Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
У модели длины составляют одну треть от реального объекта. Во сколько раз меньше его площадь и объем?
Этот урок посвящен коэффициенту масштабирования: множителю, связывающему соответствующие длины в подобных фигурах.
Выберите математическую структуру
Для подобных фигур с коэффициентом подобия длин k площади масштабируются как k², а объёмы — как k³. Явно укажите причины равенства углов. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Если коэффициент отношения модельной длины к реальной равен 3, то модельная площадь 12 см² соответствует реальной площади 12×3²=108 см², а модельный объём 8 см³ соответствует реальному объёму 8×3³=216 см³. Цилиндр с r=3, h=5 имеет объём πr²h=45π.
Проверьте соблазнительное упрощение
Равенство углов само по себе устанавливает подобие, но не равенство размера. Используйте соответственные длины в том же порядке. Преобразуйте линейные единицы перед вычислением площади или объема, либо правильно возведите коэффициент преобразования в квадрат или куб.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Удвоение каждой длины твёрдого тела удваивает его объём. Это утверждение ложно. Объясните, какому определению или предпосылке оно противоречит.
Интерпретируйте новую ситуацию
Геометрическое доказательство должно называть соответствующую теорему, указывать равные углы или соотношения сторон и делать вывод. Масштабный чертёж является доказательством только тогда, когда задание допускает измерения.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Множитель, связывающий соответствующие длины в подобных фигурах. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
3.3
Прямоугольные треугольники и треугольники общего вида
Какую сторону нужен для лестницы?
Лестница достигает высоты 4 м, а её основание находится на расстоянии 3 м от стены. Какие стороны известны, и какой угол нам нужен?
Этот урок посвящён гипотенузе: стороне, лежащей напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике.
Выберите математическую структуру
В прямоугольном треугольнике a²+b²=c²; sinθ=противолежащая/гипотенуза, cosθ=прилежащая/гипотенуза и tanθ=противолежащая/прилежащая. Для других треугольников используйте теорему синусов или косинусов, либо площадь=ab sin C/2.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Длина лестницы c=√(3²+4²)=5 м. Её угол с землёй удовлетворяет условию tanθ=4/3, следовательно θ≈53.1°. При наличии двух сторон 6 и 8, охватывающих угол 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Проверьте соблазнительное упрощение
Подпишите стороны относительно выбранного угла. Теорема Пифагора требует наличия прямого угла. Ошибка в режиме углов калькулятора может дать правдоподобный, но неверный результат. Сохраняйте нерасчётные значения для дальнейших шагов.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Теорема Пифагора применима к любому треугольнику, включая треугольники без прямого угла. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Используйте план или вид спереди для трёхмерной задачи перед применением правила треугольника. Объясните, почему выбранный треугольник содержит требуемую длину или угол.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Сторона, лежащая напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
3.4
Радианы, тождества и тригонометрические уравнения
Какое расстояние проходит обод?
Вращающееся колесо описывает дугу. Радианы позволяют напрямую связать угол с пройденным расстоянием по ободу.
Этот урок посвящён радиану: углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу.
Выберите математическую структуру
Для θ в радианах длина дуги s=rθ, а площадь сектора A=r²θ/2. Используйте sin²θ+cos²θ=1 и тригонометрические тождества для упрощения или решения. Перечислите все решения в указанном интервале.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для r=4 и θ=π/3, s=4π/3 и A=8π/3. Решая sin x=1/2 на 0≤x<2π, получаем x=π/6 и 5π/6. Для sin2x=1/2, решите сначала на 0≤2x<4π, прежде чем делить на 2.
Проверьте соблазнительное упрощение
Обратный синус калькулятора выдает одно главное значение. Он не дает всех решений. Деление на sin x может привести к потере решений, где sin x=0; проверьте этот случай отдельно.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Главное значение обратного синуса всегда является единственным решением за полный оборот. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Выберите тождество, которое сводит уравнение к одной тригонометрической функции. Сохраняйте точные табличные углы по возможности и проверяйте каждое решение против исходного уравнения.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и проинтерпретируйте результат.
3.5
Векторы и преобразовательная геометрия
Почему перемещение короче пути?
Проходя 4 м на восток и 3 м на север, получаем вектор перемещения 5 м, хотя пройденный путь составляет 7 м.
Этот урок посвящён равнодействующей: векторной сумме, представляющей суммарное перемещение или силу.
Выберите математическую структуру
Добавьте соответствующие векторные компоненты. Перемещение из A в B равно OB-OA. Параллельные векторы являются скалярными кратными. Вектор имеет величину и направление; расстояние — скалярная величина.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
При a=(4,1) и b=(1,3), a+b=(5,4). Их скалярное произведение равно a·b=4×1+1×3=7. Величина (модуль) вектора a равна √17. Для A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) и |AB|=5.
Проверьте соблазнительное упрощение
Порядок вычитания важен: BA=-AB. Доказательство параллельности требует наличия соотношения скалярного кратного; одного рисунка недостаточно. Отрицательное подобие отражает фигуру относительно центра подобия.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Векторы AB и BA всегда имеют одинаковые компоненты. Это утверждение ложно. Укажите, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
При параллельном переносе каждая точка использует одно и то же перемещение. Для сложных задач прямых различайте радиус-вектор и вектор направления, а также решайте параметрические уравнения последовательно.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Векторная сумма, представляющая суммарное перемещение или силу. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
