C.3 · Явления волн

Полное руководство C.3 охват (Волновые явления), первая проверка 2025. Читать непосредственно из руководства по физике, страницы 47–48. Предварительные знания: C.2 (v = fλ, поперечные и продольные волны) и основы тригонометрии.

Это оригинальные учебные примеры, а не фактические измерения или завершенные оценочные исследования учеников.

В двумерном и трехмерном пространстве волна изображается двумя способами: волновыми фронтами — линиями, соединяющими точки в одинаковой фазе (в шаге), расположенными через одну длину волны, и лучами — стрелками, перпендикулярными волновым фронтам и показывающими направление распространения. Эскизы в этой теме ограничены падающими, отраженными и преломленными волнами.

На границе раздела двух сред волна совершает одно или несколько из трех действий:

• Отражение — волновой фронт возвращается от границы (угол падения равен углу отражения, оба угла измеряются от нормали).
• Преломление — часть волны проходит во вторую среду.
• Преломление — преломленная волна меняет направление, так как меняется её скорость: к нормали при входе в более медленную среду, от неё при входе в более быструю. Частота определяется источником и остается неизменной; длина волны изменяется пропорционально скорости.

Правило преломления в виде отношения:

где $n$ — показатель преломления каждой среды, а $\theta$ — угол между лучом и нормалью. Эквивалентно $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$; больший показатель преломления означает меньшую скорость в данной среде.

При переходе из более медленной среды в более быструю (стекло в воздух, $n_1 > n_2$) существует угол, превысив который ни один луч не сможет выйти наружу: при критическом угле преломленный луч идет вдоль границы,

а при больших углах весь свет полностью отражается обратно в среду — полное внутреннее отражение (TIR), принцип оптоволокна.

Решенная проверка (преломление в стекле). Воздух в стекло, $n_{air} = 1.0$, $n_{glass} = 1.5$, угол падения $40°$: $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 = (1.0/1.5)(0.643) = 0.429$, следовательно $\theta_2 = 25°$ — луч отклоняется к нормали, как и следовало ожидать при входе в более медленную среду. Скорости соотносятся тем же образом: $v_{glass} = c/1.5 = 2.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$.

Решенная проверка (критический угол). То же стекло против воздуха: $\sin\theta_c = 1.0/1.5 = 0.667$, значит $\theta_c = 42°$. Любой луч внутри стекла, падающий на стенку под углом больше $42°$ к нормали, будет полностью внутренне отражен.

Волна, встречающая препятствие или отверстие, не движется строго прямо: она огибает его и рассеивается — это дифракция. Рассеивание наиболее выражено, когда размер отверстия сопоставим с длиной волны или меньше её, поэтому звук огибает дверные проемы (длины волн порядка метров), тогда как свет (сотни нанометров) кажется идущим прямо. Диаграмма волновых фронтов и лучей показывает плоские волновые фронты, входящие в щель и выходящие в виде изогнутых, расширяющихся фронтов.

Когда две волны встречаются в точке, их смещения складываются — это суперпозиция. Для получения устойчивой картины источники должны быть когерентными: иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз. Тогда результат зависит от разности хода от двух источников:

при $n$ — целое число. Конструктивная интерференция образует максимум (два гребня достигают точки одновременно); деструктивная приводит к минимуму (гребень встречается с впадиной).

Проверочный пример. Два когерентных источника в фазе, длина волны 0.50 м. Точка находится на расстоянии 3.00 м от одного источника и 3.75 м от другого; разность хода составляет 0.75 м $= 1.5\lambda = (1 + \tfrac{1}{2})\lambda$ — деструктивная: минимум. Перемещая точку до тех пор, пока разность хода не станет равна 1.00 м $= 2\lambda$, можно восстановить максимум.

Свет проходит через одну узкую щель, затем через две узкие щели (когерентные по конструкции) и образует на экране яркие и тёмные полосы — интерференцию, что является доказательством волновой природы света. Расстояние между полосами равно

где $d$ — расстояние между щелями, а $D$ — расстояние от щелей до экрана.

Worked check (measuring a wavelength). Slits 0.20 mm apart, screen 2.4 m away, and 12 bright fringes counted across 55 mm (11 gaps, so $s = 55/11 = 5.0\ \mathrm{mm}$): $\lambda = sd/D = (5.0\times10^{-3})(0.20\times10^{-3})/2.4 = 4.2\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ — violet-blue light.

1. Объясните понятие волнового фронта и связь луча с ним.
2. Луч переходит из воздуха в воду ($n = 1.3$) под углом $50°$ к нормали. Вычислите угол преломления.
3. Назовите условие полного внутреннего отражения и объясните, почему аквариум может зеркально отображать объекты при скользящих углах.
4. Сравните дифракцию звука и света при прохождении через дверной проём, приведя причину.
5. Два когерентных источника находятся на расстоянии 0.040 м друг от друга и излучают волны длиной 0.060 м в фазе. Точка расположена на расстоянии 0.30 м от одного источника вдоль линии, перпендикулярной линии источников; определите тип разности хода (конструктивная или деструктивная), если она находится на расстоянии 0.33 м от другого источника.
6. В установке с двумя щелями расстояние между щелями уменьшено вдвое, а экран отодвинули в два раза дальше. Что происходит с расстоянием между интерференционными полосами?
7. A double-slit with green light gives fringes 4.0 mm apart. Estimate the new separation with blue light of half the wavelength.

Ответы: 1 линия точек, находящихся в фазе, через одну длину волны; луч повсюду перпендикулярен волновым фронтам и указывает направление распространения; 2 $\sin\theta_2 = (1.0/1.3)\sin 50° = 0.588$, $\theta_2 = 36°$; 3 распространение из более медленной (с большей$n$) среды в более быструю под углом, превышающим критический; за этим пределом поверхность действует как зеркало полного отражения; 4 звук (длины волн в метрах, сопоставимые с дверным проёмом) сильно дифрагирует вокруг отверстия; свет (сотни нанометров) рассеивается пренебрежимо мало; 5 разность хода 0.03 м $= \tfrac{1}{2}(0.060\ \mathrm{m})$ — деструктивная интерференция; 6 $s \propto D/d$: в четыре раза шире; 7 $s \propto \lambda$, следовательно 2.0 мм.

Записать по предельному углу

• Свет распространяется из стекла (n = 1.5) в воздух.
• Критический угол удовлетворяет условию sin θc = 1 ÷ 1.5 = 0.667, поэтому θc ≈ 41.8° — при углах больше этого значения каждый луч полностью отражается обратно: условие для оптоволокна.

Записать на основе граничного предложения

• Волна переходит в среду с меньшей скоростью.
• Одно предложение, четыре факта: частота не меняется (определяется источником), скорость уменьшается, длина волны сокращается, луч отклоняется к нормали.