1 · Число и алгебра

Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.

Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.

Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.

Можно ли упаковать без остатков?

• Поставщик упаковывает 72 карандашей и 90 ручек в одинаковые подарочные пакеты. Как избежать остатков?
• В этом уроке изучается простой множитель: простое число, которое делит целое число нацело.

Выберите математическую структуру

• Простые множители раскрывают общую структуру. Используйте наименьшие общие степени простых множителей для НОД и наибольшие — для НОК. Сделайте предварительную оценку перед вычислением; используйте скобки для сохранения порядка выполнения операций.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

72=2^3×3^2 и 90=2×3^2×5. Их НОД равен 2×9=18. Сделайте 18 пакетов, используя 4 карандашей и 5 ручек в каждом. Их НОК составляет 2^3×3^2×5=360.

Проверьте соблазнительное упрощение

• НОД делит оба числа; НОК является кратным обоих. Они отвечают на разные вопросы. Десятичная оценка не является точной дробью.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

НОД двух положительных целых чисел всегда больше каждого из них. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Для работы без калькулятора сохраняйте дроби в точном виде и показывайте сокращение. Для работы с калькулятором введите полное выражение и сравните его с оценкой.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Простое число, которое делит данное целое число нацело. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте допущения и интерпретируйте результат.

Насколько мала микроскопическая длина?

• Микроскоп фиксирует длину 0.000072 метров. Компактная запись должна сохранять корректный порядок величины.
• В этом уроке изучается степень: показатель, в который возводится основание.

Выберите математическую структуру

• Для одного и того же положительного основания умножение складывает показатели степеней, а деление вычитает их. Отрицательная степень означает обратную величину, дробная степень представляет корень. Стандартный вид имеет формат 1≤a<10.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

0.000072=7.2×10^(-5). Также 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Упростите √72=6√2, затем рационализируйте $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Проверьте соблазнительное упрощение

• Законы показателей не превращают сумму в одну степень: 2^{3}+2^{4}=24, а не 2^{7}. Не округляйте корень, если требуется точный ответ.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

Для любого положительного a, a^{2}+a^{3} равно a^{5}. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Проверяйте степени десятки относительно исходной величины. Используйте корни для точной геометрии и округляйте только конечную длину, если в задании просят десятичную дробь.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Степень, в которую возводится основание. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.

Изменение добавляет или умножает?

• План накопления добавляет ¥30 каждую неделю; модель роста населения увеличивается на 5% ежегодно. Равные разности и равные отношения требуют разных моделей.
• Этот урок посвящён общему отношению: постоянному множителю между последовательными членами геометрической прогрессии.

Выберите математическую структуру

• Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Для геометрической прогрессии u_n=ar^(n-1) и S_n=a(1-r^n)/(1-r). Бесконечная геометрическая сумма существует только если |r|<1.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

Для a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 и S_8=8(10+21)/2=124. Для a=12, r=1/2, сумма бесконечного ряда S_∞=12/(1-1/2)=24. Для рекуррентности u_(n+1)=2u_n+1 при u_1=1, следующие члены равны 3,7,15.

Проверьте соблазнительное упрощение

• Первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1. Последовательность — это список; ряд — это сумма. Геометрическая последовательность может чередовать знаки и при этом сходиться.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

Каждый геометрический ряд имеет конечную сумму бесконечности. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Объясните, оправдывает ли контекст аддитивные или мультипликативные изменения. В финансах различайте единый взнос и поток взносов перед выбором формулы суммы.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Постоянный множитель между последовательными членами геометрической последовательности. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.

Можно ли восстановить исходную цену?

• Пальто подешевело на 20% до ¥240. Скидка применяется к первоначальной цене, а не к цене продажи.
• Этот урок посвящён множителю: фактору, который выполняет процентное изменение за один шаг умножения.

Выберите математическую структуру

• Увеличение на p% имеет множитель 1+p/100; уменьшение имеет множитель 1-p/100. Верните процентное значение, разделив на множитель. В пропорции сначала найдите общее количество частей.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

Пусть исходная цена равна P. Модель: цена продажи = 0.8P. Следовательно, P = 240/0.8 = 300. Последующее увеличение на 20% приводит к значению 240×1.2=288, поэтому два изменения не компенсируют друг друга.

Проверьте соблазнительное упрощение

• Процентное значение использует указанную базу. Вычитание процентов теряет эту базу. Для сложного изменения перемножайте множители; не складывайте проценты.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

Снижение на 20%, за которым следует рост на 20%, восстанавливает начальную цену. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Для прямой пропорциональности используйте y=kx; для обратной пропорциональности используйте y=k/x. Рассчитайте k по известной паре значений перед использованием нового значения. Укажите, что вы держали постоянным.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Множитель, выполняющий процентное изменение за одно умножение. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.

Что делать, если корень не вещественный?

• Уравнение x²+1=0 не имеет действительных корней. Расширение числовой системы позволяет представлять и вычислять оба корня.
• На этом уроке изучается комплексно-сопряженное число: число, полученное изменением знака мнимой части.

Выберите математическую структуру

• Запишите z=a+bi, где i²=-1. Сопряженным будет a-bi, а произведение z на его сопряженное равно a²+b². Модуль равен √(a²+b²); для определения аргумента необходимо учитывать правильный квадрант. Сопряженные корни встречаются в многочленах с вещественными коэффициентами.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

Для z=3+4i, |z|=5, а сопряженное равно 3-4i. Обратное значение равно (3-4i)/25. Для уравнения x²-6x+13=0 корнями являются 3±2i. Умножение на сопряженное делает знаменатель комплексного числа вещественным.

Проверьте соблазнительное упрощение

• Корень из суммы не равен сумме корней. Один только арктангенс может вернуть неверный квадрант. Не путайте модуль с квадратом модуля.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

Для a+bi его модуль всегда равен a+b. Это утверждение ложно. Объясните, какому определению или предположению оно противоречит.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Нарисуйте действительную ось горизонтально, а мнимую вертикально. Для произведений модули перемножаются, а аргументы складываются; степени расширяют этот геометрический паттерн через формулу Муавра.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Число, полученное изменением знака мнимой части. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.

Как малое изменение влияет на степень?

• Небольшое изменение измерения влияет на степень величины. Разложение может показать величину первого и второго эффектов.
• В этом уроке изучается биномиальный коэффициент: количество способов выбрать определенное число объектов из множества.

Выберите математическую структуру

• Для положительного целого n, (a+b)^n представляет собой конечное биномиальное разложение. Для нецелого n, раскройте (1+x)^n как 1+nx+n(n-1)x²/2+... при |x|<1. Вынесите константы за скобки перед использованием этой формы.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Для (1+x)^(-1), первые три члена равны 1-x+x²; при x=0.1 это дает 0.91 против точного значения 1/1.1≈0.909091.

Проверьте соблазнительное упрощение

• Разложение по ⟨2⟩x требует выполнения условия |2x|<1 для бесконечного ряда, а не просто |x|<1. Разложения с положительными целыми степенями конечны и не имеют этого ограничения сходимости.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

Каждое разложение бинома является конечным многочленом, включая степени, не являющиеся положительными целыми числами. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Указывайте область применимости вместе с приближением. Сохраните достаточное количество членов для обеспечения требуемой точности и различайте коэффициент и весь член, содержащий x.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Число способов выбрать заданное количество объектов из множества. Установите связь, покажите метод, проверьте допущения и интерпретируйте результат.

Может ли многочлен заменить экспоненту вблизи?

• Вблизи известной точки сложную функцию можно заменить полиномиальным приближением. Для этого приближения необходим центр и допустимый масштаб.
• Эта тема изучает полином Тейлора: многочлен, составленный из производных функции в выбранном центре.

Выберите математическую структуру

• В окрестности x=a: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... при условии, что разложение справедливо. При a=0 это разложение Маклорена. Конечные суммы также могут упрощаться за счет сокращения или использования формул стандартных сумм.
• Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.

Пройдите через проверенный случай

• Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.

Пример:

Первые три члена e^x равны 1+x+x²/2. При x=0.1 это дает 1.105, что близко к e^0.1≈1.105170. Для суммы k² от k=1 до 5, выражение n(n+1)(2n+1)/6 дает 5×6×11/6=55.

Проверьте соблазнительное упрощение

• Факториал должен находиться в знаменателе каждого коэффициента Тейлора. Центр разложения не всегда равен нулю. Приближение, точное вблизи центра, может быть неточным далеко от него.
• Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.

Предупреждение:

Многочлен Тейлора всегда точно совпадает с исходной функцией при любом значении аргумента. Это утверждение неверно. Объясните, какому определению или предпосылке оно противоречит.

Интерпретируйте новую ситуацию

• Для телескопического ряда запишите несколько членов и определите оба оставшихся края. Для приближения Тейлора укажите его порядок и сравните с известным значением или оценкой остатка, где это требуется.
• Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.

Используйте это в своем курсе

• Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
• Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.

Ключевые моменты:

Многочлен, составленный из производных функции в выбранной точке. Установите связь, покажите метод, проверьте предпосылки и интерпретируйте результат.