Численное решение уравнений
| English | Русский |
|---|---|
| root/ruːt/ | корнем |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | численный метод |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | правильность (точность) |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | смена знака |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | итерации |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | стремиться к пределу (сходиться) |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | итерационная формула |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | преобразование |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | расходиться |
Невидимый корень
- Некоторые уравнения не имеют аккуратного алгебраического решения. $x^3 + x - 1 = 0$ нельзя разложить на множители.
- Но вы знаете, что корень существует между $0$ и $1$, потому что функция меняет знак. Численные методы позволяют найти его с любой точностью.
Нахождение корня
- Многие уравнения нельзя решить точно. Корень — это решение.
- Смена знака: если $f(a)$ и $f(b)$ имеют разные знаки (и нет разрыва между ними), корень лежит между $a$ и $b$.
Разобранный пример. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (отрицательный), $f(1) = 1$ (положительный). Смена знака → корень между $0$ и $1$.
Смена знака не гарантирует ровно один корень. Между $a$ и $b$ может быть 3 корня (или любое нечетное количество). Смена знака говорит лишь о том, что есть как минимум один.
Итерация: шаг вверх к кривой и поперек до y = x; шаги сходятся к корню
Где находится корень?
y = ax³ + bx² + cx + d
Корень — это точка, где кривая пересекает ноль. Изменение знака f(x) указывает на наличие корня между двумя значениями x.
Если f(a) и f(b) имеют разные знаки (и f непрерывна между ними), то между a и b есть:
Изменение знака непрерывной функции гарантирует наличие корня между a и b.
f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 и f(1) = 1. Между какими двумя целыми числами находится корень?
Изменение знака между 0 и 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), значит, корень находится между 0 и 1.
Итерация
- Преобразуйте уравнение в вид $x = F(x)$.
- Используйте итеративную формулу $x_{n+1} = F(x_n)$ из первой догадки $x_0$.
- Если значения стабилизируются, они сходятся к корню. Продолжайте до достижения требуемой точности.
Итерация: начиная с $x_0$, каждый шаг применяет $F$ и отражается относительно $y = x$. Паукообразная спираль входит в неподвижную точку — корень.
Итерационная формула имеет вид:
Итерация многократно применяет x_{n+1} = F(x_n), начиная с первой оценки.
Если значения итерации стабилизируются до постоянного числа, они сошлись к корню.
Сходимость означает, что последовательность приближается к фиксированному значению — корню уравнения.
Используя x_{n+1} = ∛(1 − x_n) при x₀ = 0, чему равно x₁ (округлить до 2 знаков)?
x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
Разобранный пример — итерация
- Решите $x^3 + x - 1 = 0$ с помощью $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, начиная с $x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- Значения сходятся к $x \approx 0.682$.
Итерация x_{n+1} = F(x_n) всегда сходится независимо от начального значения.
Сходимость требует |F′(x)| < 1 рядом с корнем. Плохие преобразования или начальные значения могут привести к расходимости.
Выбор преобразования
- Не все преобразования сходятся. Итерация $x_{n+1} = F(x_n)$ сходится при $|F'(x)| < 1$ рядом с корнем.
- Если происходит расхождение (значения удаляются), попробуйте другое преобразование.
Вы поняли
- смена знака $f$ между $a$ и $b$ заключает корень внутри
- итерация: $x_{n+1} = F(x_n)$ из начального предположения
- если значения сходятся (стабилизируются), они приближаются к корню
- сходимость требует $|F'(x)| < 1$ рядом с корнем