Практические навыки в физике II

Два студента измеряют одни и те же затухающие маятники. Один записывает амплитуды; другой записывает амплитуды, обрабатывает их с помощью логарифмов, строит одну прямую линию и снимает значения постоянной затухания и начальной амплитуды. Второй студент превратил сырые показания в результат. Единица 6 проверяет именно этот шаг.

Практические навыки в физике II WPH16 — письменный экзамен по экспериментам, с которыми вы познакомились при изучении единиц 4 и 5: газовые законы, конденсаторы, затухающие колебания, радиоактивный распад, интенсивность света. Он длится 80 минут и содержит 50 баллов. Все вопросы обязательны, и как минимум 20 баллов требуют математики уровня 2. Письменное руководство поддерживает реальную лабораторную работу; оно не заменяет самостоятельное проведение экспериментов.

Четыре листа навыков следуют структуре самого экзамена: планирование исследования, его выполнение и оценка измерений, а затем обработка данных с учётом погрешностей и построение графиков.

"Валидное измерение" по-прежнему означает измерение того, что вы намеревались измерить. На уровне A2 план предъявляет дополнительное требование: решить, как будут обработаны данные, до написания методики. График, который вы намерены построить, определяет количество необходимых показаний и места их снятия.

Выберите график до написания методики

Предположим, вам нужно проверить предполагаемую зависимость. Работайте в обратном направлении:

• Запишите модель, например $P = kX^4$ или $A = A_0\mathrm{e}^{-\lambda n}$.
• Преобразуйте её в форму прямой линии $y = mx + c$. Этот шаг называется линеаризацией: выберите такой вид графика, как зависимость $P$ от $X^4$, $\ln A$ от $n$ или $\lg P$ от $\lg X$.
• Укажите, что доказывает график: прямая линия через начало координат для $P$ против $X^4$ или угловой коэффициент $4$ на логарифмическом графике $\lg P$ против $\lg X$.
• Затем выберите показания: как минимум пять хорошо распределённых значений изменяемой величины.

План без графика — это незавершённый план. В вопросах экзамена по схеме действий на 6 баллов от вас ожидают наличия графика в ответе.

Разбор примера планирования: абсолютный ноль из газового баллона

Баллон с постоянным объёмом воздуха оснащён манометром и термометром. Опишите, как оценить абсолютный ноль.

• Известная цель: давление фиксированной массы газа линейно убывает с температурой и достигает нуля при абсолютном нуле. Почему этот метод: точку нулевого давления невозможно достичь в водяных банях, но прямую линию можно продолжить до неё.
• Используйте стакан с водой и льдом для $0\ ^\circ\mathrm{C}$ и нагревательную плиту (или горелку Бунзена) для повышения температуры до кипения. Перемешивайте воду, чтобы она имела единую температуру.
• Поместите термометр рядом с баллоном, со стороны, противоположной нагревателю, и снимайте показания перпендикулярно шкале.
• Записывайте парные значения давления и температуры как минимум для пяти температур, разнесённых не более чем на $20\ ^\circ\mathrm{C}$ друг от друга. Это новые значения, а не повторения одного и того же режима.
• Постройте график зависимости давления от температуры в $^\circ$°C, проведите линию наилучшего соответствия и экстраполируйте её до $p = 0$. Пересечение с осью температуры оценивает $-273\ ^\circ$°C.

Результат экстраполяции зависит от fitted line (подогнанной линии), поэтому здесь разброс данных важнее, чем при одиночном измерении. Такую цену приходится платить за значение, которое нельзя измерить напрямую.

Разбор примера планирования: проверка степенного закона

Световой датчик на фиксированном расстоянии от нити лампы показывает $X$; электрическая мощность предположительно следует закону $P = kX^4$.

• Контролируйте всё остальное, что может измениться $X$: зафиксируйте расстояние и выравнивание между лампой и датчиком, проводите опыт в затемнённом помещении, чтобы фоновое освещение не добавлялось к показаниям.
• Измерьте ток $I$ и напряжение $V$ на каждом режиме, а также вычислите $P = IV$.
• Возьмите как минимум пять режимов, меняя ток, затем выберите один из двух графиков:

• График зависимости $\lg P$ от $\lg X$ должен быть прямым с угловым коэффициентом $4$. График зависимости $P$ от $X^4$ должен проходить через начало координат. Оба варианта отвечают на вопрос; укажите ожидаемый угловой коэффициент или начало координат, когда заявляете о проверке.

Собственный пример из спецификации — это газ: постройте соответствующий логарифмический график зависимости давления от объёма для фиксированной массы при постоянной температуре. Логарифмические графики используются не только для экспоненциального затухания.

Цепи для измерения величин, необходимых в исследовании

Для исследования компонента необходимы оба прибора, подключённые правильно:

• амперметр последовательно с компонентом, чтобы через него протекал тот же ток;
• вольтметр параллельно исследуемому компоненту только, чтобы он измерял разность потенциалов именно на этом компоненте;
• способ изменения тока: переменный резистор или потенциометр, включённый последовательно с постоянным источником питания.

Если вольтметр охватывает два компонента, показания перестают относиться к тому объекту, который вы исследуете. При переключении заряженного конденсатора на новую цепь с помощью двухпозиционного ключа подключите вольтметр только к тому конденсатору, который указан в задаче, а второй конденсатор соедините параллельно с ним.

Электролитические конденсаторы требуют соблюдения дополнительных правил безопасности: подключайте их с соблюдением полярности, не превышайте рабочее напряжение источника и обязательно разряжайте конденсатор перед манипуляциями с ним.

Датчики данных и меры безопасности с обоснованием

Датчик данных с зондами фиксирует пары показаний одновременно, устраняет параллакс при снятии отсчётов со шкалы, а его зонды обычно имеют лучшее разрешение, чем жидкостные термометры. Укажите, какое из этих изменений улучшает точность измерения; формулировка «более точно» без указания механизма не является ответом.

Ответы по технике безопасности следуют тому же правилу: назовите опасность и действие. Горячая вода и погружные нагреватели вызывают ожоги — перемещайте стеклянную посуду щипцами или жаропрочными перчатками, закрепите нагреватель так, чтобы его провода не опрокинули стакан. Отключайте питание перед снятием любого электрического оборудования.

Записывайте то, что можно реально оценить

Затухающий маятник проходит мимо линейки, и его точки поворота смещаются быстро. Оценка амплитуды до ближайшего $1\ \text{mm}$ требует точности, которую глаз обеспечить не может, особенно если смотреть на шкалу под углом или если груз находится далеко от линейки. Запись с точностью до ближайшего $5\ \text{mm}$ соответствует тому, что можно честно оценить визуально.

Это навык двусторонний: критиковать слишком мелкое разрешение записи и обосновывать грубое разрешение тем, почему оно уместно.

Измерение времени колебаний

Измерьте время для многих колебаний, затем разделите. Неопределённость реакции практически одинакова как при измерении одного swinging, так и десяти, поэтому большее измеренное время даёт меньшую относительную неопределённость периода.

Два метода заслуживают баллов сами по себе:

• установите временную метку в центре колебаний и фиксируйте моменты её прохождения, так как масса движется там быстрее всего, и момент прохождения наиболее отчетлив;
• запускайте секундомер только после нескольких колебаний, когда движение стабилизируется, и используйте малое начальное смещение.

Для самого периода записывайте повторения общего времени, находите среднее значение и только затем делите на количество колебаний.

Инструменты для измерения длины на A2

Техники Единицы 3 по-прежнему приносят баллы, теперь с обоснованием:

• измеряйте пружину или диаметр цилиндра штангенциркулем в нескольких направлениях вокруг витка или поперечного сечения и усредняйте, потому что реальный объект не идеально круглый (это снижает случайную ошибку);
• проверяйте нулевое показание со сомкнутыми губками и вычитайте нулевую погрешность, потому что она смещает каждое показание одинаково (это устраняет систематическую ошибку);
• используйте трещотку микрометра, чтобы губки сжимались с одинаковым усилием каждый раз.

Обоснование инструмента должно быть количественным: микrometer имеет разрешение $0.01\ \text{mm}$, поэтому погрешность одного перемещения $1.21\ \text{mm}$ составляет $0.005\ \text{mm}$. Его процентная погрешность равна:

Малая процентная погрешность является обоснованием; фраза «он точный» — нет.

Критика таблиц и графиков

Для таблицы результатов проверьте:

• значащие цифры: исходные показания используют то же количество знаков после запятой, что и разрешение прибора; обработанные значения для построения графика обычно имеют $3$ значащих цифр. Столбец, смешивающий $5.1$ и $5.143$, содержит ошибку, которую следует указать.
• единицы измерения: каждая заголовок столбца содержит свою единицу, но только один раз, в заголовке.
• значения, выбивающиеся из общей закономерности, определяемой как по графику, так и по таблице.

Для построенного графика чек-лист экзаменатора краток:

• достаточное количество точек данных, распределенных более чем на половину каждой оси, на шкалах, которые не сложны для чтения (кратные $3$ или $7$ трудно считывать);
• точки нанесены с точностью до $1\ \text{mm}$ (половины маленькой клетки);
• тонкая непрерывная линия тренда, балансирующая разброс точек;
• действительно ли точки поддерживают линейную зависимость.

Анализируя график, не перечисляйте всё, что о нём знаете. Укажите на конкретный недостаток: пять точек, скопленных в четверти сетки, или плавная кривая, изображённая как прямая линия.

Единица 6 ожидает накопленных неопределённостей, которых единица 3 не требовала. Правила содержатся в Приложении 10 спецификации.

Базовые элементы

Одна отсчёт имеет неопределённость, равную половине разрешения прибора. Повторные отсчёты имеют неопределённость, равную половине размаха (отсчёт, наиболее удалённый от среднего, является допустимой альтернативой). Процентная неопределённость рассчитывается так:

Указывайте процентные неопределённости с точностью до одной или двух значащих цифр. Уменьшение или увеличение измеренной величины вдвое не изменяет её процентную неопределённость, поэтому для расчётов используются проценты, а не абсолютные значения.

Три правила накопления

1. Степень умножает процентную неопределённость. Если $A = \pi r^2$ и $r$ имеют неопределённость $0.6\%$, то $A$ имеет неопределённость $2\times0.6\% = 1.2\%$. Диаметр и радиус имеют одинаковую процентную неопределённость.
2. Произведения и частные складывают относительные (процентные) погрешности. Плотность $\rho = m/l^3$, рассчитанная по данным $m$ с погрешностью $0.1\%$ и данным $l$ с погрешностью $2.1\%$, даёт результат $3\times2.1\%+0.1\% = 6.4\%$.
3. Суммы и разности складывают абсолютные погрешности. Вычитание двух высот, измеренных с погрешностью $\pm0.5\ \text{mm}$ каждая, даёт погрешность $\Delta h = \pm1\ \text{mm}$, хотя сами высоты составляют несколько сотен миллиметров.

Третье правило объясняет, почему разности подобных величин имеют большую относительную погрешность; оно дополняет первые два правила: относительная погрешность $D^2/(2d^2)$ равна $2\times\%U(D) + 2\times\%U(d)$.

Разобранный пример: измерение g на наклонной плоскости

Сфера скатывается на расстояние $s$ по наклонной плоскости с разницей высот $\Delta h$ за время $t$, где:

• Дано: $s = 90.0\ \text{cm}\pm0.1\ \text{cm}$, $\Delta h = 21\ \text{mm}\pm1\ \text{mm}$, $t = 3.36\ \text{s}\pm0.03\ \text{s}$. Почему эти правила: $s$ и $t$ возведены в квадрат (степень), а величины перемножаются и делятся.

Каждый вклад в процентную неопределённость:

Накопление неопределённостей также помогает найти источник ошибки: наибольшее значение указывает на измерение, которое нужно уточнить в первую очередь.

Использование неопределённости в выводе

Зная процентную неопределённость, преобразуйте результат в интервал и сравните:

Принятое значение $9.81\ \text{m s}^{-2}$ находится внутри интервала, поэтому результат измерения соответствует заявленной точности.

При отсутствии неопределённости для измеренного значения сравнивайте проценты: процентное расхождение ниже $5\%$ указывает на точный результат:

Оба вывода заканчиваются предложением, указывающим, что подтверждает доказательство. Значение $\nu = 0.276\pm6\%$ охватывает диапазон от $0.259$ до $0.293$; табличное значение $0.265$ для стали попадает в этот интервал, поэтому пружина может быть стальной. Это честная сила утверждения — интервал не доказывает, что она стальная, но лишь исключает невозможность этого.

Прямое преобразование экспоненциальной зависимости через ln

Амплитуда затухающего маятника следует уравнению $A = A_0\mathrm{e}^{-\lambda n}$, где $n$ — число колебаний. Возьмите натуральный логарифм обеих частей:

Сравните это с уравнением $y = c + mx$: график зависимости $\ln A$ от $n$ является прямой линией с угловым коэффициентом $-\lambda$ и свободным членом $\ln A_0$. Знак минус относится к физике процесса — амплитуда убывает, поэтому линия идёт вниз.

Разобранный пример. Свободный член равен $2.295$, а угловой коэффициент равен $-0.0355$.

• Дано: свободный член $=\ln A_0$, угловой коэффициент $=-\lambda$. Почему: $A$ измерялся в сантиметрах, поэтому на график строился $\ln(A/\text{cm})$.

У $\lambda$ нет единицы измерения, потому что $n$ — это количество. Если бы $n$ было временем в секундах, то $\lambda$ имело бы размерность $\text{s}^{-1}$.

Дисциплина вычислений: вычисляйте $\ln$ каждого значения с одинаковым количеством $3$ знаков после запятой, подписывайте ось точным названием логарифмируемой величины — $\ln(A/\text{cm})$, а не «$\ln A$» с приписанной единицей измерения — и определяйте угловой коэффициент по большому треугольнику, охватывающему более половины построенной линии, используя точки на самой линии, а не экспериментальные данные.

Когда свободный член является экстраполяцией

Значение $A_0$ находится в точке $n = 0$, где данных может не быть, если первое измерение было сделано при $n = 5$. Тогда свободный член надёжен только насколько хорошо подобрана прямая линия.

• сильное рассеивание точек делает положение最佳-подгонной линии неопределённым, смещая свободный член;
• систематическая ошибка в амплитуде смещает всю прямую линию;
• первые колебания маятника могут не соответствовать модели (большой начальный угол увеличивает период и искажает ранние амплитуды).

Фраза «Экстраполяция за пределы данных предполагает сохранение справедливости модели» — именно это предложение обеспечивает получение балла. Укажите, какое из перечисленных условий применимо к вашему эксперименту.

Использование подогнанной прямой для прогнозирования

Подогнанная зависимость отвечает на вопросы, которые не может решить сырая таблица. Если $\ln V = \ln A - Bw$ для света, проходящего через стекло, а прямая даёт $B = 0.0104\ \text{mm}^{-1}$, то толщина $w$, необходимая для уменьшения показания до $75\%$, определяется без повторного использования установки:

При пластинках по $1.22\ \text{mm}$ каждая, то есть $27.7/1.22 = 22.7$, требуется $23$ пластинок — округление вверх, потому что $22$ пластинок не обеспечит требуемое затемнение. Вопросы о прогнозах проверяют направление окончательного округления так же сильно, как и алгебру.

Прямое восстановление степенной зависимости с помощью lg

Для $y = kx^n$ применение логарифмов по основанию 10 даёт:

График зависимости $\lg y$ от $\lg x$ представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом $n$ и точкой пересечения с осью ординат $\lg k$. Используйте его, когда ни одна степень $x$ не подходит для удобной линейной оси, и сохраняйте основание одинаковым: $\lg$ для графика степенной зависимости, $\ln$ для экспоненциальной. Оба метода применяются к числу после вычисления единицы измерения, поэтому метка оси — $\lg(P/\text{W})$, никогда не $\lg P$ с приписанными ваттами.

Прежде чем приступить к вопросу Единицы 6, убедитесь, что вы можете:

• выбрать график обработки первым и написать метод, который её использует;
• спланировать экстраполяцию с её контрольными переменными, мерами безопасности и планом снятия показаний;
• правильно разместить оба прибора и изменять ток в исследовании компонента;
• обосновать выбор инструмента или разрешение записи процентной неопределённостью;
• измерять колебания и критически оценивать таблицы и графики по проверочному списку экзаменатора;
• комбинировать неопределённости для степеней, произведений и разностей, а также называть доминирующий член;
• преобразовать результат в интервал и честно указать, что он подтверждает;
• линеаризовать экспоненту с помощью $\ln$ и степенную зависимость с помощью $\lg$, а также перевести угловой коэффициент и точку пересечения обратно в физические величины;
• правильно округлить прогноз и сказать, когда экстраполяция заслуживает доверия.