Интегрирование (Чистая математика, 2)

Словарь

English	Русский
integral/ˈɪntɪɡrəl/	интеграла
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	показательная функция
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	дифференциальное уравнение
trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/	правило трапеций
strip/strɪp/	полоска
estimate/ˈestɪmət/	оценкой
identity/aɪˈdentɪti/	идентичность

Площадь, которую не может покинуть eˣ

Интеграл от $e^x$ равен $e^x$ — той же самой функции. Это свойство самоотражения делает экспоненциальные функции центральными для дифференциальных уравнений.
Методы интегрирования позволяют находить площади, объемы и решения задач реального мира.

Стандартные интегралы

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C.$$

Example

Разбор примера. Для интеграла $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. Результат $\dfrac{1}{3}$ получается благодаря правилу сложной функции в обратном направлении.

Watch out

Не забудьте о коэффициентах $\dfrac{1}{a}$. При интегрировании выражения $e^{ax+b}$ необходимо разделить на $a$. Интеграл от выражения $e^{2x}$ равен $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, а не $e^{2x}$.

Метод трапеций добавляет полосы с прямыми верхними границами шириной h для оценки площади

Исследовать

Площадь под кривой

площадь = ∫ f(x) dx

Интеграл всё ещё измеряет площадь — перетащите a и b, чтобы суммировать полосы под кривой.

Практика

Чему равен ∫ eˣ dx?

eˣ + C
x eˣ + C
eˣ⁺¹ + C
ln x + C

Практика

Чему равен ∫ (1/x) dx?

ln|x| + C
1/x² + C
x⁻² + C
eˣ + C

Практика

∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. Чему равно a?

Практика

∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Вычислите от 0 до π/6 (округлить до 2 знаков после запятой).

Интегрирование степеней тригонометрических функций

Чтобы проинтегрировать степень выражения $\sin$/$\cos$, сначала используйте тождество для снижения степени.
Пример: если есть выражение $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, то применяем тождество $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.

Метод трапеций

Когда точное интегрирование невозможно, используйте оценку:

$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + \cdots + y_{n-1})\big]$$

Каждая полоса шириной $h$ представляет собой трапецию; сложите их площади.

Кривая с трапецеoidalными полосами, аппроксимирующими площадь под ней, демонстрирует, как метод трапеций оценивает определенный интеграл

Метод трапеций: разделите площадь на полосы, аппроксимируйте каждую как трапецию и суммируйте их площади.

Практика

Правило трапеции оценивает определённый интеграл, когда его нельзя найти точно.

Практика

Используя правило трапеции с h = 1, оцените ∫₁³ x² dx со значениями y: 1, 4, 9.

Разбор примера — метод трапеций

Оцените значение интеграла $\int_1^4 x^2\,dx$, используя 3 полосы (шаг $h = 1$).
Значения $y$: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
$\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
Точное значение: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. Оценка близка к истинному значению.
Интегрирование является обратным дифференцированием; сложные интегралы решаются методом замены переменной.

Вы поняли

Key idea

$\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
снижайте степени выражений $\sin$/$\cos$ с помощью тождеств перед интегрированием
правило трапеции оценивает интеграл как сумму трапециевидных полос