Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
Поставщик упаковывает 72 карандашей и 90 ручек в одинаковые подарочные пакеты. Как избежать остатков?
В этом уроке изучается простой множитель: простое число, которое делит целое число нацело.
Выберите математическую структуру
Простые множители раскрывают общую структуру. Используйте наименьшие общие степени простых множителей для НОД и наибольшие — для НОК. Сделайте предварительную оценку перед вычислением; используйте скобки для сохранения порядка выполнения операций.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
72=2^3×3^2 и 90=2×3^2×5. Их НОД равен 2×9=18. Сделайте 18 пакетов, используя 4 карандашей и 5 ручек в каждом. Их НОК составляет 2^3×3^2×5=360.
Проверьте соблазнительное упрощение
НОД делит оба числа; НОК является кратным обоих. Они отвечают на разные вопросы. Десятичная оценка не является точной дробью.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
НОД двух положительных целых чисел всегда больше каждого из них. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Для работы без калькулятора сохраняйте дроби в точном виде и показывайте сокращение. Для работы с калькулятором введите полное выражение и сравните его с оценкой.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Простое число, которое делит данное целое число нацело. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте допущения и интерпретируйте результат.
1.3
Показатели, корни и стандартная форма
Насколько мала микроскопическая длина?
Микроскоп фиксирует длину 0.000072 метров. Компактная запись должна сохранять корректный порядок величины.
В этом уроке изучается степень: показатель, в который возводится основание.
Выберите математическую структуру
Для одного и того же положительного основания умножение складывает показатели степеней, а деление вычитает их. Отрицательная степень означает обратную величину, дробная степень представляет корень. Стандартный вид имеет формат 1≤a<10.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
0.000072=7.2×10^(-5). Также 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Упростите √72=6√2, затем рационализируйте $1/\sqrt{2}$=√2/2.
Проверьте соблазнительное упрощение
Законы показателей не превращают сумму в одну степень: 2^{3}+2^{4}=24, а не 2^{7}. Не округляйте корень, если требуется точный ответ.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Для любого положительного a, a^{2}+a^{3} равно a^{5}. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Проверяйте степени десятки относительно исходной величины. Используйте корни для точной геометрии и округляйте только конечную длину, если в задании просят десятичную дробь.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Степень, в которую возводится основание. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
1.4
Последовательности, ряды и рекуррентность
Изменение добавляет или умножает?
План накопления добавляет ¥30 каждую неделю; модель роста населения увеличивается на 5% ежегодно. Равные разности и равные отношения требуют разных моделей.
Этот урок посвящён общему отношению: постоянному множителю между последовательными членами геометрической прогрессии.
Выберите математическую структуру
Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2. Для геометрической прогрессии u_n=ar^(n-1) и S_n=a(1-r^n)/(1-r). Бесконечная геометрическая сумма существует только если |r|<1.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 и S_8=8(10+21)/2=124. Для a=12, r=1/2, сумма бесконечного ряда S_∞=12/(1-1/2)=24. Для рекуррентности u_(n+1)=2u_n+1 при u_1=1, следующие члены равны 3,7,15.
Проверьте соблазнительное упрощение
Первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1. Последовательность — это список; ряд — это сумма. Геометрическая последовательность может чередовать знаки и при этом сходиться.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждый геометрический ряд имеет конечную сумму бесконечности. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Объясните, оправдывает ли контекст аддитивные или мультипликативные изменения. В финансах различайте единый взнос и поток взносов перед выбором формулы суммы.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Постоянный множитель между последовательными членами геометрической последовательности. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
1.5
Проценты, пропорции и логическое рассуждение
Можно ли восстановить исходную цену?
Пальто подешевело на 20% до ¥240. Скидка применяется к первоначальной цене, а не к цене продажи.
Этот урок посвящён множителю: фактору, который выполняет процентное изменение за один шаг умножения.
Выберите математическую структуру
Увеличение на p% имеет множитель 1+p/100; уменьшение имеет множитель 1-p/100. Верните процентное значение, разделив на множитель. В пропорции сначала найдите общее количество частей.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Пусть исходная цена равна P. Модель: цена продажи = 0.8P. Следовательно, P = 240/0.8 = 300. Последующее увеличение на 20% приводит к значению 240×1.2=288, поэтому два изменения не компенсируют друг друга.
Проверьте соблазнительное упрощение
Процентное значение использует указанную базу. Вычитание процентов теряет эту базу. Для сложного изменения перемножайте множители; не складывайте проценты.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Снижение на 20%, за которым следует рост на 20%, восстанавливает начальную цену. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Для прямой пропорциональности используйте y=kx; для обратной пропорциональности используйте y=k/x. Рассчитайте k по известной паре значений перед использованием нового значения. Укажите, что вы держали постоянным.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Множитель, выполняющий процентное изменение за одно умножение. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
1.6
Комплексные числа и корни
Что делать, если корень не вещественный?
Уравнение x²+1=0 не имеет действительных корней. Расширение числовой системы позволяет представлять и вычислять оба корня.
На этом уроке изучается комплексно-сопряженное число: число, полученное изменением знака мнимой части.
Выберите математическую структуру
Запишите z=a+bi, где i²=-1. Сопряженным будет a-bi, а произведение z на его сопряженное равно a²+b². Модуль равен √(a²+b²); для определения аргумента необходимо учитывать правильный квадрант. Сопряженные корни встречаются в многочленах с вещественными коэффициентами.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для z=3+4i, |z|=5, а сопряженное равно 3-4i. Обратное значение равно (3-4i)/25. Для уравнения x²-6x+13=0 корнями являются 3±2i. Умножение на сопряженное делает знаменатель комплексного числа вещественным.
Проверьте соблазнительное упрощение
Корень из суммы не равен сумме корней. Один только арктангенс может вернуть неверный квадрант. Не путайте модуль с квадратом модуля.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Для a+bi его модуль всегда равен a+b. Это утверждение ложно. Объясните, какому определению или предположению оно противоречит.
Интерпретируйте новую ситуацию
Нарисуйте действительную ось горизонтально, а мнимую вертикально. Для произведений модули перемножаются, а аргументы складываются; степени расширяют этот геометрический паттерн через формулу Муавра.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Число, полученное изменением знака мнимой части. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
1.7
Биномиальное разложение и допустимые приближения
Как малое изменение влияет на степень?
Небольшое изменение измерения влияет на степень величины. Разложение может показать величину первого и второго эффектов.
В этом уроке изучается биномиальный коэффициент: количество способов выбрать определенное число объектов из множества.
Выберите математическую структуру
Для положительного целого n, (a+b)^n представляет собой конечное биномиальное разложение. Для нецелого n, раскройте (1+x)^n как 1+nx+n(n-1)x²/2+... при |x|<1. Вынесите константы за скобки перед использованием этой формы.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\cdots$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Для (1+x)^(-1), первые три члена равны 1-x+x²; при x=0.1 это дает 0.91 против точного значения 1/1.1≈0.909091.
Проверьте соблазнительное упрощение
Разложение по ⟨2⟩x требует выполнения условия |2x|<1 для бесконечного ряда, а не просто |x|<1. Разложения с положительными целыми степенями конечны и не имеют этого ограничения сходимости.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждое разложение бинома является конечным многочленом, включая степени, не являющиеся положительными целыми числами. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Указывайте область применимости вместе с приближением. Сохраните достаточное количество членов для обеспечения требуемой точности и различайте коэффициент и весь член, содержащий x.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Число способов выбрать заданное количество объектов из множества. Установите связь, покажите метод, проверьте допущения и интерпретируйте результат.
1.8
Ряды, конечные разности и разложения Тейлора
Может ли многочлен заменить экспоненту вблизи?
Вблизи известной точки сложную функцию можно заменить полиномиальным приближением. Для этого приближения необходим центр и допустимый масштаб.
Эта тема изучает полином Тейлора: многочлен, составленный из производных функции в выбранном центре.
Выберите математическую структуру
В окрестности x=a: f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... при условии, что разложение справедливо. При a=0 это разложение Маклорена. Конечные суммы также могут упрощаться за счет сокращения или использования формул стандартных сумм.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Первые три члена e^x равны 1+x+x²/2. При x=0.1 это дает 1.105, что близко к e^0.1≈1.105170. Для суммы k² от k=1 до 5, выражение n(n+1)(2n+1)/6 дает 5×6×11/6=55.
Проверьте соблазнительное упрощение
Факториал должен находиться в знаменателе каждого коэффициента Тейлора. Центр разложения не всегда равен нулю. Приближение, точное вблизи центра, может быть неточным далеко от него.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Многочлен Тейлора всегда точно совпадает с исходной функцией при любом значении аргумента. Это утверждение неверно. Объясните, какому определению или предпосылке оно противоречит.
Интерпретируйте новую ситуацию
Для телескопического ряда запишите несколько членов и определите оба оставшихся края. Для приближения Тейлора укажите его порядок и сравните с известным значением или оценкой остатка, где это требуется.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Многочлен, составленный из производных функции в выбранной точке. Установите связь, покажите метод, проверьте предпосылки и интерпретируйте результат.
Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
Область определения, обратные функции и композиция
Какие значения допустимы?
Модель квадратного корня возвращает действительный результат только для некоторых входных значений. Сама формула не определяет полную функцию.
В этом уроке изучается область определения: множество допустимых входных значений функции.
Выберите математическую структуру
Укажите область определения и область значений. Для обратной функции сначала убедитесь, что функция является взаимно однозначной на своей области определения. Композиция fg означает применение g первым, затем f; промежуточный выход должен быть допустимым входом для f.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для f(x)=√(x-2), x≥2 и область значений y≥0. Из y=√(x-2) следует x=y²+2. Таким образом, обратная функция f(x)=x²+2 при x≥0. Для g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Проверьте соблазнительное упрощение
Возведение в квадрат может порождать посторонние решения. Ограничение области определения параболы необходимо перед утверждением существования обратной функции. Горизонтальный сдвиг внутри f имеет противоположный знак движению графика.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждая квадратичная функция на множестве всех действительных чисел имеет обратную функцию. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Проверьте f(f inverse(x))=x на области определения обратной функции. Используйте эскиз, чтобы проверить, пересекает ли горизонтальная линия исходный график более одного раза.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Множество допустимых входных значений функции. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
2.3
Экспоненциальные функции, логарифмы и моделирование
Почему модель убывания остаётся положительной?
Концентрация лекарства уменьшается на одинаковый процент каждый час. Постоянное вычитание со временем привело бы к отрицательному значению.
В этом уроке изучается период полураспада: время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения.
Выберите математическую структуру
Для y=Ae^(kt), k — пропорциональная скорость. Логарифмирование дает ln y=ln A+kt. Логарифмы требуют положительных аргументов, и log(x+y) не равно log x+log y.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Если y=80e^(-0.2t), то при y=40 получаем e^(-0.2t)=1/2. Отсюда t=ln2/0.2≈3.466. Для 3^x=20, x=ln20/ln3. Построение графика зависимости ln y от t линеаризует эту экспоненциальную модель.
Проверьте соблазнительное упрощение
Подогнанная экспонента — это модель, а не гарантия. Укажите единицы времени и диапазон применения. Отрицательное k описывает убывание; отрицательное начальное значение обычно противоречит контексту задачи.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Для положительных x и y: ln(x+y)=ln x+ln y. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Сравните фактические наблюдения с моделью. Систематические отклонения могут указывать на изменяющиеся условия. В отчете объясните физический смысл скорости и начального значения, а не просто приводите уравнение.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и проинтерпретируйте результат.
Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
У модели длины составляют одну треть от реального объекта. Во сколько раз меньше его площадь и объем?
Этот урок посвящен коэффициенту масштабирования: множителю, связывающему соответствующие длины в подобных фигурах.
Выберите математическую структуру
Для подобных фигур с коэффициентом подобия длин k площади масштабируются как k², а объёмы — как k³. Явно укажите причины равенства углов. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Если коэффициент отношения модельной длины к реальной равен 3, то модельная площадь 12 см² соответствует реальной площади 12×3²=108 см², а модельный объём 8 см³ соответствует реальному объёму 8×3³=216 см³. Цилиндр с r=3, h=5 имеет объём πr²h=45π.
Проверьте соблазнительное упрощение
Равенство углов само по себе устанавливает подобие, но не равенство размера. Используйте соответственные длины в том же порядке. Преобразуйте линейные единицы перед вычислением площади или объема, либо правильно возведите коэффициент преобразования в квадрат или куб.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Удвоение каждой длины твёрдого тела удваивает его объём. Это утверждение ложно. Объясните, какому определению или предпосылке оно противоречит.
Интерпретируйте новую ситуацию
Геометрическое доказательство должно называть соответствующую теорему, указывать равные углы или соотношения сторон и делать вывод. Масштабный чертёж является доказательством только тогда, когда задание допускает измерения.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Множитель, связывающий соответствующие длины в подобных фигурах. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
3.3
Прямоугольные треугольники и треугольники общего вида
Какую сторону нужен для лестницы?
Лестница достигает высоты 4 м, а её основание находится на расстоянии 3 м от стены. Какие стороны известны, и какой угол нам нужен?
Этот урок посвящён гипотенузе: стороне, лежащей напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике.
Выберите математическую структуру
В прямоугольном треугольнике a²+b²=c²; sinθ=противолежащая/гипотенуза, cosθ=прилежащая/гипотенуза и tanθ=противолежащая/прилежащая. Для других треугольников используйте теорему синусов или косинусов, либо площадь=ab sin C/2.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Длина лестницы c=√(3²+4²)=5 м. Её угол с землёй удовлетворяет условию tanθ=4/3, следовательно θ≈53.1°. При наличии двух сторон 6 и 8, охватывающих угол 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.
Проверьте соблазнительное упрощение
Подпишите стороны относительно выбранного угла. Теорема Пифагора требует наличия прямого угла. Ошибка в режиме углов калькулятора может дать правдоподобный, но неверный результат. Сохраняйте нерасчётные значения для дальнейших шагов.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Теорема Пифагора применима к любому треугольнику, включая треугольники без прямого угла. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Используйте план или вид спереди для трёхмерной задачи перед применением правила треугольника. Объясните, почему выбранный треугольник содержит требуемую длину или угол.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Сторона, лежащая напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
3.4
Радианы, тождества и тригонометрические уравнения
Какое расстояние проходит обод?
Вращающееся колесо описывает дугу. Радианы позволяют напрямую связать угол с пройденным расстоянием по ободу.
Этот урок посвящён радиану: углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу.
Выберите математическую структуру
Для θ в радианах длина дуги s=rθ, а площадь сектора A=r²θ/2. Используйте sin²θ+cos²θ=1 и тригонометрические тождества для упрощения или решения. Перечислите все решения в указанном интервале.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для r=4 и θ=π/3, s=4π/3 и A=8π/3. Решая sin x=1/2 на 0≤x<2π, получаем x=π/6 и 5π/6. Для sin2x=1/2, решите сначала на 0≤2x<4π, прежде чем делить на 2.
Проверьте соблазнительное упрощение
Обратный синус калькулятора выдает одно главное значение. Он не дает всех решений. Деление на sin x может привести к потере решений, где sin x=0; проверьте этот случай отдельно.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Главное значение обратного синуса всегда является единственным решением за полный оборот. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Выберите тождество, которое сводит уравнение к одной тригонометрической функции. Сохраняйте точные табличные углы по возможности и проверяйте каждое решение против исходного уравнения.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и проинтерпретируйте результат.
3.5
Векторы и преобразовательная геометрия
Почему перемещение короче пути?
Проходя 4 м на восток и 3 м на север, получаем вектор перемещения 5 м, хотя пройденный путь составляет 7 м.
Этот урок посвящён равнодействующей: векторной сумме, представляющей суммарное перемещение или силу.
Выберите математическую структуру
Добавьте соответствующие векторные компоненты. Перемещение из A в B равно OB-OA. Параллельные векторы являются скалярными кратными. Вектор имеет величину и направление; расстояние — скалярная величина.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
При a=(4,1) и b=(1,3), a+b=(5,4). Их скалярное произведение равно a·b=4×1+1×3=7. Величина (модуль) вектора a равна √17. Для A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) и |AB|=5.
Проверьте соблазнительное упрощение
Порядок вычитания важен: BA=-AB. Доказательство параллельности требует наличия соотношения скалярного кратного; одного рисунка недостаточно. Отрицательное подобие отражает фигуру относительно центра подобия.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Векторы AB и BA всегда имеют одинаковые компоненты. Это утверждение ложно. Укажите, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
При параллельном переносе каждая точка использует одно и то же перемещение. Для сложных задач прямых различайте радиус-вектор и вектор направления, а также решайте параметрические уравнения последовательно.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Векторная сумма, представляющая суммарное перемещение или силу. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
Может ли одно среднее значение раскрыть всю картину?
Две группы имеют одинаковую медиану, но разный разброс. Одного сводного показателя недостаточно для описания как положения, так и стабильности.
На этом уроке изучается плотность частоты: частота, делённая на ширину класса, используется как высота гистограммы.
Выберите математическую структуру
Сравните подходящее среднее значение и разброс в контексте. Гистограмма использует площадь для отображения частоты, поэтому высота = частота / ширина класса. Оценки для группированных данных предполагают использование репрезентативных значений внутри интервалов.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Класс от 10 до 20 с частотой 30 имеет плотность 30/10=3. Класс от 20 до 40 с частотой 20 имеет плотность 20/20=1. Его более широкая полоса не должна восприниматься как большая плотность. Для значений 2,4,4,6,9 медиана равна 4, а среднее равно 5.
Проверьте соблазнительное упрощение
Самая высокая полоса гистограммы не обязательно содержит наибольшее количество наблюдений. Среднее значение для группированных данных является оценкой. Корреляция не доказывает причинно-следственную связь, а экстраполяция выходит за рамки наблюдаемого диапазона.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Высота полосы гистограммы всегда равна её частоте, даже при неравных ширинах классов. Данное утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Выберите представление, соответствующее типу данных. Приведите численное сравнение и его значение для генеральной совокупности; не преувеличивайте точность выше той, которую поддерживает выборка.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Частота, делённая на ширину класса, используется как высота гистограммы. Выберите связь, покажите метод, проверьте её допущения и интерпретируйте результат.
4.3
Вероятность, деревья решений и условное рассуждение
Что меняется после первого извлечения?
В мешке находятся 3 красных и 2 синих фишек. Извлечение двух фишек без возвращения изменяет вероятность появления второго цвета.
Этот урок посвящен условной вероятности: вероятности события при ограничении выборочного пространства заданным условием.
Выберите математическую структуру
Перемножайте значения вдоль ветвей дерева и складывайте непересекающиеся ветви. При извлечении с возвращением состав остается неизменным. Условная вероятность P(A при B)=P(A∩B)/P(B), где P(B)>0.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Без возвращения P(два красных)=3/5×2/4=3/10. P(по одному каждого)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. Если P(A∩B)=0.12 и P(B)=0.3, то P(A при условии B)=0.4.
Проверьте соблазнительное упрощение
Несовместные события означают отсутствие пересечения; независимые события означают, что знание одного события не изменяет вероятность другого. Два непересекающихся события с положительной вероятностью не являются независимыми.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Несовместные события с положительными вероятностями должны быть независимыми. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Двусторонняя таблица делает знаменатель ограниченными видимым. Перед использованием произведения P(A)P(B) обоснуйте независимость исходя из контекста или предоставленной информации.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Вероятность события после ограничения выборочного пространства заданным условием. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и проинтерпретируйте результат.
4.4
Биномиальное, нормальное и пуассоновское распределения
Что делает подсчёт предсказуемым?
Контролер качества подсчитывает бракованные изделия. Это число является случайным, но модель может описать его вероятный диапазон.
Этот урок посвящён математическому ожиданию: среднему арифметическому случайной величины с учётом весов вероятности.
Выберите математическую структуру
Биномиальная модель требует фиксированного n, независимых испытаний, двух исходов и постоянной p. E(X)=np и Var(X)=np(1-p). Для нормального распределения используйте z=(x-μ)/σ. Модель Пуассона описывает количество событий при постоянной интенсивности и соблюдении соответствующих допущений о независимости.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для X биномиально распределенной(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 и Var(X)=0.8. Для нормальной величины с μ=100, σ=15 значение 130 имеет z=2. Среднее значение распределения Пуассона 3 в час дает среднее 6 за два часа.
Проверьте соблазнительное упрощение
Не каждое количество можно смоделировать биномиально: изменение p или зависимость могут сделать это неверным. Для непрерывной величины вероятность одного точного значения равна нулю. Поправка на непрерывность важна при аппроксимации дискретного распределения нормальным.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждое количество успехов имеет биномиальное распределение независимо от зависимости. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Запишите событие в виде неравенства перед использованием функций распределения калькулятора. Различайте P(X<k), P(X≤k) и дополняющий хвост. Указывайте допущения в контексте задачи.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Среднее арифметическое случайной величины с учётом весов вероятности. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
Кривая дорога имеет разные наклоны в разных точках. Средний градиент не может описать каждую точку.
Этот урок посвящен производной: мгновенной скорости изменения, а также градиенту касательной.
Выберите математическую структуру
Для y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Стационарная точка удовлетворяет условию dy/dx=0. Проверьте изменение знака производной или вторую производную, если она не равна нулю, чтобы классифицировать точку.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. При x=1, градиент равен 0, а y=-2. Вторая производная равна 6x, положительна при x=1, следовательно, это локальный минимум. При x=-1, y=2, а вторая производная отрицательна, что дает локальный максимум.
Проверьте соблазнительное упрощение
Нулевая производная не всегда означает максимум или минимум: y=x³ является стационарной при 0, но продолжает возрастать. Крайняя точка также может давать экстремальное значение на ограниченном множестве.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждая точка с нулевой производной является локальным максимумом или минимумом. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
На уровне GCSE/IGCSE используйте только полиномиальный диапазон, разрешенный для данного уровня; не добавляйте правила сложной функции, произведения или частного там. На продвинутом уровне связывайте производную со скоростями и оптимизацией с допустимой областью определения.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Мгновенная скорость изменения, а также градиент касательной. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
5.3
Интегралы, площадь и накопление
Какое изменение накопилось?
График скорости показывает движение в конкретный момент. Как восстановить перемещение, накопленное за время?
Этот урок посвящен первообразной: функции, производная которой равна заданному подынтегральному выражению.
Выберите математическую структуру
При n≠-1 интеграл от ax^n равен ax^(n+1)/(n+1)+C. Определенный интеграл — это знаковое накопление. Разбивайте на участки при смене знака, если требуется найти полную площадь или пройденное расстояние.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для v(t)=3t²-3 на промежутке 0≤t≤2, перемещение=[t³-3t]_0^2=2. Поскольку скорость меняет знак при t=1, путь=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Константы сокращаются только при вычислении определенного интеграла.
Проверьте соблазнительное упрощение
Интеграл от 1/x равен ln|x|+C, а не степенное правило с n=-1. Знаковая площадь может быть равна нулю, даже когда полная enclosed area положительна.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Определенный интеграл всегда равен полной площади над осью, даже если график пересекает ось. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Определите, что означает интеграл, и укажите правильные единицы измерения. Скорость, измеряемая в секунду, интегрируется до основной величины, а не до другой скорости. Продифференцируйте первообразную, чтобы проверить её.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Функция, производная которой равна заданному подынтегральному выражению. Выберите зависимость, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
5.4
Дифференцирование сложной функции, произведения, частного и неявная дифференциация
Изменяется ли внутреннее выражение тоже?
Кривая затрат представляет собой степень изменяющегося выражения. Дифференцирование внешней степени отдельно упускает скорость изменения её входного значения.
Этот урок посвящен правилу сложной функции: правилу, которое умножает внешнюю производную на внутреннюю производную для составной функции.
Выберите математическую структуру
Для y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Для uv, дифференцируйте как u prime v+uv prime. Для u/v, используйте (u prime v-uv prime)/v², где v≠0.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для y=(3x+1)^4, производная y'=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. При x=0 наклон равен 12. Для уравнения x²+y²=25 дифференцируем неявно: 2x+2y y'=0, откуда y'=-x/y при y≠0.
Проверьте соблазнительное упрощение
Производная произведения не равна произведению производных. В неявном дифференцировании каждая дифференцированная функция от y дает множитель dy/dx. Знаменатель частного возводится в квадрат.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Производная произведения u(x)v(x) всегда равна произведению u' на v'. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Выберите удобную форму перед дифференцированием: раскрытие скоб в коротком многочлене может быть проще. Для задач о связанных скоростях запишите соотношение в символах, продифференцируйте по времени, затем подставьте измеренные значения.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Правило, умножающее производную внешней функции на производную внутренней функции для сложной функции. Выберите зависимость, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
5.5
Метод подстановки, интегрирование по частям и разложение на простейшие дроби
Можно ли интегрировать два множителя отдельно?
Простой на вид продукт, такой как xe^x, нельзя проинтегрировать, интегрируя каждый множитель отдельно.
Этот урок посвящен интегрированию по частям: методу интегрирования, основанному на производной произведения.
Выберите математическую структуру
Используйте замену переменной, если внутренний множитель является производной. По частям: интеграл от u·v' = uv - интеграл от u'·v. Для рациональной функции сначала выполните деление (если нужно), затем разложите на простейшие дроби.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для интеграла ∫xe^x dx примите u=x и v'=e^x. Тогда интеграл равен xe^x-e^x+C. Для интеграла 2x/(x²+1) dx, сделайте подстановку w=x²+1, dw=2x dx; ответ: ln(x²+1)+C.
Проверьте соблазнительное упрощение
Правильный выбор u и v' важен: оставшийся интеграл должен стать проще. В определённом интеграле либо измените пределы интегрирования, либо вернитесь к переменной x перед применением исходных пределов.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Интеграл произведения равен произведению отдельных интегралов. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Проверьте дифференцированием. Для объемов тел вращения вокруг оси x используйте V=π ∫ y² dx; не путайте квадрат функции с интегралом от функции.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Метод интегрирования, основанный на производной произведения. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
5.6
Дифференциальные уравнения и численные решения
Что определяет начальное значение?
Скорость растущей популяции пропорциональна её текущему размеру. Уравнение скорости описывает целое семейство решений, пока не задано начальное значение популяции.
Этот урок изучает начальное условие: указанное значение, которое выбирает конкретное решение из семейства.
Выберите математическую структуру
Для dy/dx=ky разделим переменные: dy/y=k dx, получаем y=Ae^(kx). Используем начальное условие для нахождения A. Метод Эйлера вычисляет следующее значение как y_next=y+h f(x,y), с выбранным шагом h.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
При dy/dx=0.5y и y(0)=2 имеем y=2e^(0.5x). Метод Эйлена с h=0.2 дает y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 и y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. Точное второе значение составляет приблизительно 2.4428.
Проверьте соблазнительное упрощение
Начальное условие определяет константу интегрирования; оно не заменяет процесс интегрирования. Деление на y может упустить равновесное решение y=0. Точность метода Эйлера зависит от шага и самого уравнения.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждый шаг дает абсолютно ту же самую аппроксимацию методом Эйлена. Это утверждение неверно. Объясните, какому определению или предпосылке оно противоречит.
Интерпретируйте новую ситуацию
Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка объедините дополняющую функцию с подходящим частным интегралом, затем примените требуемые начальные условия. Это входит в программу Further Pure; проверьте соответствующий модуль.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Указанное значение, которое выбирает конкретное решение из семейства. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.
6
IA · Математическое исследование под руководством школы
Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
Студент хочет предсказать время ожидания в очереди в школьной столовой. Полезное исследование требует вопроса, данных и математики, которую студент может объяснить.
Этот урок изучает предположение: условие, принятое для возможности построения математической модели, влияние которого следует оценить.
Выберите математическую структуру
Сформулируйте конкретный вопрос с измеримыми переменными и осуществимым методом. Ведите датированный журнал решений, источников и математических рассуждений. Используйте технологии для поддержки анализа и объясняйте каждый важный результат своими словами.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$\widehat t=1+0.2n,\qquad e=t-\widehat t$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Пилот фиксирует среднее время ожидания 3,5,7 минут, когда перед ним 10,20,30 человек. Первая модель имеет вид t=1+0.2n. При n=25 она предсказывает 6 минут. Фактическое ожидание в 8 минут даёт остаток (residual) 2; следует исследовать изменение скорости обслуживания, а не скрывать расхождение.
Проверьте соблазнительное упрощение
Не копируйте пример исследования, не придумывайте данные и не создавайте фиктивное личное вовлечение. Прогноз становится доказательством только после сравнения с наблюдениями. При сборе школьных данных важно учитывать согласие участников и конфиденциальность.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Математическое исследование под руководством школы может быть заменено письменным тестом по времени. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Школа контролирует утверждение тем, контрольные точки, подлинность и оценку. Для текущего 2021 курса используйте руководство и критерии вашей школы; критерии inquiry 2029 относятся к другой версии оценки.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Условие, принятое для возможности построения математической модели, эффект которого следует оценить. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
