Дифференцирование (Чистая математика, 2)
| English | Русский |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | стандартные производные |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | правило частного |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | правило произведения |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | параметрический |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | неявным |
Производная, которая никогда не меняется
- Функция $e^x$ уникальна: её производная равна самой себе. Ни одна другая функция не обладает этим свойством.
- Это делает функцию $e^x$ основой моделей роста, радиоактивного распада и сложных процентов.
Стандартные производные
Разбор примера. Для функции $y = e^{3x}$. По правилу сложной функции: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
Наклон касательной в точке
наклон = dy/dx
Перемещайте точку — наклон касательной равен производной, даже для этих новых стандартных функций.
Производная ln x равна 1/x. Каково её значение при x = 4?
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
Производная eˣ равна eˣ. Каково её значение при x = 0?
d/dx(eˣ) = eˣ, а e⁰ = 1.
Если y = e^(3x), то dy/dx = 3e^(3x). Чему равно dy/dx при x = 0?
При x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
Правила произведения и частного
- Правило произведения: выражение $(uv)' = u'v + uv'$.
- Правило частного: выражение $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Правило произведения: когда изменяются оба выражения $u$ и $v$, общая скорость изменения состоит из двух слагаемых — по одному на каждую изменяющуюся функцию при фиксированной другой.
Не забудьте правило произведения. Производная выражения $uv$ НЕ равна $u'v'$. Необходимо использовать $(uv)' = u'v + uv'$. Это одна из самых частых ошибок при дифференцировании.
Правило произведения гласит, что (uv)′ равно:
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′.
Правило частного для (u/v)′ равно (u′v + uv′)/v².
Правило частного: (u′v − uv′)/v² (минус, а не плюс в числителе).
Параметрическое и неявное дифференцирование
- Параметрическое: выражение $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Неявное: продифференцируйте каждый член выражения $x$, примените правило сложной функции к членам с $y$, затем решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$.
Если x = t² и y = t³, то dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. При t = 4, dy/dx = ?
При t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
Разбор примера — правило произведения
- Выражение $y = x^2 \sin x$. Обозначим $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Вы поняли
- изучить: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$; правило частного $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- параметрическое: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; неявное: применить правило сложной функции к членам с $y$