От ледяного блока до звезды
Ледяной блок, качающийся мост и далекая звезда связаны с энергией. Этот раздел объединяет молекулярное движение, ядерные изменения, колебания и астрономические наблюдения. Задача часто состоит не просто в вычислении числа, а в проверке утверждения: укажите модель, ведите единицы через расчет, затем сравните результат с утверждением.
WPH15 охватывает утверждения 125–171 выпуска Pearson Issue 3. Также используются блоки 1, 2 и 4. Проработайте листы 5.1–5.9 перед соответствующими им подлинными наборами. Используйте поставленные константы последовательно: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ и $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$, если вопрос не указывает иное локальное значение. Здесь $k_B$ — постоянная Больцмана; $k_s$ обозначает жесткость пружины.
Нагрев, фазовые переходы и калибровка термистора
Следите за энергией, а не только за температурой
Внутренняя энергия — это полная энергия хаотического движения и взаимодействия молекул: случайная кинетическая энергия плюс межмолекулярная потенциальная энергия. Она не включает кинетическую энергию всего тела при его совместном движении. Температура связана со средней случайной кинетической энергией молекул, а не с общей внутренней энергией. Два образца при одинаковой температуре могут иметь разную внутреннюю энергию из-за различий в их количестве и агрегатном состоянии.
Удельная теплоёмкость $c$ — это количество энергии, необходимое для нагревания одного килограмма вещества на один кельвин без изменения агрегатного состояния. Удельная теплота фазового перехода $L$ — это количество энергии, передаваемое на килограмм вещества во время определённого фазового перехода при постоянной температуре.
Разница температур в $1\ ^\circ\mathrm C$ равна разнице в $1\ \mathrm K$. Абсолютные температуры в законах газов и излучения должны быть выражены в кельвинах. При плавлении или кипении энергия изменяет молекулярную структуру и потенциальную энергию, в то время как температура остаётся постоянной при идеальном фазовом переходе при постоянном давлении. Ледяной пакет поглощает энергию от еды/окружения при таянии. Он не передаёт «энергию холода» в еду.
При постоянной мощности нагревателя более крутые графики зависимости температуры от времени указывают на меньшую $mc$, при условии, что тепловые потери незначительны. Горизонтальный участок не означает остановку теплопередачи. Для нагревателя подведённая энергия составляет $E_{\rm in}=Pt=VIt$; полезная тепловая энергия может быть меньше, так как часть энергии уходит в окружающую среду.
Пример решения. Кусок льда массой $0.40\ \mathrm{kg}$ при температуре $-10\ ^\circ\mathrm C$ превращается в воду при температуре $0\ ^\circ\mathrm C$. Используйте константы $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ и $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Известно: масса, начальная и конечная температуры, а также константы материала. Причина: нагрев твёрдого тела и его плавление — это отдельные процессы передачи энергии.
Пример решения. Нагреватель мощностью $1000\ \mathrm W$ испаряет массу $0.20\ \mathrm{kg}$ воды за время $600\ \mathrm s$. Найдите КПД, используя константу $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Для повторных циклов работы чайника рассчитайте общий объём воды, количество циклов и общее время работы. Сравните затраченную энергию за одинаковый интервал времени. Потери в режиме ожидания за сутки и энергия, необходимая для кипячения воды, — это разные величины; чётко формулируйте, какой именно результат устанавливается при данном сравнении.
CP12: калибровка термостата
Термистор — это резистор, сопротивление которого меняется в зависимости от температуры. Обычно используемый термистор с отрицательным температурным коэффициентом (NTC) уменьшает сопротивление при нагревании. В делителе напряжения:
Если термистор расположен как нижний резистор, а выходное напряжение снимается с него, то при нагреве выходное напряжение снижается. Обмен местами резисторов меняет эту тенденцию на обратную. Термостат переключается при заданном уровне выходного напряжения; сам по себе делитель напряжения не является полноценным переключающим устройством.
Для практической работы 12 поместите термистор и опорный термометр близко друг к другу в перемешиваемую водяную баню. Держите электрические контакты сухими и изолированными. При нескольких значениях температуры в пределах планируемого диапазона дождитесь теплового равновесия и запишите температуру и напряжение на делителе. Не изменяйте напряжение питания и сопротивление фиксированного резистора. Используйте вольтметр с высоким входным сопротивлением для снижения нагрузки. Постройте график зависимости выходного напряжения от температуры и интерполируйте значение напряжения для выбранной температуры переключения. Повторите измерения или сравните нагрев и охлаждение для выявления запаздывания. Не предполагайте линейную калибровку без доказательств. Используйте низкое напряжение и проявляйте осторожность с горячей водой.
CP13: измерение удельной теплоты фазового перехода
Подавайте известную электрическую мощность на вещество во время фазового перехода. Измерьте расплавленную или испарившуюся массу за определённый промежуток времени после стабилизации условий. Весы измеряют изменение массы; не путайте собранный объём жидкости с массой. Без учёта потерь формула $L=VIt/\Delta m$ предполагает, что вся подведённая энергия идёт на фазовый переход.
Полезная поправка заключается в сравнении двух мощностей при одной и той же температуре фазового перехода в установившемся режиме. Если мощность тепловых потерь примерно неизменна, вычитание двух результатов измерений позволяет исключить её влияние:
Укажите предположение о постоянной мощности потерь. Контрольное измерение плавления без нагревателя — ещё одна возможная поправка в подходящем эксперименте со льдом. Снизьте тепловые потери с помощью теплоизоляции там, где это безопасно; избегайте брызг, горячих поверхностей и ненадёжных подключений к сети.
Идеальные газы и молекулярная кинетическая энергия
Кельвин и модель идеального газа
Абсолютный ноль — это $0\ \mathrm K$, приблизительно $-273\ ^\circ\mathrm C$. Это нижний предел термодинамической температуры. В классической модели идеального газа средняя поступательная кинетическая энергия стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Реальные газы конденсируются до того, как достигается эта экстраполяция; не утверждайте, что молекулы в каждом реальном веществе теряют всю возможную энергию.
Абсолютная температура измеряется в кельвинах: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ с точностью, обычно используемой здесь. Идеальный газ состоит из частиц пренебрежимо малого объема, без межмолекулярных взаимодействий, кроме упругих столкновений, и хаотичного движения. Давление возникает за счет изменения импульса при ударах о стенки.
Здесь $N$ — число молекул, а не количество вещества (моль). Используйте давление в паскалях, объем в кубических метрах и температуру в кельвинах. При постоянном числе молекул:
При постоянном объеме давление пропорционально температуре в кельвинах. При постоянной температуре $pV$ остается неизменным. Учитывайте внешнее атмосферное давление, если манометр показывает избыточное давление относительно атмосферы.
Разобраный пример. Жесткий сосуд объемом $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ содержит газ при давлении $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ и температуре $300\ \mathrm K$. Найдите количество вещества $N$ и давление после нагрева до температуры $360\ \mathrm K$.
Если масса одной молекулы равна $m_0$, то общая масса газа составляет $Nm_0$. Для сферы сначала найдите объем $V=4\pi r^3/3$; радиус равен половине диаметра.
Выведите соотношение для энергии молекул
Соотношение давления кинетической теории имеет вид $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, где $\langle c^2\rangle$ — среднеквадратичная скорость. Оно выводится из упругого изменения импульса при ударах о стенку и равенства средней квадрата скорости в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Среднеквадратичная скорость равна $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; она не является квадратом средней скорости.
Для куба со стороной $l$ одна молекула с компонентой скорости $c_x$ меняет импульс стенки на величину $2m_0c_x$ при каждом упругом ударе. Время возвращения той же молекулы к этой стенке равно $2l/c_x$. Следовательно, её средняя сила равна $m_0c_x^2/l$. Суммируйте по всем молекулам и разделите на площадь стенки $l^2$:
Хаотичное движение одинаково распределено между перпендикулярными направлениями, поэтому $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Это дает вышеуказанное соотношение давления. Приравняйте два выражения для $pV$, сократите $N$ и преобразуйте:
При данной температуре различные виды газов имеют одинаковую среднюю поступательную кинетическую энергию, но более легкие молекулы обладают большей среднеквадратичной скоростью. Если скорость увеличивается вдвое при той же температуре, масса молекулы уменьшается в четыре раза. Нагрев увеличивает среднюю кинетическую энергию молекул, но не делает скорость каждой отдельной молекулы одинаковой.
CP14: давление и объем при постоянной температуре
Запертите фиксированное количество газа в шприце или калиброванном цилиндре, подключенном к датчику давления. Проверьте калибровку и используйте абсолютное давление. Учитывайте мертвый объем соединительных трубок, если он значителен. Изменяйте объем постепенно, ожидайте после каждого изменения восстановления температуры до комнатной, затем запишите несколько пар значений «давление–объем». Не допускайте утечки газа. График зависимости $p$ от $1/V$ должен быть прямой линией, проходящей через начало координат, с учетом погрешности. Кривая зависимости $p$ от $V$ прямой линией не является. Избегайте чрезмерного давления и обеспечьте надежное соединение. Быстрое сжатие нагревает газ и нарушает условие постоянной температуры.
Энергия связи, деление и синтез ядер
Дефект массы — это разность энергий
Ядро содержит $Z$ протонов и $A-Z$ нейтронов. Его масса меньше суммы масс этих свободных нуклонов. Этот дефект массы соответствует энергии связи, необходимой для полного расщепления ядра на свободные нуклоны:
Здесь $c_0$ — скорость света, которую следует отличать от удельной теплоемкости. Единица атомной массы равна $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Перед вычитанием переведите все массы в одну единицу измерения. Ядерные массы и массы нейтральных атомов не являются взаимозаменяемыми без учета электронов. Используйте именно те значения масс, которые указаны в задаче.
Разобраный пример. У ядра дефект массы равен $0.030\ \mathrm u$, а число нуклонов — $A=4$. Найдите энергию связи на один нуклон.
Почему синтез и деление могут выделять энергию
Кривая энергии связи на нуклон резко возрастает для лёгких ядер, достигает максимума вблизи железа/никеля, затем плавно убывает для тяжёлых ядер. Большая энергия связи на нуклон обычно означает более тугую связь нуклонов. При сравнении точек важно смотреть на вертикальное значение, а не только на массовое число.
Ядерный синтез объединяет лёгкие ядра. Ядерное деление расщепляет тяжёлое ядро на более мелкие продукты, часто с выделением нейтронов. Энергия выделяется, когда суммарная энергия связи продуктов больше, а суммарная масса покоя меньше, чем у исходных частиц. Для реакции вычисляйте разность полных масс, а не просто разницу между значениями энергии связи на нуклон. Полная энергия сохраняется.
Для синтеза требуется очень высокая температура, чтобы ядра имели достаточную кинетическую энергию для преодоления электростатического отталкивания, и высокая плотность/удержание, чтобы обеспечить достаточное количество столкновений и поддерживать выделение энергии. Температура и плотность играют разные роли. Простого упоминания «высокого давления» недостаточно для объяснения преодоления отталкивания.
Излучение, фон и распад
Выбор излучения по типу взаимодействия
Альфа-излучение состоит из ядер гелия: сильно ионизирующее, короткодействующее, останавливается листом бумаги или несколькими сантиметрами воздуха. Бета-излучение состоит из электронов или позитронов: менее ионизирующее, более проникающее, обычно останавливается несколькими миллиметрами алюминия. Гамма-излучение — это электромагнитное излучение: слабо ионизирующее и высокопроникающее; свинец или бетон снижают его интенсивность, но не создают чёткой предельной толщины остановки.
В облачной камере следы альфа-частиц толстые в основном из-за сильной ионизации и относительно прямые, так как частицы имеют большую массу по сравнению с бета-частицами. Следы бета-частиц тоньше и легче отклоняются. Не меняйте местами эти объяснения. Бета-излучение может использоваться для контроля толщины бумаги, поскольку часть проходит сквозь неё, а часть поглощается; изменение толщины меняет скорость передачи импульсов.
В ядерных уравнениях сохраняются число нуклонов и зарядовое число. Бета-минус распад превращает нейтрон в протон; массовое число остаётся прежним, а атомный номер увеличивается на единицу. Включайте антинейтрино там, где это необходимо, как в разделе 4:
Альфа-распад уменьшает $A$ на четыре и $Z$ на два. Гамма-излучение не изменяет ни $A$, ни $Z$. Ядерные уравнения сохраняют не только эти два числа: также важны энергия и импульс.
Правильный учёт фона перед применением модели
Фоновое излучение исходит от таких источников, как горные породы, космические лучи и окружающая среда. Измеряйте его достаточно долго при отсутствии исследуемого источника. Вычтите фоновую скорость счёта из каждого показания, включающего фон. Сохраняйте согласованность единиц времени счёта. Исправленная скорость счёта детектора пропорциональна активности источника только при неизменной геометрии и эффективности регистрации; она автоматически не является активностью в беккерелях.
Разобранный пример. Детектор показывает读数 $62\ \mathrm{min^{-1}}$ на расстоянии $r$, включая фоновый уровень $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Предскажите общую скорость счётчика на расстоянии $2r$ для малого изотропного гамма-источника с пренебрежимо малым поглощением.
Не делите фон на четыре: он не полностью исходит от исследуемого источника.
Случайные события, предсказуемые популяции
Радиоактивный распад спонтанен: нестабильное ядро распадается без внешнего триггера. Он случаен: точное время распада отдельного ядра предсказать невозможно. Большая популяция имеет предсказуемую статистическую закономерность распада. Активность $A$ — это число распадов в секунду, измеряется в беккерелях, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.
Постоянная распада $\lambda$ — это вероятность распада за единицу времени для ядра. Период полураспада $t_{1/2}$ — это время, за которое не распавшаяся популяция или активность в среднем уменьшается вдвое.
Через один период полураспада $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Логарифмирование даёт:
Логарифмическая зависимость активности от времени имеет наклон $-\lambda$. Берите логарифмы исправленных скоростей, а не показаний источник плюс фон. Прочитайте несколько интервалов периода полураспада с графика и усредните; измеряйте от уровня исправленной активности, а не от нуля общего количества импульсов.
Разбор примера. Источник имеет период полураспада $3.0\ \mathrm{years}$. Когда активность упадёт до $2.0\%$ от начального значения?
Используйте дробь, а не $2.0$ внутри логарифма. Если вычисляется мощность радиоактивного источника $P=A E_{\rm decay}$ с энергией на один распад в джоулях. Это выделяемая ядерная мощность; полезный электрический выход может быть меньше. Переведите период полураспада в секунды, когда активность должна быть выражена в беккерелях.
CP15: поглощение гамма-излучения свинцом
Удерживайте источник, поглотитель и детектор в фиксированных положениях. Измерьте фоновое излучение, затем количество импульсов за равные известные интервалы для нескольких общих толщин свинца. Повторите или увеличьте время подсчёта, так как количество импульсов колеблется. Вычтите фоновую скорость перед сравнением передачи. Если каждая равная толщина даёт одинаковое доля уменьшения, затухание является экспоненциальным; график логарифма скорректированной скорости от толщины примерно прямой. Три половины значений толщины передают $1/8$, а не $1/3$.
Постоянная поглощения материала — это не постоянная временного распада источника. Избегайте показаний, слишком близких к фону, где вычитание даёт большую относительную неопределённость. Обращайтесь с источниками с использованием указанных инструментов под надзором, соблюдайте дистанцию, минимизируйте время воздействия и возвращайте их в защитную оболочку. Никогда не касайтесь источника и не направляйте его на людей. Поддерживайте чистоту при работе со свинцом и мойте руки.
Простые гармонические колебания, графики и энергия
Условие восстанавливающей силы
Простые гармонические колебания (ШГК) возникают, когда результирующее ускорение пропорционально смещению от фиксированного положения равновесия и направлено к нему:
Знак минус указывает направление восстанавливающей силы. Постоянная скорость, само повторение или сила, просто направленная к центру, не определяют ШГК. Для вертикально подвешенной пружины измеряйте $x$ от положения равновесия под нагрузкой. Вес уже скомпенсирован там; результирующая сила для смещения составляет $-k_sx$.
Для освобождения из положительного максимального смещения в $t=0$:
Здесь $A_0$ — амплитуда, а не радиоактивная активность. Фаза зависит от выбранного начального момента времени; синусоидальное смещение может описывать то же движение с другим началом координат. Продифференцируйте графически: наклон графика смещение–время равен скорости, а наклон графика скорость–время равен ускорению. При максимальном смещении скорость равна нулю, а ускорение направлено обратно к положению равновесия. В положении равновесия скорость наибольшая, а ускорение равно нулю.
Разбор примера. График показывает амплитуду $0.030\ \mathrm m$ и период $0.50\ \mathrm s$. Найдите максимальную скорость и ускорение.
Альтернативно найдите максимальную скорость по касательной к графику смещения в точке равновесия. Переведите сантиметры в метры. Отрицательный прямой $a$–$x$ наклон равен $-\omega^2$, поэтому возьмите его отрицательное значение перед извлечением квадратного корня.
Периоды и энергия
Для массы на идеальной пружине и для математического маятника при малых углах:
Длина маятника — от точки подвеса до центра грузика. Период малых углов не зависит от массы грузика. Отношение периодов для одной неизменной пружины даёт $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Используйте общую новую массу перед нахождением добавленной массы.
Разбор примера. Масса $0.50\ \mathrm{kg}$ имеет период $0.80\ \mathrm s$. Добавленная масса увеличивает период до $1.00\ \mathrm s$ на той же пружине.
Для незатухающего пружинного осциллятора энергия перетекает между запасами упругой потенциальной и кинетической энергии:
Таким образом, график $E_k$–$x$ представляет собой перевернутую параболу: ноль при $\pm A_0$, положительный максимум при $x=0$. График $E_p$–$x$ открывается вверх. Их сумма постоянна в незатухающей модели. В затухающей системе энергия переносится наружу, поэтому амплитуда уменьшается. Полная энергия, включая окружающую среду, сохраняется.
CP16: определение неизвестной массы по резонансу
Используйте ту же пружину/опорную систему. Подвесьте несколько известных масс, приводите их в движение с малыми колебаниями и изменяйте частоту, чтобы найти наибольшую установившуюся амплитуду для каждой массы. Запишите резонансную частоту, медленно проходя вокруг каждого пика. При слабом затухании она приближается к собственной частоте. Постройте график $1/f^2$ от суммарной известной массы; модель пружины дает наклон градиента $4\pi^2/k_s$. Используйте калибровку для определения неизвестной массы по ее резонансной частоте.
Учитывайте подвес (держатель) и, где это существенно, эффективную движущуюся массу самой пружины. nonzero intercept может представлять этот вклад; не заставляйте линию проходить через начало координат без обоснования. Держите амплитуды малыми и ниже упругого предела. Надежно закрепите массы и стойку, держите ноги в стороне. Измерение свободных периодов может дать полезное независимое сравнение, но указанная практическая работа использует резонансные частоты.
Вынужденные колебания, резонанс и затухание
Свободные колебания следуют за начальным возмущением без продолжительного периодического возбуждения. Вынужденные колебания поддерживаются периодической вынуждающей силой; их установившаяся частота равна частоте возбуждения. Собственная частота — это частота свободных колебаний системы при stated условиях.
Резонанс возникает, когда частота возбуждения совпадает или близка к собственной частоте, что обеспечивает эффективный перенос энергии и большую установившуюся амплитуду. Это не означает «максимальную частоту». Для слабо затухающей системы пик амплитуды находится рядом с незатухающей собственной частотой. Увеличение затухания снижает и расширяет пик; не представляйте каждый затухающий пик как точно совпадающий с незатухающей собственной частотой.
Затухание отводит энергию от колебаний, например, через работу сопротивления, увеличивающую тепловую энергию демпферов и окружающей среды. Сильное затухание может уменьшить опасное движение мостов/зданий. Пластическая деформация пластичного материала также необратимо поглощает механическую энергию; чисто упругая деформация возвращает запасенную энергию и не является тем же механизмом.
Разбор решения. Люди, идущие по мосту, создают периодическую вынуждающую силу. Если её частота близка к собственной частоте, энергия эффективно передается мосту, и амплитуда увеличивается. Демпферы совершают работу против движения, переводя энергию колебаний в тепловые запасы, поэтому установившаяся амплитуда ограничена. Связывайте причину и следствие в этом порядке, а не перечисляйте «резонанс, энергия, затухание».
Для той же формы и амплитуды добавление массы к легкому маятнику увеличивает его запасенную механическую энергию, в то время как идеальный период при малых углах остается неизменным. При сопоставимых потерях на сопротивление он может терять меньшую долю энергии за цикл. Это контекстное сравнение затухания не доказывает, что каждый более тяжелый осциллятор всегда затухает медленнее.
Гравитационные поля и орбиты
Поле и потенциал имеют разные значения
Гравитационное поле — это область, где масса испытывает силу. Гравитационная напряженность поля $g=F/m$ — это сила на единицу пробной массы. Это вектор, направленный к изолированному источнику массы. Закон Ньютона для точечных масс, или вне сферически симметричного источника, гласит:
$r$ — это расстояние между центрами, а не высота над поверхностью. Для локального движения вблизи Земли постоянная $g$ может быть подходящей. На больших радиальных расстояниях она не является постоянной.
Гравитационный потенциал — это потенциальная энергия на единицу массы, с нулем на бесконечности:
Потенциал скалярен и отрицателен на конечном расстоянии. Движение наружу делает его менее отрицательным, поэтому потенциальная энергия увеличивается, пока притягивающая сила ослабевает. Значение на графике потенциала и соответствующий ему радиус дают $M=-Vr/G$.
Гравитационные и электрические поля оба являются радиальными для изолированных точечных источников, и их силы подчиняются законам обратных квадратов. Гравитация действует на массу и в этой модели является притягивающей. Электрическая сила действует на заряд и может притягивать или отталкивать. Направление электрического поля следует силе, действующей на положительную пробную массу; отрицательный заряд вынуждается противоположным образом.
Разобранный пример. Спутник $1000\ \mathrm{kg}$ движется от радиуса $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ до $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ вокруг Земли, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Найдите изменение его потенциальной энергии.
Положительный знак — конечное минус начальное. Это не полная энергия запуска, так как кинетическая энергия также может измениться. $mg\Delta h$ с постоянной поверхностной $g$ неподходящ на этом расстоянии.
Вывод круговой орбиты
Гравитационная сила обеспечивает результирующую силу, направленную к центру:
Масса спутника сокращается. Период возрастает с увеличением радиуса. Чтобы спутник оставался неподвижным над одной точкой вращающейся планеты, ему необходима круговая экваториальная орбита, совпадающее направление вращения и одинаковая угловая скорость/период. Совпадения периода недостаточно.
Разобранное решение. Для $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ и периода $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$ найдите радиус геостационарной орбиты.
Вычитайте радиус планеты только если требуется найти высоту над поверхностью. Для поля поверхности звезды используйте её радиус, а не указанный диаметр; проверяйте утверждения о поле, кратном земному, вычислением отношения.
Звёздное излучение, расстояния и эволюция
Температура, светимость и принимаемая интенсивность
Чёрное тело поглощает всё падающее электромагнитное излучение и является идеальным тепловым излучателем. Его непрерывный спектр имеет характерную форму. Увеличение температуры увеличивает полную излучаемую мощность на единицу площади и смещает пик длины волны в сторону более коротких длин волн. Площадь под кривой спектральной интенсивности представляет полную интенсивность только при соответствующем определении спектральной оси.
Светимость $L_\star$ — это полная излучаемая мощность. Интенсивность $I$, принимаемая на расстоянии $d$, — это мощность на единицу площади приёмника. Для сферического чёрного тела-звезды радиуса $R$, излучающего во всех направлениях одинаково:
Первая площадь — это поверхность излучения; вторая — расширяющаяся сфера приёмника. Не подставляйте расстояние наблюдателя в площадь поверхности звезды. Реальные излучатели могут быть не идеальными чёрными телами, а промежуточный материал может поглощать излучение.
Постоянная Вина, указанная в задаче, описывает спектр на единицу длины волны. Максимум спектра, построенного на единицу частоты, не превращается в максимум по длине волны простой заменой $\lambda$ на $c_0/f$. Если экзамен предоставляет частоту, соответствующую указанной пиковой длине волны, преобразуйте эту длину волны с помощью $c_0=f\lambda$. Не превращайте эту конкретную задачу в общее правило для любого спектрального графика.
Разобранное решение. Спектр длины волны звезды имеет максимум при $580\ \mathrm{nm}$, а её радиус равен $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Найдите температуру, светимость и интенсивность на расстоянии $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.
Сохраняйте неточенную температуру, так как она возводится в четвёртую степень. Сравните принимаемую интенсивность с указанным эталоном перед принятием утверждений о температуре планеты или мощности.
Два метода определения расстояний
Тригонометрический параллакс измеряет кажущееся угловое смещение близкой звезды на фоне далёких звёзд при движении Земли вокруг Солнца. Наблюдения через шесть месяцев используют базу в два радиуса земной орбиты. Угол параллакса $p$ составляет половину общего смещения. Для малых $p$ в радианах расстояние равно $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Парсек — это расстояние, дающее параллакс $1$ угловой секунды; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Не используйте диаметр Земли или Солнца в качестве орбитальной базы.
На больших расстояниях $p$ становится слишком малым для точного измерения прибором. Ограничение связано с угловым разрешением/относительной неопределённостью, а не обязательно с тем, что звезда невидима.
Стандартная свеча — объект известной светимости. Определите одну в скоплении, измерьте принимаемую интенсивность и используйте $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Её видимая яркость не предполагается известной заранее. Цефеиды-переменные имеют откалиброванную зависимость между периодом и светимостью. Измерьте несколько полных периодов светового кривой, разделите их количество, внимательно прочитайте калибровку и переведите любые единицы солнечной светимости. Прямая линия на логарифмических осях не является автоматически линейной зависимостью между исходными величинами.
Разобранное решение. Стандартная свеча имеет светимость $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ и принимаемую интенсивность $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.
Чтение диаграммы Герцшпрунга–Рассела
Диаграмма Герцшпрунга–Расселла показывает светимость по вертикали и температуру поверхности по горизонтали, обычно с убывающей температурой вправо и логарифмическими шкалами. Главная последовательность простирается от горячих, ярких звёзд в верхнем левом углу до холодных, тусклых звёзд в нижнем правом. Красные гиганты — холодные, но яркие из-за большой площади поверхности. Белые карлики — горячие, но тусклые из-за малой площади поверхности. Отметьте Солнце рядом со значением одной солнечной светимости и примерно $5800\ \mathrm K$ на главной последовательности.
Звёзды образуются, когда гравитация сжимает облако газа и пыли. Ядро нагревается, пока термоядерный синтез водорода не начнёт поддерживать главную последовательность; outward давление уравновешивает гравитацию. В звезде, подобной Солнцу, водород в ядре со временем истощается, синтез там замедляется, и гравитация сжимает ядро. Температура ядра растёт; горение водородной оболочки и более поздний синтез гелия связаны с расширением до красного гиганта. Внешние слои теряются, оставляя ядро белого карлика без устойчивого синтеза. Оно охлаждается в течение очень долгого времени. Солнце не станет сверхновой или нейтронной звездой.
Звезда значительно большей массы может синтезировать более тяжёлые элементы на последующих этапах. Когда её ядро больше не получает энергию от синтеза, коллапс и сверхновая могут оставить нейтронную звезду или чёрную дыру в зависимости от остатка. Массивная звезда главной последовательности имеет больше топлива, но потребляет его гораздо быстрее из-за более высокого ядра. Поэтому её время жизни на главной последовательности может быть короче. Объясните скорость синтеза, а не только количество топлива. Трек на диаграмме Герцшпрунга–Расселла показывает изменение температуры/светимости, а не движение звезды в пространстве.
Сдвиги Доплера и космология
Сравнение одной спектральной линии
Эффект Доплера — это изменение наблюдаемой частоты/длины волны, вызванное относительным движением вдоль линии зрения. Последующие волновые фронты приходят дальше друг от друга от удаляющегося источника и ближе друг к другу от приближающегося. Удаление даёт бо́льшие длины волн и меньшие частоты; приближение — меньшие длины волн и большие частоты. Чисто перпендикулярное движение относительно линии зрения не является скоростью удаления в простой модели.
Для электромагнитного излучения при низких скоростях удаления:
Красное смещение $z$ положительно для удаления. Для малых смещений его величина также приблизительно равна относительному уменьшению наблюдаемой частоты по сравнению с испущенной частотой. Укажите правило знаков: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ отрицательно для удаления. Не приравнивайте положительное красное смещение к знаковой увеличению частоты. Приближение $v/c_0$ не является общей формулой релятивистской скорости.
Разобранный пример. Линия, испущенная на $500\ \mathrm{nm}$, наблюдается на $505\ \mathrm{nm}$.
Чтобы использовать линии поглощения звезды, вспомните Раздел 2: фотоны поглощаются только тогда, когда их энергии соответствуют разрешённым разностям уровней атома. Сравнивайте одну и ту же идентифицированную спектральную линию, а не два разных элемента.
Для противоположных краёв вращающейся звезды один приближается, а другой удаляется. Если их смещения равны по модулю и противоположны по знаку, расстояние между двумя наблюдаемыми длинами волн вдвое больше смещения любого края. Уменьшите это расстояние вдвое перед вычислением экваториальной скорости. Затем используйте $T=2\pi R/v$. Это предполагает, что наблюдаемая скорость края вдоль линии зрения представляет собой скорость вращения экватора при указанной геометрии наблюдения.
Закон Хаббла и его ограничения
На больших космологических масштабах скорость удаления приблизительно следует закону Хаббла:
Постоянная Хаббла $H_0$ имеет размерность обратной величины времени. В $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ переведите километры в метры и мегапарсеки в метры перед взятием обратной величины в секундах. Близкие объекты могут иметь локальные движения, которые не следуют крупномасштабной зависимости.
Разобранный пример. Используйте $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ и $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ для оценки временной шкалы расширения.
Обратная величина — это время Хаббла. Интерпретация его как возраста предполагает модель прошлой скорости расширения; это не точный возраст, независимый от модели. Бо́льшее значение $H_0$ даёт меньшую обратную временную шкалу. Доказательства расширения поддерживают идею о более плотной и горячей Вселенной в прошлом; они не описывают взрыв в уже существующее центрально-окружающее пространство.
Тёмная материя выводится из гравитационных эффектов, которые видимая материя одна объяснить не может, таких как вращение галактик и их движение. Она не обязательно излучает обнаруживаемый свет. Количество гравитирующей материи влияет на то, как изменяется расширение, поэтому неопределённость в содержании материи и модели расширения влияет на прогнозы судьбы Вселенной. Не выводите, что одно измерение $H_0$ само по себе доказывает вечное расширение или будущее коллапс. Современные модели также учитывают тёмную энергию; исход 171 требует понимания дискуссий вокруг $H_0$, тёмной материи, возраста и судьбы, а не заучивания одного неограниченного прогноза.
Проверьте себя
- Почему внутренняя энергия может увеличиваться без повышения температуры во время фазового перехода?
- Ограниченное количество газа нагревается в жёстком сосуде. Какую шкалу температур необходимо использовать для сравнения давлений?
- Означает ли большая энергия связи на нуклон, что для разделения каждого нуклона требуется меньше или больше энергии в среднем?
- Почему фоновое излучение должно быть вычтено перед использованием отношения скоростей счёта или логарифма?
- Прямая $a$–$x$ имеет угловой коэффициент $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Найдите циклическую частоту.
- Почему максимальная скорость при гармонических колебаниях достигается в положении равновесия, хотя ускорение там равно нулю?
- Почему затухающий мост можно привести в движение на той же частоте, но он будет колебаться с меньшей амплитудой?
- Увеличивает или уменьшает перемещение спутника на большую орбитальную радиус его знаковое гравитационное потенциальное энергию?
- Звезда горячая, но тусклая. Какой регион диаграммы Герцшпрунга — Расселла вероятен, и что может объяснить её низкую светимость?
- При использовании разности длин волн противоположных вращающихся дисков звезды почему необходим множитель два?
Ответы: (1) изменяется молекулярная потенциальная энергия; (2) кельвин; (3) больше; (4) фон не подчиняется закону убывания/расстояния источника; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) возвращающая равнодействующая там равна нулю, но энергия преимущественно кинетическая; (7) большие потери энергии ограничивают установившуюся амплитуду; (8) увеличивается towards zero (стремится к нулю); (9) белый карлик, малая площадь излучающей поверхности; (10) один диск смещён в синюю область спектра, другой — в красную.