
- Повторяющийся множитель $(cx+d)^2$: требует $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$.
- Неприводимый квадратный $(x^2 + a^2)$: требует $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$.
Не забудьте член повторяющегося множителя. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. Пропуск члена $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ — частая ошибка.
Фигурка на каникулы
Для 1/(x(x+1)²) форма разложения на простейшие дроби включает:
Повторяющийся множитель (x+1)² требует членов B/(x+1) и C/(x+1)².
Биномиальное разложение для рациональных степеней
- Работает для дробных/отрицательных $n$, когда $|x| < 1$:
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
Биномиальное разложение (1+x)ⁿ для дробного или отрицательного n справедливо только при условии:
Для степеней, не являющихся положительными целыми числами, ряд сходится только при |x| < 1.
В разложении (1+x)^(1/2) коэффициент при x² равен n(n-1)/2!, где n=1/2. Найдите его.
(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
Разобранный пример — интегрирование с помощью дробно-рационального разложения
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: Алгебраический метод (разложение на простейшие дроби) — визуальное содержание представляет собой саму алгебраическую манипуляцию, а не диаграмму.
- Используйте теорему о корнях и теорему о остатке: деление полинома дает частное и остаток.
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. При x = 3, чему равно 2 ln|x-2| (округлить до 2 знаков)?
2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
Вы поняли
- дробно-рациональное разложение разделяет рациональную функцию для интегрирования/разложения
- сопоставьте форму со знаменателем (повторяющийся множитель → дополнительный член $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$)
- бином работает для рациональных $n$, когда $|x| < 1$