Pearson Edexcel · International A-Level · Physics

От сигнала телефона до его батареи

Ваш телефон принимает волны и потребляет электрическую энергию. Они кажутся разными, но обе зависят от передачи энергии. Волны передают энергию, не перенося вместе с собой вещество. Цепь передаёт энергию через движение заряда.

Этот материал охватывает WPH12 Волны и Электричество, пункты спецификации 33–80. Время выполнения — 90 минут, количество баллов — 80. Используйте список формул для обоснования своих рассуждений. Объясните, почему уравнение подходит к ситуации, покажите перевод единиц и завершите сравнения выводом.

Величины волн и графики

Вибрирующий источник повторяет своё движение. Амплитуда — максимальное смещение от положения равновесия. Равновесие — положение покоя. Период $T$ — время одного полного колебания. Частота $f$ — число полных колебаний каждую секунду; её единица — герц, Гц.

Длина волны $\lambda$ — это расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Скорость волны $v$ — это скорость перемещения фиксированной фазы (например, гребня). Она не является скоростью движения самой частицы.

• Поперечная волна имеет колебания, перпендикулярные направлению её распространения. Верёвка движется вверх и вниз, пока возмущение распространяется вдоль неё.
• Продольная волна имеет колебания, параллельные направлению распространения. Звук характеризуется сжатиями, где давление и плотность выше, и разрежениями, где они ниже.
• Молекулы воздуха колеблются туда-сюда вокруг своих положений равновесия. Они не перемещаются от динамика к вашему уху вместе со звуком.

Сначала читайте горизонтальную ось

График смещения от расстояния — это снимок состояния. Расстояние между соседними гребнями даёт $\lambda$. График смещения от времени отслеживает движение одной частицы. Расстояние между соседними пиками даёт $T$. Одинаковая форма кривой может представлять оба графика, но величины при этом разные.

Для продольной волны график давления от расстояния показывает сжатия в точках максимума давления. График смещения молекул от расстояния показывает смещение вдоль направления распространения. Максимальное сжатие возникает там, где смещение изменяется наиболее резко в сторону соседних молекул. Максимум давления и максимум смещения находятся не в одних и тех же точках; их паттерны смещены на четверть длины волны в синусоидальной бегущей звуковой волне.

Разобранное решение. Микрофон регистрирует 12 полных циклов за $0.030\ \text{s}$. Скорость звука составляет $340\ \text{m s}^{-1}$. Найдите частоту и длину волны.

• Дано: количество циклов, общее время и скорость. Частота показывает число циклов в секунду; затем волновое уравнение связывает скорость с длиной волны.
  $$f = \frac{N}{t} = \frac{12}{0.030\ \text{s}} = 400\ \text{Hz}$$
  $$v = f\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{400\ \text{Hz}} = 0.85\ \text{m}$$
• Проверка: один цикл занимает $T=1/f=0.0025\ \text{s}$. Двенадцать циклов занимают указанное $0.030\ \text{s}$.

Наложение волн и стоячие волны

Волновой фронт соединяет точки с одинаковой фазой. Фаза описывает текущую стадию цикла колебаний. Один полный цикл соответствует $360^\circ$ или $2\pi$ радианам.

Наложение (суперпозиция) означает сложение смещений перекрывающихся волн в каждой точке. Интерференция — это resulting усиление или ослабление. Когерентные источники имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз. Их разность фаз не обязательно равна нулю.

Для волн с одинаковой длиной волны разность фаз, вызванная разностью хода $\Delta x$, определяется следующим образом:

Для источников, изначально находящихся в фазе, разности хода $0,\lambda,2\lambda,\ldots$ дают конструктивную интерференцию. Разности хода, кратные полуцелому числу длин волн, дают деструктивную интерференцию. Полное угасание также требует равенства амплитуд. Если источники стартуют с разностью фаз, учтите её тоже.

Разобранное решение. Два когерентных динамика излучают звук с длиной волны $0.80\ \text{m}$. Разность путей от них до микрофона составляет $1.20\ \text{m}$.

• Дано: разность хода и длина волны. Переведите разность хода в число циклов, а затем в разность фаз.
  $$\Delta\phi = \frac{\Delta x}{\lambda}\,360^\circ = \frac{1.20}{0.80}\,360^\circ = 540^\circ$$
• $540^\circ$ эквивалентно $180^\circ$. Волны приходят в противофазе и испытывают деструктивную интерференцию. Звук не обязательно становится тише, если амплитуды приходящих волн различаются.

Как образуется стоячая волна

Стоячая волна образуется, когда две волны одинаковой частоты и схожей амплитуды движутся навстречу друг другу и накладываются. Отражение от закрепленного конца струны обеспечивает возвращающуюся волну.

• Узел всегда имеет нулевое смещение. Пучность обладает наибольшей амплитудой колебаний.
• Расстояние между соседними узлами равно $\lambda/2$. Расстояние от узла до ближайшей пучности составляет $\lambda/4$.
• Точки между одной парой узлов колеблются в фазе. Точки в соседних участках колеблются в противофазе.
• Все точки имеют одинаковую частоту, за исключением того, что узел не колеблется. Амплитуда зависит от положения.
• Идеальная стоячая волна не переносит энергию вдоль себя. Бегущая волна переносит энергию в направлении своего распространения.

Для струны, закреплённой с обоих концов, длина $L$ содержит целое число $k$ полуволн:

Здесь $T$ — это натяжение, а не период; $\mu$ — это масса на единицу длины в $\text{kg m}^{-1}$. Основная гармоника имеет $k=1$. При фиксированном режиме частота увеличивается с ростом $\sqrt{T}$, уменьшается с ростом $L$ и уменьшается с ростом $\sqrt{\mu}$.

Разбор примера. Струна длиной $0.60\ \text{m}$ имеет массу $\mu=1.5\times10^{-3}\ \text{kg m}^{-1}$ и натяжение $24\ \text{N}$. Найдите её основную частоту.

• Известно: длина, натяжение и линейная плотность. Между закрепленными концами помещается половина длины волны.
  $$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{24}{1.5\times10^{-3}}}\ \text{m s}^{-1} = 126\ \text{m s}^{-1}$$
  $$f = \frac{v}{2L} = \frac{126\ \text{m s}^{-1}}{2\times0.60\ \text{m}} = 105\ \text{Hz}$$
• Удвоение натяжения увеличивает частоту в $\sqrt{2}$ раза, а не в два.

Стоячий звук в закрытой трубке

В простейшей стоячей звуковой волне в трубке, закрытой с одного конца, закрытый конец является узлом молекулярного смещения. Открытый конец приблизительно соответствует пучности смещения. В эффективную длину трубки помещается четверть длины волны, поэтому $L_{effective}=\lambda/4$. Распределение давления обратное: закрытый конец является пучностью давления. Не называйте узел давления узлом смещения. Реальные трубки имеют небольшую поправку на открытый конец; используйте эффективную длину, если она указана в задаче.

Разбор примера. Закрытая трубка имеет эффективную длину $0.20\ \text{m}$ и основную частоту $425\ \text{Hz}$. Граничные условия дают $\lambda=4L=0.80\ \text{m}$; затем $v=f\lambda=425\times0.80=340\ \text{m s}^{-1}$. Струна, закрепленная с обоих концов, вместо этого помещает половину длины волны в свою основную гармонику. Выбирайте по граничным условиям, а не по слову «стоячая».

Основной практический опыт 4: скорость звука

Используйте генератор сигналов, динамик, перемещаемый микрофон и двухлучевой осциллограф. Подключите один канал осциллографа к опорному сигналу генератора, а другой — к выходу микрофона. Обе кривые имеют одинаковую частоту.

1. Сохраняйте частоту постоянной. Перемещайте микрофон вдоль измеренной линии прочь от динамика. Найдите положение, где кривые находятся в фазе.
2. Перейти к следующей позиции в фазе. Расстояние между последовательными позициями в фазе равно одной длине волны. Измерьте расстояние, охватывающее несколько длин волн, и разделите на их количество.
3. Определите период по временной шкале: подсчитайте число горизонтальных делений для нескольких полных циклов и разделите полученное значение. Найдите $f=1/T$ и используйте $v=f\lambda$.
4. Повторите измерения положения и частоты. Держите микрофон на оси динамика. Уменьшите отражённый звук, работая вдали от стен. Измеряйте положение относительно фиксированной точки отсчёта микрофона.

Измерение нескольких длин волн снижает процентную неопределенность расстояния. Измерение нескольких периодов аналогично уменьшает неопределенность времени. Эксперимент с резонансной трубкой также позволяет измерить скорость звука, но он не заменяет указанную практическую работу.

Основная практическая работа 5: вибрирующая струна

Используйте генератор колебаний, управляемый сигнальным генератором. Пропустите струну через блок к подвешенному грузу. Натяжение составляет приблизительно $mg$ при малом трении блока. Увеличивайте частоту до образования четкого стоячей волны.

• Исследование натяжения: удерживайте неизменными $L$, $\mu$ и моду колебания. Меняйте подвешенный груз. Постройте график зависимости $f^2$ от $T$; угловой коэффициент для основной гармоники равен $1/(4L^2\mu)$.
• Исследование длины: удерживайте неизменными натяжение, тип струны и моду колебания. Постройте график зависимости $f$ от $1/L$.
• Исследование линейной плотности: измерьте массу и длину струны, $\mu=m/l$. Используйте разные струны при фиксированных натяжении, длине вибрации и моде колебания. Постройте график зависимости $f^2$ от $1/\mu$.
• Измерьте расстояние между крайними узлами. Определите резонансную частоту как от более высоких, так и от более низких значений, и повторите измерения. Надежно закрепите штатив и избегайте падения грузов.

Интенсивность, преломление и поляризация

Интенсивность — это мощность, приходящаяся на единицу площади, перпендикулярной направлению потока энергии:

Единицей измерения является $\text{W m}^{-2}$. Для приемника падающая мощность равна $P=IA$. Полезная выходная мощность будет меньше, если КПД ниже 100%. Тщательно переводите единицы площади: $1\ \text{cm}^2=10^{-4}\ \text{m}^2$.

Пример решения задачи. Интенсивность излучения составляет $800\ \text{W m}^{-2}$ на солнечном элементе площадью $25\ \text{cm}^2$. КПД равен 20%. Способен ли элемент обеспечить所需的的功率 $0.50\ \text{W}$?

• Дано: интенсивность, площадь, КПД. Сначала найдите падающую мощность, затем полезную выходную мощность.
  $$P_{\text{in}} = IA = 800\ \text{W m}^{-2}\times25\times10^{-4}\ \text{m}^2 = 2.0\ \text{W}$$
  $$P_{\text{out}} = \eta P_{\text{in}} = 0.20\times2.0\ \text{W} = 0.40\ \text{W}$$
• $0.40\ \text{W}<0.50\ \text{W}$, поэтому он не способен обеспечить требуемую полезную мощность.

Преломление и полное внутреннее отражение

Преломление — это изменение направления волны при изменении её скорости на границе раздела сред. Луч, падающий вдоль нормали, меняет скорость, не изменяя направления. Нормаль — это перпендикуляр к поверхности границы. Все углы луча измеряются именно от нормали.

Показатель преломления $n$ сравнивает скорость света в вакууме $c$ со скоростью света в данной среде. Частота остается постоянной при переходе границы, поэтому длина волны изменяется пропорционально скорости. При переходе в среду с бо́льшим показателем преломления $n$ луч отклоняется к нормали; при переходе в среду с меньшим показателем $n$ — от неё.

Полное внутреннее отражение требует перехода из оптически более плотной среды в менее плотную и угла падения, превышающего критический угол $C$.

При $C$ угол преломления равен $90^\circ$; назовем угол падения, превышающий $C$, условием полного внутреннего отражения. Ниже $C$ часть энергии обычно отражается, а часть проходит через границу. Оптическое волокно использует сердечник с большим показателем преломления и оболочку с меньшим. Повышение показателя преломления оболочки увеличивает критический угол и может предотвратить захват луча, который ранее был полностью отражен.

Разбор примера. Свет переходит из стекла с показателем преломления 1.50 в воздух. Вызывает ли угол падения $45^\circ$ полное внутреннее отражение?

• Дано: два показателя преломления и угол падения. Найдите угол на границе раздела перед сравнением.
  $$C = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.50}\right) = 41.8^\circ$$
• Свет движется к среде с меньшим показателем преломления и $45^\circ>41.8^\circ$. Оба условия выполнены, следовательно, происходит полное внутреннее отражение.

Измерение показателя преломления

Поместите прямоугольный прозрачный блок на бумагу и обведите его контур. Используйте узкий пучок от лампового прибора. Отметьте две точки на падающем луче и две на выходящем. Уберите блок и соедините точки на границах, чтобы восстановить траекторию луча внутри. Проведите нормаль в точке входа и измерьте угол падения $i$ и угол преломления $r$ с помощью транспортира.

Повторите для нескольких углов падения, сохраняя тот же материал и цвет света. Постройте график: по вертикали отложите $\sin i$, по горизонтали — $\sin r$. Для света, падающего из воздуха в блок, наклон прямой линии соответствует показателю преломления блока относительно воздуха. Используйте большой треугольник на линии тренда. Узкие пучки и далеко расположенные метки на лучах снижают неопределенность направления. Очень малые углы дают большую процентную погрешность измерения углов.

Плоская поляризация

Плоская поляризация ограничивает поперечные колебания одной плоскостью, содержащей направление распространения. Неполяризованный свет имеет колебания во многих плоскостях. Поляризатор пропускает колебания только одного направления. Поворотите второй поляризатор: параллельные направления пропускания дают максимальную яркость, перпендикулярные — Ideally полную темноту. Луч продолжает двигаться вперед; изменяется лишь выбор направления колебаний.

Длинные волны не могут быть плоско поляризованы, так как их колебания уже происходят вдоль направления распространения. Следовательно, поляризация является доказательством того, что свет является поперечной волной.

Дифракция и импульсно-эховой метод

Дифракция — это распространение волн за щелью или краем. Распространение больше, когда ширина щели сопоставима с длиной волны. Широкая щель все равно дифрагирует на своих краях, но центральная часть волны распространяется меньше.

В построении Гюйгенса каждая точка волнового фронта служит источником вторичных волновых пакетов. Нарисуйте волновые пакеты одинакового радиуса после одного и того же промежутка времени. Их общая касательная спереди образует новый волновой фронт. При узкой щели лишь небольшая часть исходного фронта поставляет волновые пакеты, поэтому выходящие фронты широко расходятся. Это объясняет расхождение без предположения изменения частоты в щели.

Дифракционные решетки и основной практический опыт 6

Дифракционная решетка содержит множество равномерно расположенных щелей. Яркие максимумы возникают, когда вклады от соседних щелей приходят в фазе:

Здесь $k$ — целочисленный порядок, $d$ — расстояние между щелями, а $\theta$ измеряется от направления прямого прохождения. Уравнение предполагает нормальное падение. Если решетка имеет $N$ линий на метр, то $d=1/N$. Не путайте порядок дифракционной решетки с показателем преломления; в печатных материалах для обоих понятий может использоваться обозначение $n$.

Разобранный пример. Решётка имеет 600 линий на миллиметр. Свет первого порядка наблюдается под углом $18.0^\circ$. Найдите его длину волны.

• Известно: плотность линий и угол первого порядка. Преобразуйте плотность линий перед вычислением обратной величины.
  $$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{600\times10^3\ \text{m}^{-1}} = 1.67\times10^{-6}\ \text{m}$$
  $$\lambda = \frac{d\sin\theta}{k} = \frac{1.67\times10^{-6}\ \text{m}\times\sin18.0^\circ}{1} = 5.15\times10^{-7}\ \text{m}$$
• Это $515\ \text{nm}$. Проверьте каждое предполагаемое высшее порядковое значение с помощью $k\lambda/d\leq1$.

Для CP6 направьте лазер малой мощности нормально на решётку, а экран установите перпендикулярно центральному лучу. Измерьте расстояние до экрана $D$ и смещение $x$ от центрального пятна до одного из порядков. Примените $\tan\theta=x/D$, затем уравнение решётки. Среднее значение соответствующих смещений влево/вправо, повторите измерения расстояний и используйте более высокие видимые порядки там, где измерение чёткое. Измеряйте расстояние от решётки до экрана, а не от корпуса лазера. Не подставляйте $\sin\theta=x/D$, если допустима обоснованная приближённая формула малых углов. Никогда не смотрите в луч; держите его ниже уровня глаз и экранируйте боковые лучи.

Электроны также проявляют волновые свойства

Электронный пучок, проходящий через тонкий кристалл, создаёт дифракционную картину. Регулярное расположение атомов обеспечивает дифрагирующую структуру. Изменение импульса электронов меняет шаг картины. Это доказательство волновой природы; частицы, движущиеся только по прямым линиям, не могут объяснить максимумы дифракции.

Длина волны де Бройля равна:

Для нерелятивистского электрона $p=mv$. Если он приобретает кинетическую энергию при прохождении разности потенциалов, $E_k=eV$ и $p=\sqrt{2mE_k}$. Используйте эти ссылки только тогда, когда условие задачи содержит или требует данного энергетического соотношения.

Разобранный пример. Электрон имеет импульс $2.0\times10^{-24}\ \text{kg m s}^{-1}$. При $h=6.63\times10^{-34}\ \text{J s}$:

Увеличение импульса уменьшает длину волны. Электроны обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами; дифракция не означает превращения электрона в звуковую волну.

Отражение, пропускание и эхо

На границе раздела часть энергии волны может быть пропущена, а часть — отражена. Отражённый импульс может определить границу. В методе импульсного эха измеряемая задержка включает путь туда и обратно:

Разобранный пример. Ультразвук распространяется в металле со скоростью $5900\ \text{m s}^{-1}$. Эхо возвращается через время $12\ \mu\text{s}$.

Граница находится на расстоянии $35\ \text{mm}$, а не $71\ \text{mm}$. Близкое эхо может накладываться на передаваемый импульс. Сокращение длительности импульса уменьшает эту слепую зону и разделяет близко расположенные эхо-сигналы. Меньшая длина волны помогает обнаруживать или различать меньшие детали. Эти ограничения взаимосвязаны, но длительность импульса и длина волны — это разные величины. Используйте скорость в конкретном материале, а не автоматически скорость в воздухе.

Фотоны и фотоэлектрический эффект

Волновые идеи объясняют интерференцию, дифракцию и поляризацию. Они не могли объяснить все наблюдения передачи энергии. Фотоны описывают дискретные порции электромагнитной энергии:

Исторически интерференция и дифракция поддерживали волновые модели света. Квантовые идеи были разработаны для объяснения наблюдений, включая фотоэффект и атомные спектры. Современная физика использует как волновые, так и фотонные описания в зависимости от метода измерения. Успешная новая модель должна объяснять доказательства, которые объясняет и старая модель.

Один фотон и один электрон

При фотоэффекте поверхностный электрон поглощает фотон и может вылететь. Работа выхода $\phi$ — это минимальная энергия, необходимая для удаления электрона с поверхности. Пороговая частота равна $f_0=\phi/h$.

• Ниже порога увеличение интенсивности не вызывает эмиссии в рамках обычной однофотонной модели.
• Выше порога повышение частоты увеличивает максимальную кинетическую энергию. График зависимости $E_{k,\max}$ от $f$ имеет наклон $h$, пересечение с осью частот $f_0$ и экстраполированное пересечение с осью энергии $-\phi$.
• При фиксированной частоте выше порога более высокая интенсивность обеспечивает большее количество фотонов в секунду. Больше электронов может быть выброшено в секунду, поэтому ток насыщения увеличивается. Их максимальная кинетическая энергия не возрастает.
• Излучение начинается без задержки накопления энергии, предсказанной простой моделью непрерывной волны, даже при низкой интенсивности выше порога.
• Электроны вылетают с различным диапазоном кинетических энергий. Некоторые теряют больше энергии внутри материала. Уравнение описывает максимальную энергию, а не энергию каждого электрона.

Электронвольт — это единица энергии: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. Это не единица разности потенциалов. Тормозящий потенциал $V_s$ лишь препятствует достижению коллектора даже самым быстрым фотоэлектронам, поэтому $eV_s=E_{k,\max}$.

Разбор примера. Свет частоты $8.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ падает на поверхность с работой выхода $2.0\ \text{eV}$.

• Известны: частота фотона и работа выхода. Преобразуйте работу выхода в джоули перед вычитанием.
  $$\phi = 2.0\times1.60\times10^{-19}\ \text{J} = 3.20\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$E_{k,\max} = hf-\phi = 6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\times8.0\times10^{14}\ \text{Hz}-3.20\times10^{-19}\ \text{J} = 2.10\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$V_s = \frac{E_{k,\max}}{e} = \frac{2.10\times10^{-19}\ \text{J}}{1.60\times10^{-19}\ \text{C}} = 1.3\ \text{V}$$
• Положительная кинетическая энергия подтверждает, что эта частота выше пороговой. Отрицательный результат вычитания означал бы отсутствие излучения, а не отрицательную кинетическую энергию.

Атомные линейчатые спектры

Атомы имеют дискретные уровни энергии. Электрон, переходя вниз между двумя разрешенными уровнями, испускает фотон. Переход вверх требует поглощения соответствующей энергии:

Линейчатый спектр имеет определенные частоты, потому что разрешены только некоторые разницы уровней. Наибольшая разница при переходе вниз дает наибольшую частоту и наименьшую длину волны. Подсчитайте возможные переходы, проверяя пары уровней и заполненные верхние уровни; не подсчитывайте автоматически количество линий как число уровней.

Разбор примера. Электрон переходит с уровня $-2.0\ \text{eV}$ на уровень $-5.0\ \text{eV}$.

Поглощение фотона материалом не всегда приводит к выбиванию электрона с его поверхности. Возбуждение, за которым следует эмиссия, например, в светочувствительном материале, не является автоматически фотоэффектом.

Ток, сопротивление и цепи

Ток — это скорость потока заряда. Направленный ток следует по направлению движения положительных зарядов. В металле электроны дрейфуют в противоположном направлении.

Один ампер равен одному кулону в секунду. Разность потенциалов $V$ — это энергия, передаваемая на единицу заряда между двумя точками. Сопротивление $R$ определяется соотношением $V/I$ в рабочей точке. Закон Ома — это дополнительное условие $I\propto V$, когда температура и другие физические условия остаются постоянными. Не каждый резистор или компонент подчиняется ему.

Разбор примера. Ток силы $0.40\ \text{A}$ течет в течение времени $30\ \text{s}$. Найдите количество электронов, прошедших через точку.

Законы сохранения определяют правила цепей

Сохранение заряда означает, что заряд не накапливается в узлах цепи при постоянном токе. Суммарный ток, входящий в узел, равен суммарному току, выходящему из него. Ток не расходуется резистором.

Закон сохранения энергии означает, что суммарная энергия, передаваемая на кулон по замкнутому контуру, равна энергии, передаваемой на кулон. Сумма подъемов напряжения равна сумме падений напряжения.

Для последовательно соединённых резисторов через каждый протекает одинаковый ток, а их падения напряжений складываются:

Для параллельно соединённых резисторов напряжение на каждом одинаково, а токи в ветвях складываются:

Сопротивление параллельного соединения меньше сопротивления любой его отдельной ветви. Вольтметр подключается параллельно компоненту; идеальный вольтметр имеет бесконечное сопротивление. Амперметр подключается последовательно; идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление.

Разобранный пример. Резистор $6.0\ \Omega$ соединён параллельно с $3.0\ \Omega$. Полученное соединение соединено последовательно с $4.0\ \Omega$ и подключено к источнику $12\ \text{V}$.

• Дано: схема цепи. Сначала упростите параллельный участок, затем примените правило для последовательного соединения.
  $$R_p = \left(\frac{1}{6.0}+\frac{1}{3.0}\right)^{-1}\ \Omega = 2.0\ \Omega$$
  $$I = \frac{V}{R_p+R_s} = \frac{12\ \text{V}}{(2.0+4.0)\ \Omega} = 2.0\ \text{A}$$
  $$V_p = IR_p = 2.0\ \text{A}\times2.0\ \Omega = 4.0\ \text{V}$$
  $$I_{6} = \frac{V_p}{6.0\ \Omega} = 0.67\ \text{A} \qquad I_{3} = \frac{V_p}{3.0\ \Omega} = 1.33\ \text{A}$$
• Проверка: сумма токов в ветвях составляет $2.0\ \text{A}$. На оставшемся последовательном резисторе падение напряжения равно $8.0\ \text{V}$.

Мощность и графики компонентов

Электрическая мощность — это энергия, передаваемая каждую секунду. Подстановка $V=IR$ в $P=VI$ даёт другие формы записи:

Используйте напряжение на компоненте и ток через него. Формулы сопротивления применимы к сопротивлению в рабочей точке; не предполагайте, что нагревательная лампа имеет постоянное сопротивление.

• Омический проводник при постоянной температуре: прямая линия через начало координат. На графике с вертикальной осью $I$ и горизонтальной осью $V$ его наклон равен $1/R$.
• Нить лампы: при увеличении модуля напряжения нагрев возрастает, сопротивление увеличивается. Кривая $I$–$V$ становится менее крутой.
• NTC-термистор: нагрев снижает сопротивление. Если ток нагревает его достаточно сильно, кривая становится круче. При контролируемой фиксированной температуре его поведение на подходящем участке может быть приближённо омическим. Не утверждайте, что кривая каждого термистора должна изгибаться при любых условиях измерения.
• Диод: очень малый обратный ток до пробоя; прямой ток резко возрастает после характерной точки изгиба (колена). Он проводит ток преимущественно в одном направлении. Реальный диод не имеет постоянного сопротивления.

Для криволинейного графика для определения $R=V/I$ используется прямая линия от начала координат до рабочей точки. Градиент касательной обычно не равен $1/R$.

Удельное сопротивление и базовая лабораторная работа 7

Удельное электрическое сопротивление $\rho$ — это свойство материала при указанной температуре:

Увеличение длины однородного провода увеличивает сопротивление. Увеличение площади поперечного сечения уменьшает его. Удвоение диаметра дает в четыре раза большую площадь и в четыре раза меньшее сопротивление, если материал, длина и температура остаются неизменными.

Для опыта CP7 соедините последовательно однородный провод, амперметр, источник питания, выключатель и токоограничивающий резистор. Подключите вольтметр параллельно измеряемому участку провода. Измерьте несколько длин и найдите $R=V/I$ для каждой из них. Постройте график зависимости $R$ от $l$: наклон графика равен $=\rho/A$, следовательно, $\rho=A\times\text{gradient}$.

Измерьте диаметр микрометром в нескольких точках и orientations; проверьте его нулевое значение. Измерьте длину между фактическими электрическими контактами. Используйте малый ток и выключайте его между измерениями, чтобы ограничить нагрев. Обеспечьте надежный контакт. nonzero intercept может указывать на сопротивление контактов или проводов. Повторные измерения уменьшают разброс данных, но не устраняют ошибку нуля диаметра. Поскольку площадь зависит от $d^2$, небольшая процентная неопределенность диаметра дает примерно вдвое большую процентную неопределенность площади.

Разобранный пример. Диаметр провода составляет $0.40\ \text{mm}$. График зависимости $R$–$l$ имеет наклон $3.5\ \Omega\,\text{m}^{-1}$.

Модель носителей заряда

Скорость дрейфа $v$ — это малая средняя направленная скорость носителей заряда, а не их случайная тепловая скорость:

Здесь $n$ — число подвижных носителей в единице объема, $q$ — величина заряда одного носителя, а $A$ — площадь поперечного сечения. Большая концентрация носителей позволяет пропускать тот же ток при меньшей скорости дрейфа. В последовательных проводах ток одинаков; изменение $n$ или $A$ приводит к изменению $v$.

Материалы имеют разные удельные сопротивления из-за различий в концентрации носителей и легкости их движения. Увеличение числа столкновений снижает скорость дрейфа при том же приложенном потенциальном градиенте. Одной лишь концентрации носителей недостаточно для объяснения всех различий между материалами.

Делители напряжения, датчики и элементы питания

Вдоль однородного провода с постоянным током при постоянной температуре сопротивление растет пропорционально расстоянию. Следовательно, падение потенциала также растет пропорционально расстоянию. График зависимости потенциала от расстояния представляет собой прямую линию. Это справедливо при условии однородности материала и сечения; конический или неравномерно нагретый провод может не давать прямой линии.

Делитель напряжения использует последовательные сопротивления для распределения напряжения источника:

Выражение предполагает, что выходная цепь не нагружена или подключаемая нагрузка потребляет пренебрежимо малый ток. Если нагрузка потребляет значительный ток, сначала объедините ее параллельно с выходным резистором. Всегда определяйте, какой резистор охватывает вольтметр.

Разобранный пример. Источник питания напряжением $6.0\ \text{V}$ подключен к фиксированному резистору сопротивлением $2.0\ \text{k}\Omega$ над LDR. Найдите выходное напряжение на LDR, если его сопротивление изменяется от $4.0$ до $1.0\ \text{k}\Omega$.

Выходное напряжение на этом LDR уменьшается при увеличении освещенности. Выходное напряжение на фиксированном резисторе увеличивается. Объясните изменение указанного выхода, а не просто «напряжение меняется».

Объяснение работы датчиков через носители

В металле нагрев усиливает колебания решетки. Электроны проводимости рассеиваются чаще. Число мобильных электронов остается приблизительно постоянным, но скорость дрейфа при данном потенциальном градиенте снижается, поэтому сопротивление возрастает.

В термисторе с отрицательным температурным коэффициентом нагрев высвобождает дополнительные мобильные носители. Увеличение концентрации носителей преобладает, поэтому сопротивление падает. Не говорите, что нагрев уменьшает колебания решетки.

В фоторезисторе (LDR) поглощенный свет высвобождает дополнительные мобильные носители. Увеличение освещенности повышает концентрацию носителей и снижает сопротивление. Он не обязательно работает за счет выбивания электронов с поверхности.

Для связанных объяснений приводите полную цепочку: изменение условий среды → изменение концентрации/рассеяния носителей → изменение сопротивления → изменение доли делителя → изменение конкретного выходного сигнала. На протяжении всего объяснения учитывайте схему подключения.

ЭДС, внутреннее сопротивление и базовый практический 8

Электродвижущая сила $\mathcal{E}$ — это энергия, поставляемая источником на единицу заряда. Она измеряется в вольтах, несмотря на название. Внутреннее сопротивление $r$ вызывает передачу энергии внутри источника при протекании тока. Напряжение на зажимах — это энергия на кулон, доступная внешней цепи:

Источник подает мощность $\mathcal{E}I$, внешняя цепь получает $VI$, а тепловые потери внутри составляют $I^2r$. Эти величины суммируются согласованно. При пренебрежимо малом токе напряжение на зажимах приближается к ЭДС.

Для ПР8 соедините элемент питания, амперметр, переменную нагрузку и выключатель последовательно. Подключите высокоомный вольтметр параллельно зажимам элемента. Изменяйте внешнее сопротивление и регистрируйте пары значений $V$ и $I$. Постройте график, где $V$ откладывается по вертикали, а $I$ — по горизонтали. Линия наилучшего соответствия имеет пересечение с осью $\mathcal{E}$ и наклон $-r$. Для определения $r$ используйте модуль наклона.

Используйте несколько настроек и повторяйте измерения. Открывайте выключатель между снимками показаний, избегайте очень малого сопротивления нагрузки и старайтесь поддерживать температуру элемента и уровень его заряда стабильными. Никогда не замыкайте элемент накоротко. График с изгибом может указывать на изменение внутреннего сопротивления или ЭДС; не принуждайте его к одной фиксированной $r$ без обсуждения ограничений.

Разобранный пример. График элемента проходит через точки $(0.20\ \text{A},1.40\ \text{V})$ и $(0.60\ \text{A},1.20\ \text{V})$.

• Дано: две точки на линии наилучшего соответствия. Наклон для $V=\mathcal{E}-Ir$ равен $-r$.
  $$r = -\frac{\Delta V}{\Delta I} = -\frac{1.20-1.40}{0.60-0.20}\ \Omega = 0.50\ \Omega$$
  $$\mathcal{E} = V+Ir = 1.40\ \text{V}+0.20\ \text{A}\times0.50\ \Omega = 1.50\ \text{V}$$
• Проверка с использованием второй точки: результат совпадает со значением для $1.20+0.60\times0.50=1.50\ \text{V}$. Напряжение на зажимах уменьшается при увеличении тока.

Проверьте себя

Используйте рабочий лист с заданиями на сопоставление после каждого раздела: 2.1 графики волн; 2.2 стоячие волны; 2.3 преломление; 2.4 дифракция; 2.5 фотоны; 2.6 цепи; 2.7 делители напряжения и элементы питания.

Перед решением набора заданий прошлых лет убедитесь, что вы можете:

• читать ось графика и определять, отражает ли она длину волны, период, давление или смещение;
• объяснить ход эксперимента с оборудованием, измерениями, контролируемыми переменными, построением графика и мерами предосторожности;
• различать фазу и амплитуду, а также частоту фотона и скорость их поступления;
• выводить схемы соединений цепей из законов сохранения заряда и энергии;
• объяснить работу сенсорной цепи как связанную причинно-следственную цепочку;
• использовать конкретное сравнение для завершения задания «докажите, является ли...», приведя единицы измерения и четкий вывод.

Проверенные январские и июньские варианты 2025 содержат аутентичные примеры, но не охватывают все требования. Оригинальная практика восполняет пробелы в преподавании. Самостоятельное решение выборочного варианта не гарантирует полного покрытия программы.

Число требует метода

Две группы измеряют один и тот же проводник. Их результаты различаются. Кому следует доверять? Вам недостаточно конечного числа: важны прибор, метод, многократные повторения и неопределенность.

WPH13 Практические навыки в физике I — письменная работа по лабораторным опытам из разделов 1–2. Время выполнения — 80 минут, общее количество баллов — 50. Все вопросы обязательны. Не менее 20 баллов оценивают математику уровня 2 и выше. Данное руководство поддерживает реальную лабораторную работу; чтение материала не заменяет самостоятельного проведения измерений.

Три листа навыков следуют процессу: спланировать валидное исследование, собрать и зафиксировать измерения, затем обработать результаты и обосновать выводы. Официальная спецификация предоставляет списки навыков вместо пронумерованных утверждений о знаниях для этого раздела.

Планирование валидного исследования

Валидное измерение измеряет именно то, что вы намерены измерить. Точный таймер не поможет, если он фиксирует неправильное событие.

Начните с названия независимой переменной, которую вы изменяете, и зависимой переменной, которую вы измеряете. Перечислите контролируемые переменные, которые также могут повлиять на зависимую переменную. Укажите, как вы будете поддерживать каждую важную из них постоянной.

Превратите описание в применимый метод

Метод должен включать:

• наименование оборудования с подходящим диапазоном измерений и разрешающей способностью;
• схему расположения мест проведения измерений;
• последовательность шагов, которую другой ученик может воспроизвести, включая начальные и конечные события;
• несколько значений независимой переменной в полезном диапазоне;
• повторения для проверки стабильности и оценки вариативности;
• расчет или график, отвечающий на вопрос исследования;
• конкретные источники неопределенности и предложения по улучшению;
• реалистичные опасности и практические способы снижения каждого риска.

Не пишите просто «взять показания» или «использовать лучшее оборудование». Назовите величину, прибор и то, что изменится при улучшении.

Пример планирования: частота нити и натяжение

Исследуйте, как основная частота зависит от натяжения нити.

• Используйте генератор колебаний и генератор сигналов. Протяните нить через блок к подвеске с грузами.
• Изменяйте подвешенную массу $m$. При свободно движущемся блоке натяжение приблизительно равно $T=mg$.
• Измеряйте вибрирующую длину между концевыми узлами. Используйте ту же нить и поддерживайте эту длину постоянной.
• Регулируйте частоту для основной гармоники каждый раз. Один и тот же модальный рисунок является контрольным параметром, а не необязательной деталью.
• Измерьте массу струны и её полную длину, чтобы найти линейную плотность $\mu$. Сохраняйте это значение неизменным в данном исследовании.
• Запишите несколько значений натяжения и соответствующих им резонансных частот. Повторяйте настройку рядом с каждым резонансом.

Модель для основной гармоники:

График зависимости $f^2$ по вертикали от $T$ по горизонтали должен представлять прямую линию, проходящую через начало координат. Большой треугольник используется для определения наклона. Закрепите стойку и держитесь подальше от падающих грузов. Это надёжнее, чем просто «будьте осторожны».

Калибровка и проверка нуля

Калибровка проверяет прибор по известным опорным значениям. Ошибка нуля возникает, когда прибор показывает ненулевое значение при правильном нулевом состоянии. Проверяйте сомкнутые губки микрометра или пустые весы перед измерением.

Если микрометр показывает $+0.03\ \text{mm}$ при правильно сомкнутых губках, вычтите $0.03\ \text{mm}$ из каждого последующего показания. Повторное измерение не устранит эту погрешность. Проверка нуля не гарантирует корректности калибровки всей шкалы.

Диапазон, шаг повторений и многократные измерения

Выберите диапазон достаточно широким, чтобы выявить зависимость. Несколько измерений, сгруппированных около одного значения, могут дать плохой наклон. Используйте больше точек настройки вблизи точки экстремума, если необходимо точно определить максимум.

Повторные измерения полезны, когда условия можно воспроизвести. Они показывают разброс данных и помогают выявить нестабильные показания. Однако повторные измерения разряжающегося элемента или нагреваемого провода могут смещаться из-за изменения условий. Уменьшите ток, выключайте прибор между измерениями, контролируйте температуру или восстанавливайте исходные условия. Не усредняйте смещение как случайное колебание.

Контролируйте фактическую причину

При изменении угла наклона лампы над солнечным элементом сохраняйте фиксированными расстояние до элемента и выходную мощность лампы. Контролируйте фоновое освещение, например, используя экраны или затемнённую комнату. Оставляйте элемент и нагрузку неизменными. В противном случае изменение измеряемой мощности может быть вызвано расстоянием, освещённостью или сопротивлением цепи вместо угла.

Обсуждайте контекст, опираясь на физическую причину. Солнечная панель с отслеживанием солнца может оставаться ближе к нормальному падению лучей и собирать больше энергии за день. Однако её двигатель потребляет энергию и увеличивает стоимость или требует технического обслуживания. Формулировка «лучше для окружающей среды» сама по себе не объясняет ни одного из этих эффектов.

Измерения и запись

Точность описывает близость к истинному значению. Точность (прецизионность) описывает, насколько близко повторяющиеся значения группируются друг вокруг друга. Близко сгруппированные результаты всё равно могут иметь общую систематическую погрешность.

• Воспроизводимость (повторяемость) касается получения схожих результатов одним оператором и тем же методом в течение короткого промежутка времени.
• Воспроизводимость (воспроизводимость) касается получения схожих результатов разными операторами, оборудованием или методами.
• Случайные эффекты вызывают непредсказуемые колебания. Повторение измерений и вычисление среднего значения могут снизить их влияние.
• Систематическая погрешность смещает результаты в одном направлении. Устраните причину или известный сдвиг; повторные измерения не устраняют её.
• Неопределённость — это разумный интервал, связанный с измерением. Это не обязательно ошибка и не обязательно равно известному значению самой погрешности.

Снятие показаний с приборов с учётом их точности

Миллиметровая линейка имеет наименьший деление $1\ \text{mm}$. Стандартные штангенциркули данного спецификации имеют точность $0.1\ \text{mm}$, а стандартный микрометр — точность $0.01\ \text{mm}$. Проверьте прибор на изображении: цифровой дисплей или другая шкала могут иметь иную точность.

Для микрометра сложите показания основной шкалы (манжеты) и шкалы барабана. Учитывайте видимое деление манжеты, соответствующее полумиллиметру, при необходимости. Используйте трещотку для обеспечения постоянного давления контакта, вместо того чтобы перетягивать губки.

Для штангенциркулей считайте показания основной шкалы непосредственно перед нулём штрихмасштаба, затем добавьте значение совпавшего деления штрихмасштаба, умноженное на его точность. Убедитесь, что губки касаются измеряемых поверхностей без перекоса. Не выводите недостающие деления из текстового описания: читайте саму схему прибора.

Разбор примера. Последнее видимое деление шкалы манжеты — $4.5\ \text{mm}$. Деление шкалы барабана 23 совпадает с опорной линией. Точность составляет $0.01\ \text{mm}$, а нулевая погрешность равна $+0.02\ \text{mm}$.

Геометрические методы и методы определения времени

Избегайте параллакса, рассматривая шкалу строго перпендикулярно линии взгляда. Используйте угольник для переноса высоты или положения на линейку. Держите линейку параллельно измеряемому расстоянию; наклонная линейка покажет другое расстояние.

Фотоэлектрический датчик фиксирует время перекрытия светового потока препятствующим объектом. При известной длине препятствия $l$ скорость вычисляется как $v=l/t$. Это даёт мгновенную скорость в момент прохождения, но не ускорение напрямую. Для нахождения ускорения измерьте изменение скорости за известный промежуток времени или используйте обоснованное уравнение движения с дополнительными измеренными величинами. Не называйте $l/t$ ускорением.

Видео с известной частотой кадров может снизить неопределённость реакции. Посчитайте количество кадров между чётко определёнными начальным и конечным событиями, затем используйте $t=N/f_{\text{frame}}$. Интервал между кадрами ограничивает временную разрешающую способность. Размытые изображения или нечёткое положение событий всё равно могут снижать точность результата.

Таблицы и значащие цифры

Записывайте величину и единицу измерения в заголовке каждого столбца, например $l/\text{mm}$. Фиксируйте сырые измерения с количеством знаков после запятой, соответствующим точности прибора. Не добавляйте лишние цифры, которые прибор не может различить.

Все эти значения имеют две десятичные цифры. Расчётное среднее можно хранить с дополнительными знаками во время вычислений, а затем округлить разумным образом. Обработанные значения для построения графика обычно указывают с тремя значащими цифрами, если иное не требуется заданием или данными. Не смешивайте $5.1$, $5.24$ и $5.180$ так, будто они получены с одного неизменного дисплея.

Аномальное показание выбивается из общей закономерности. Проверьте показание, метод и при возможности повторите измерение. Не удаляйте молча наименее подходящее значение. Подозрение на аномалию требует объяснения и зафиксированного решения.

Неопределённость в этой теме

Для одного измерения данный спецификация использует половину точности прибора как базовую оценку абсолютной неопределённости. Это не означает, что точность является единственным источником неопределённости. Плохо очерченная граница, время реакции или неточное выравнивание могут сделать неопределённость больше.

Разобранный пример. Весы показывают $135.0\ \text{g}$ с разрешением $0.1\ \text{g}$.

Для повторяющихся значений в спецификации используется половина диапазона как оценка неопределённости:

Разобранный пример. Повторяющиеся значения времени: $5.12$, $5.24$, $5.18$, $5.20\ \text{s}$.

Отчёт по результатам $(5.19\pm0.06)\ \text{s}$. Сохраните среднее значение без округления при расчёте процентов. Разброс повторных измерений значительно превышает половину сотой доли секунды, поэтому указание только разрешения дисплея не отразит наблюдаемые колебания.

Единица измерения 3 не требует сложения процентных неопределённостей для вычисляемой величины. Если для этой величины предоставлена неопределённость, используйте её напрямую. Не вводите здесь в качестве требования продвинутый закон переноса неопределённостей.

Графики и обработка результатов

Выберите масштабы, отображающие данные

Определите, какая величина должна быть на каждой оси. Используйте чёткие подписи величин/единиц измерения и равномерные шкалы. Занимайте большую часть доступной сетки; избегайте неудобных интервалов, которые трудно разделить. Ни одна из осей не обязательно должна начинаться с нуля, но не скрывайте, проходит ли предполагаемая пропорциональная зависимость через начало координат.

Нанесите маленькие крестики точно. Проведите тонкую линию тренда или плавную кривую в соответствии с зависимостью. Не соединяйте зашумлённые точки ломаной линией, если об этом не требуется в задании. Линия тренда балансирует разброс точек, а не проходит через каждую из них.

Преобразуйте наклон в физическую константу

Для прямой линии $y=mx+c$ определите, какой части физического уравнения соответствуют $m$ и $c$. Прямая линия не доказывает прямую пропорциональность, если её пересечение с осью Y (свободный член) не равно нулю.

Разобранный пример. Провод следует закону $R=(\rho/A)l+R_0$. Линия тренда проходит через точки $(0.20\ \text{m},1.20\ \Omega)$ и $(1.00\ \text{m},4.40\ \Omega)$.

• Известно: две широко разделённые точки на подогнанной прямой. Почему: наклон равен $\rho/A$.
  $$m = \frac{\Delta R}{\Delta l} = \frac{4.40-1.20}{1.00-0.20}\ \Omega\,\text{m}^{-1} = 4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}$$
  $$R_0 = R-ml = 1.20\ \Omega-4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}\times0.20\ \text{m} = 0.40\ \Omega$$

Если $A=1.0\times10^{-7}\ \text{m}^2$, удельное сопротивление равно:

Фиксированное пересечение может представлять контактное или проводниковое сопротивление. Деление одного измеренного значения $R$ на $l$ включит этот сдвиг и даст неверный наклон.

Множители масштабирования должны учитываться в наклоне

Предположим, ось подписана как $f/\text{MHz}$. Наклон, снятый с этого графика, имеет единицы МГц. Преобразуйте в Гц перед использованием СИ-констант. График зависимости $f$ от $\sin\theta$ имеет безразмерную горизонтальную ось; следовательно, его наклон имеет единицы частоты. Используйте режим градусов, если измеренный угол выражен в градусах.

Если предоставленное уравнение имеет вид $f=(v/\lambda)\sin\theta$, график зависимости $f$ от $\sin\theta$ имеет наклон $v/\lambda$. Преобразуйте $v=\lambda\times\text{gradient}$. Не assumes, что у каждого графика зависимости от частоты наклон равен скорости.

Кривые, максимумы и конкретные улучшения

Широкий диапазон сначала находит приблизительный максимум. Затем снимите более частые показания в этой области. Повторение одного значения не позволяет точно определить максимум между существующими точками. Сохраняйте остальные условия неизменными и учитывайте разброс данных при указании наилучшего угла или сопротивления.

Для эксперимента по движению угольник может улучшить измерение горизонтального расстояния. Для эксперимента с лампой темная камера снижает изменение фонового освещения. Для резонансного эксперимента приближайтесь к самому громкому звуку как с более высоких, так и с более низких частот и повторяйте измерения. Каждое улучшение направлено на устранение конкретной известной проблемы.

Выводы, подкрепленные неопределенностью

Значение с неопределенностью описывает интервал. Сравните этот интервал с предполагаемым значением, затем укажите, что подтверждают данные. Совпадение в пределах неопределенности не доказывает уникальную идентификацию материала или модели.

Разобранное решение. Измеренная плотность равна $8.90\ \text{g cm}^{-3}$ с процентной неопределенностью $0.9\%$. Может ли она совпадать с предполагаемым значением $8.94\ \text{g cm}^{-3}$?

Интервал составляет примерно от $8.82$ до $8.98\ \text{g cm}^{-3}$. Предлагаемое значение находится внутри него, поэтому результат измерения согласуется с этим значением. Однако это не доказывает, что объект имеет именно такой состав.

Если оба предсказания модели попадают в интервал, экспериментальные данные не позволяют их различить. Уменьшите доминирующую неопределенность или добавьте другое измерение перед заявлением об уникальной идентификации.

Проверьте себя

Прежде чем решать письменную задачу практической работы, убедитесь, что вы умеете:

• преобразовывать названия оборудования в применимый метод с контролем переменных и маршрутом обработки данных;
• считывать разрешающую способность и исправлять известный нулевой сдвиг;
• различать точность, прецизионность, воспроизводимость и повторяемость;
• вычислять среднее значение, полуразмах и процентную неопределенность;
• строить график данных, использовать большой треугольник наклона и интерпретировать точку пересечения осей;
• превращать заданную неопределенность в интервал и формулировать обоснованный вывод;
• связывать каждое улучшение с конкретной проблемой измерения, которую оно устраняет.

From a collision to a particle accelerator

A car bumper and a particle detector seem very different. Both use momentum and forces. This unit follows those ideas into circular motion, electric fields, magnetic fields and particle interactions.

WPH14 assesses requirements 81–124 of the Issue 3 specification. It can also use knowledge from Units 1–2. Use the seven skill sheets in order. Check units, directions and the assumptions behind each equation. A familiar equation can give a wrong answer when its model does not fit.

Impulse and two-dimensional collisions

Force changes momentum

Momentum 动量 is the vector $\mathbf p=m\mathbf v$. Choose a positive direction before using signs. Impulse 冲量 is the change in momentum. For constant force, or the average force over an interval:

A changing force gives an impulse equal to the signed area under its force–time graph. A triangular pulse has area $\frac12\times\text{base}\times\text{height}$. An area below the time axis is negative. The maximum force is not automatically the average force.

Worked example. A $0.20\ \text{kg}$ ball approaches a wall at $+6.0\ \text{m s}^{-1}$. It rebounds at $-4.0\ \text{m s}^{-1}$. Contact lasts $0.050\ \text{s}$. Find average force on the ball.

• Known: mass, signed initial/final velocities and contact time.
• Why: force impulse changes the ball's momentum; rebound reverses the sign.

The force is opposite the chosen positive direction. The wall feels an opposite force. A deforming bumper or helmet increases stopping time. For the same momentum change, this reduces average force. It does not remove the momentum change.

Conserve each momentum component

An isolated system 孤立系统 has no significant external impulse during the event. Its total momentum is conserved. Internal forces cancel in opposite pairs. Momentum conservation does not require kinetic energy conservation.

For a collision in a plane, resolve every momentum into two perpendicular axes:

Use the angle measured from the chosen axis. Include signs; a downward component is negative if upwards is positive. Do not add momentum magnitudes when directions differ.

Worked example. A $0.10\ \text{kg}$ sphere moving at $2.0\ \text{m s}^{-1}$ strikes two stationary spheres, each $0.10\ \text{kg}$. It stops. The two others leave symmetrically at $1.2\ \text{m s}^{-1}$, at angles $+\theta$ and $-\theta$ to the original direction. Find their separation angle and classify the collision.

• Why: transverse momenta cancel by symmetry; longitudinal momentum gives $\theta$.

An elastic collision 弹性碰撞 conserves total kinetic energy as well as momentum. An inelastic collision 非弹性碰撞 does not conserve kinetic energy; some becomes other forms of energy.

This collision is inelastic. Total energy is still conserved. In an ordinary passive collision, kinetic energy cannot increase without an additional energy source.

For a non-relativistic particle 非相对论粒子, use $p=mv$ and $E_k=\frac12mv^2$. Substituting $v=p/m$ gives:

At equal kinetic energy, $p=\sqrt{2mE_k}$: a larger mass has larger momentum. At equal momentum, a larger mass has smaller kinetic energy. These equations are not valid for a particle moving close to light speed.

Core practicals 9 and 10

For core practical 9, use a trolley, force sensor and data logger. Measure trolley mass and velocities just before/after contact using light gates or a motion sensor. Record the force–time pulse at a sampling rate fast enough to resolve it. Zero the force sensor; use consistent axes for force and velocity. Integrate the graph area and compare it with $m(v-u)$. Repeat for different contact forces or speeds. A graph of impulse against momentum change should have gradient close to one. Friction, sensor offsets and missed parts of the pulse can cause disagreement. Secure the track and catch the trolley safely.

For core practical 10, record small spheres colliding on a level surface using an overhead camera. Include a length scale in the collision plane and a known frame rate. Keep the camera perpendicular to reduce perspective error. Track centres over several frames before and after the short collision. Convert pixel displacements to metres and frame intervals to seconds. Determine both velocity components, then compare total momentum components and kinetic energies. Repeat with different approach directions. Include uncertainty from positions, timing and scale calibration. A small mismatch within uncertainty is not evidence that momentum fails. Keep spheres contained so they cannot fall or become a slipping hazard.

Circular motion

Angle, angular speed and tangential speed

An angle of one radian 弧度 subtends an arc equal to the radius. Hence $\theta=s/r$, with angle in radians. One revolution is $2\pi$ radians or $360^\circ$.

Angular velocity 角速度 describes the rate of angular displacement. In the plane problems here, use its signed rotational rate or magnitude as appropriate. Points on one rigid turntable have the same angular speed. Points farther from its centre have larger tangential speed 切向速率. Their velocity directions also vary around the circle.

Worked example. A wheel rotates at $120$ revolutions per minute. Find angular speed and acceleration of a point $0.25\ \text{m}$ from its centre.

Keep the unrounded angular speed during the calculation. Use radius, not diameter.

Why acceleration points inward

Uniform circular motion has constant speed but changing velocity. Draw the initial and final tangential velocity vectors. The change is $\Delta\mathbf v=\mathbf v_2-\mathbf v_1$, not their sum. For a small angular change, the velocity triangle and radius triangle are similar:

The change in velocity points towards the centre in this limit. A resultant centripetal force 向心力 is therefore needed:

Centripetal force names the resultant of real forces. It is not an extra force to add to a force diagram. Friction can provide it on a turntable. Tension can provide it for a ball on a string.

Write the real-force equation

For clothing against the inside of a vertical drum, weight always points down. The drum's normal reaction points towards the centre. At constant speed:

The required resultant has the same magnitude, but the reaction is larger at the bottom. If contact is lost, the surface cannot provide a pulling normal reaction. Check this before using a circular-path model.

For a horizontal turntable, the largest available friction must be at least $mr\omega^2$. If maximum friction is $mg/25$:

Mass cancels because both required and available forces scale with mass. If the inward force disappears, motion initially follows the tangent. Gravity can then curve the later path; “tangent” describes the release direction.

Electric fields and potential

Force and potential describe different things

An electric field 电场 is a region where a charged particle experiences a force. Electric field strength 电场强度 is force per unit positive test charge:

Its units are $\text{N C}^{-1}$ or $\text{V m}^{-1}$. A positive charge feels force along the field; a negative charge feels force opposite it.

Electric potential 电势 is potential energy per unit charge relative to a chosen reference. For a charge $q$ moved through a potential change:

Potential is a scalar; field is a vector. A point with zero potential need not have zero field. Adding signed potentials is different from adding field vectors.

Radial and uniform fields

For point charges, or outside an isolated charged conducting sphere, with $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$:

Here $r$ is separation of charge centres; sphere distances are measured from its centre. Like charges repel, unlike charges attract. Potential takes the sign of $Q$ when zero is at infinity.

Between large parallel plates, away from edges, the field is approximately uniform:

The field points from higher to lower potential. Plate separation $d$ is perpendicular to the plates. An equipotential 等势面 has the same potential everywhere. Field lines cross equipotentials at right angles. Moving along one involves no change in electric potential energy.

The radial field is the negative potential gradient: $E_r=-\mathrm dV/\mathrm dr$. For a positive source, the signed area under its $E$–$r$ curve from $r$ to infinity equals $V(r)$. The area from zero to $r$ is not that potential. In a uniform field, closer equally spaced potential levels mean stronger field.

Worked example. A sphere of radius $0.20\ \text{m}$ has potential $9.0\ \text{kV}$. Find charge and field at $0.30\ \text{m}$ from its centre. Use $k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}$.

Use the surface radius to find charge, then the new centre-distance to find field. Do not reuse the surface distance for the second step.

Compare electrical and gravitational forces

A stationary charged oil drop can satisfy $|q|E=mg$. Use $m=\rho\mathcal V$ if density and volume are given. Divide the charge magnitude by $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$ to test whether it is close to an integer multiple. Charge sign follows the direction of force required, not its magnitude alone.

To lift a spherical grain, compare $qE$ with $\rho(4\pi r^3/3)g$. Radius is half the listed diameter. A calculated maximum diameter is a threshold: choose the largest listed diameter below it. On an inclined panel, the normal component of weight is $mg\cos\theta$. The electric force perpendicular to the panel need overcome that component to detach a grain; gravity also has a downslope component.

Capacitors and RC circuits

Charge storage and energy

A capacitor 电容器 stores separated charge on two conductors. They carry equal and opposite charges in the ideal two-plate model. The quoted charge $Q$ is the magnitude on either plate, not the sum of both magnitudes. Capacitance 电容 is charge stored per unit p.d.:

One farad is one coulomb per volt. For constant capacitance, a $V$–$Q$ graph is straight through the origin with gradient $1/C$. Its area gives the work needed to transfer charge onto the capacitor:

The factor one half appears because p.d. rises from zero while charge is transferred. It is not $QV$ at the final voltage throughout charging. For discharge between non-zero voltages, subtract the two stored energies:

This is different from $\frac12C(V_{\text{initial}}-V_{\text{final}})^2$.

Charging and discharging

In an ideal series resistor–capacitor charging circuit, initially uncharged, the capacitor p.d. is zero. The resistor initially has the full supply p.d., so current is maximum. As charge builds, capacitor p.d. rises. Resistor p.d. and current fall. At full charge, current is zero and capacitor p.d. equals supply p.d.

For discharge through a fixed resistance, use signed current consistently or work with its magnitude:

The voltage relation follows from $Q=CV$ with constant $C$. Current magnitude follows from $|I|=V/R$ with constant $R$. The time constant 时间常数 is $\tau=RC$. After one time constant, $Q$, $V$ and current magnitude are $e^{-1}\approx0.368$ of their initial values. After three time constants they are about $5\%$, not zero. Stored energy falls faster because it depends on $V^2$.

For charging from an ideal constant supply $V_s$:

A charging capacitor voltage rises towards $V_s$; charging current falls towards zero. Do not sketch the same curve for both quantities. Equal $V_C$ and $V_R$ means each is $V_s/2$, reached at $t=RC\ln2$.

Taking natural logs of the discharge equation gives:

Thus a graph of $\ln V$ against $t$ has gradient $-1/(RC)$ and intercept $\ln V_0$. The same forms hold for $Q$ and current magnitude. Use consistent measurement units inside the logged numerical values.

Worked example. A $100\ \mu\text{F}$ capacitor discharges from $12.0\ \text{V}$ through $20.0\ \text{k}\Omega$. Find p.d. after $3.0\ \text{s}$ and energy lost.

The lost stored energy becomes mainly heat in the discharge resistance. Use unrounded voltage in the final calculation.

Core practical 11 and useful extensions

Use a low-voltage d.c. supply, resistor, capacitor and switch. Charge through the resistor, then disconnect the supply and discharge through the known resistance. Connect a voltage sensor, data logger or oscilloscope across the capacitor. Record time and p.d.; choose a sampling interval short compared with $RC$. Use an instrument input resistance large compared with the discharge resistance, otherwise it changes the discharge path.

Keep $R$ and $C$ fixed, repeat after restoring the same initial charge, and compare measured curves with exponential predictions. Determine $RC$ from the $1/e$ level or a log-fit gradient. Avoid taking logs of readings near zero where relative uncertainty is large. For a resistance-tolerance test, calculate $R=-\Delta t/[C\ln(V_2/V_1)]$ during one uninterrupted discharge and compare with both limits of the permitted interval.

Use correct polarity for an electrolytic capacitor and remain below its voltage rating. Discharge it safely through a resistor before altering connections; do not short a charged capacitor. Leakage, sensor loading and resistor heating can change the measured curve.

A smoothing capacitor charges near supply peaks and discharges into the load between them. A smaller load resistance gives a smaller time constant, faster discharge and less smoothing. For two identical series capacitors, the same magnitude of charge appears on each. Their equal p.d.s share the supply, so each stores half the charge of one identical capacitor connected alone. This sharing is a useful bridge to the selected paper; it does not replace the main capacitance model.

Magnetic forces and induction

Directions, flux and force

Magnetic flux density 磁感应强度 $B$ describes the field's force effect. For a straight wire of length $l$ in a uniform field:

Here $\theta$ is between conventional current and field. Only the length inside the field counts. For one charged particle:

Use Fleming's left-hand rule 弗莱明左手定则: first finger along field, second along conventional current, thumb gives force. A positive charge moves with conventional current. Reverse the result for an electron's motion. Dot symbols mean out of the page; crosses mean into it.

Magnetic force is perpendicular to velocity, so it changes direction without doing work. It cannot, alone, increase the particle's kinetic energy. If $\mathbf v$ is parallel to $\mathbf B$, magnetic force is zero.

Magnetic flux 磁通量 through a flat area in a uniform field is:

Here $\alpha$ is between field and the area's normal, not the plane itself. The unit is the weber. Flux linkage 磁通链 is $N\phi$ when the same flux links each of $N$ turns.

Worked example. A coil has 40 turns and radius $0.015\ \text{m}$. A uniform $0.020\ \text{T}$ field is perpendicular to its plane. Find flux linkage.

Use radius, not diameter, and multiply by turns only when finding linkage. A balance under magnets measures the opposite reaction to a force on a separately supported wire. Convert a balance reading change $\Delta m$ to force $\Delta mg$, not $\Delta m$ itself.

A changing linkage induces an e.m.f.

Electromagnetic induction 电磁感应 occurs when flux linkage changes. Relative movement of a coil and magnet can cause it. Rotating the coil or changing current in another linked coil can also cause it. A stationary coil in a constant field has no induced e.m.f. merely because flux is present.

Faraday's law 法拉第电磁感应定律 relates e.m.f. magnitude to rate of flux-linkage change. Lenz's law 楞次定律 gives the opposing direction:

Induced current, if the circuit is closed, produces a magnetic effect opposing the change that caused it. It does not always oppose the existing field: when that field decreases, the induced effect helps maintain it. This opposition is consistent with energy conservation.

Worked example. Flux through each of 50 turns decreases from $6.0\times10^{-5}$ to $2.0\times10^{-5}\ \text{Wb}$ in $0.020\ \text{s}$. Find average induced e.m.f. magnitude.

Faster movement, stronger field, more turns or larger linked area can increase the rate. Explain which quantity actually changes. In a magnetic-strip reader, reversing pole orientation reverses signal direction. For a straight boundary swept across an area of width $L$ at speed $v$, $\Delta A/\Delta t=Lv$, giving $|\mathcal E|=NBLv$ under that uniform-field model.

Wireless charging uses alternating current in one coil, producing changing magnetic field and changing linkage in the phone coil. That induces an e.m.f. The receiving circuit can then charge the battery. Equal turn counts do not ensure equal voltages: some flux may fail to link the other coil, especially with separation or without an iron core.

Nuclear structure, accelerators and tracks

The nucleus and scattering evidence

In $^{A}_{Z}X$, proton number 质子数 $Z$ counts protons and nucleon number 核子数 $A$ counts protons plus neutrons. The neutron count is $A-Z$. A neutral atom has $Z$ electrons; an ion need not.

The older distributed-positive-charge model could explain small deflections but not the observed rare large-angle alpha scattering. Most alpha particles pass nearly straight through thin foil, showing that most of the atom is empty space. A small fraction experience very large deflections. Positive alpha particles feel strong electrostatic repulsion near a small, dense, positive nucleus containing most atomic mass. Few large-angle events show that the nucleus occupies a small fraction of the atom's volume. Keep each observation linked to the particular conclusion it supports.

Make, accelerate and steer a beam

Thermionic emission 热电子发射 releases electrons from a heated metal. Heating supplies energy so some electrons can leave the surface. A positive accelerating electrode attracts them through a vacuum. A potential difference changes kinetic energy by the electric work:

For speed calculations use the positive energy gain $|q|\,|\Delta V|$ only when the particle is accelerated through the field in the appropriate direction. Starting from rest, well below light speed:

A linear accelerator 直线加速器 uses alternating p.d. across gaps between drift tubes. Particles accelerate in gaps and are shielded inside the conducting tubes. The polarity reverses while particles are inside, so the next gap accelerates them again. At constant alternating frequency, increasing speed requires longer tubes to maintain the time between successive gaps. Across $n$ equal accelerating gaps, total kinetic-energy gain is $n|q|V_{\text{gap}}$.

A cyclotron 回旋加速器 uses a magnetic field perpendicular to two hollow dees. Electric field accelerates particles across the gap. Inside a dee, magnetic force curves the path without increasing speed. Polarity reverses during each half-turn, allowing another energy gain at the next crossing. With perpendicular entry:

In the non-relativistic model, the period is independent of speed. Increasing speed increases radius. Time in one dee is $T/2$, not $T$. The formula assumes constant field and fixed mass in this model; synchronisation fails as relativistic effects become important.

Worked example. A proton moves perpendicular to $B=0.40\ \text{T}$ with momentum $2.0\times10^{-20}\ \text{kg m s}^{-1}$. Use proton mass $1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$.

When starting instead from a de Broglie wavelength, use $p=h/\lambda$, then $E_k=p^2/(2m)$ and $V=E_k/|q|$. Check that the non-relativistic assumption remains suitable.

Read detector evidence carefully

Charged particles ionise matter along their paths, leaving detectable tracks. A neutral particle does not make a direct ionisation track in this model. Its presence can be inferred from missing momentum or from charged products it later produces.

In a known perpendicular magnetic field, curvature direction together with travel direction can identify charge sign. Without field direction, curvature alone cannot give sign. Radius gives momentum through $p=B|q|r$; comparing radii requires knowledge of charge magnitude. A tightening track often shows momentum being lost. Do not infer travel direction from a constant-radius arc alone.

Conserve charge, total energy and vector momentum at an interaction. If visible outgoing momenta do not add to the incoming momentum, a neutral product may carry the missing component. Draw a vector balance rather than guessing from the number of tracks.

High energies probe nucleon structure in two ways. Large momentum gives a short de Broglie wavelength, allowing small structure to be resolved. High collision energy also allows new massive particles to be created. Quarks are not observed as isolated free particles; do not describe a high-energy collision simply as removing a free quark.

Fast muons can reach the ground because their average lifetime measured in the Earth's frame is increased at speeds close to $c$. This does not mean they exceed light speed. Unit 4 requires the significance of this lifetime increase, not use of relativistic equations.

Particles, antiparticles and conservation

Families and antiparticles

In the quark–lepton model 夸克—轻子模型, baryons and mesons contain quarks. Leptons are fundamental particles in the model.

• A baryon 重子 contains three quarks, for example a proton $uud$ or neutron $udd$. An antibaryon contains three antiquarks.
• A meson 介子 contains one quark and one antiquark, for example a pion.
• A lepton 轻子 is fundamental, for example an electron or neutrino. A positron is an antilepton, not a meson.
• A photon is the quantum of electromagnetic radiation; it is neither a baryon nor a lepton.

Up-type quarks have charge $+2e/3$ and down-type quarks $-e/3$. Antiquarks have opposite charges. For example, $uud$ sums to $+e$ and $udd$ to zero. The symmetry of the quark families predicted a top quark before it was observed. Classification models make testable predictions, not just lists of known particles.

An antiparticle 反粒子 has the same rest mass as its particle and opposite electric charge when charged. Other relevant additive quantum numbers also reverse. An electron has lepton number $+1$; its positron has $-1$. Both have baryon number zero. A neutral antiparticle can differ in quantum numbers despite having no electric charge.

Check conserved totals

Assign baryon number $+1$ to a baryon, $-1$ to an antibaryon, and zero to mesons/leptons/photons. Quarks carry $+1/3$ and antiquarks $-1/3$. Assign lepton number $+1$ to a lepton and $-1$ to an antilepton. Compare total charge, baryon number and lepton number on both sides of a proposed reaction. Also check energy and momentum. Passing the listed conservation checks alone does not prove that an interaction will occur; it establishes that those laws do not forbid it.

Worked example. Test $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.

The antineutrino balances the electron's lepton number. Changing it to a neutrino would make the final total $+2$, so that proposed equation would fail this check. Preserve bars and charge signs when interpreting supplied particle symbols.

Rest energy, creation and annihilation

Mass–energy equivalence 质能等价 relates a rest-mass change to energy:

In pair production 粒子对产生, energy creates a particle–antiparticle pair. The energy must at least supply both rest masses; extra energy can become kinetic energy or recoil. Momentum must also be conserved, so the surrounding interaction matters. In annihilation 湮灭, particle and antiparticle can turn into photons. A pair initially at rest producing two photons gives equal photon energies and opposite momenta. Each photon carries one particle's rest energy for an equal-mass pair; the total is twice that value.

One electronvolt is $e$ joules: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. MeV means $10^6$ eV and GeV means $10^9$ eV. A quoted mass in $\text{MeV}/c^2$ is a mass unit, not an energy unit. Multiply by $c^2$ to get its corresponding rest energy.

Worked example. Convert a mass of $140\ \text{MeV}/c^2$ to kilograms.

Use the same units before comparing masses. Percentage difference from an accepted value is $100\times|m_{\text{predicted}}-m_{\text{accepted}}|/m_{\text{accepted}}$. State the reference value. In threshold questions, distinguish rest-energy supply from kinetic energy; do not use $p=mv$ for a photon or a particle close to $c$.

Check yourself

• Can you use signed impulse and two momentum components, then test kinetic energy separately?
• Can you derive centripetal acceleration and draw only actual forces?
• Can you distinguish field vectors, signed potential and energy changes?
• Can you choose the correct capacitor curve and use log slope or tolerance evidence?
• Can you explain induction as a change in linkage, including the opposing direction?
• Can you separate electric acceleration from magnetic steering and halve a cyclotron period correctly?
• Can you preserve particle symbols, conservation totals and energy/mass units?

The skill sheets develop these methods before authentic past-paper tasks. Original practice also covers requirements not sampled in the two recent papers. A short sample of authentic questions does not define the whole syllabus.

От ледяного блока до звезды

Ледяной блок, качающийся мост и далекая звезда связаны с энергией. Этот раздел объединяет молекулярное движение, ядерные изменения, колебания и астрономические наблюдения. Задача часто состоит не просто в вычислении числа, а в проверке утверждения: укажите модель, ведите единицы через расчет, затем сравните результат с утверждением.

WPH15 охватывает утверждения 125–171 выпуска Pearson Issue 3. Также используются блоки 1, 2 и 4. Проработайте листы 5.1–5.9 перед соответствующими им подлинными наборами. Используйте поставленные константы последовательно: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ и $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$, если вопрос не указывает иное локальное значение. Здесь $k_B$ — постоянная Больцмана; $k_s$ обозначает жесткость пружины.

Нагрев, фазовые переходы и калибровка термистора

Следите за энергией, а не только за температурой

Внутренняя энергия — это полная энергия хаотического движения и взаимодействия молекул: случайная кинетическая энергия плюс межмолекулярная потенциальная энергия. Она не включает кинетическую энергию всего тела при его совместном движении. Температура связана со средней случайной кинетической энергией молекул, а не с общей внутренней энергией. Два образца при одинаковой температуре могут иметь разную внутреннюю энергию из-за различий в их количестве и агрегатном состоянии.

Удельная теплоёмкость $c$ — это количество энергии, необходимое для нагревания одного килограмма вещества на один кельвин без изменения агрегатного состояния. Удельная теплота фазового перехода $L$ — это количество энергии, передаваемое на килограмм вещества во время определённого фазового перехода при постоянной температуре.

Разница температур в $1\ ^\circ\mathrm C$ равна разнице в $1\ \mathrm K$. Абсолютные температуры в законах газов и излучения должны быть выражены в кельвинах. При плавлении или кипении энергия изменяет молекулярную структуру и потенциальную энергию, в то время как температура остаётся постоянной при идеальном фазовом переходе при постоянном давлении. Ледяной пакет поглощает энергию от еды/окружения при таянии. Он не передаёт «энергию холода» в еду.

При постоянной мощности нагревателя более крутые графики зависимости температуры от времени указывают на меньшую $mc$, при условии, что тепловые потери незначительны. Горизонтальный участок не означает остановку теплопередачи. Для нагревателя подведённая энергия составляет $E_{\rm in}=Pt=VIt$; полезная тепловая энергия может быть меньше, так как часть энергии уходит в окружающую среду.

Пример решения. Кусок льда массой $0.40\ \mathrm{kg}$ при температуре $-10\ ^\circ\mathrm C$ превращается в воду при температуре $0\ ^\circ\mathrm C$. Используйте константы $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ и $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Известно: масса, начальная и конечная температуры, а также константы материала. Причина: нагрев твёрдого тела и его плавление — это отдельные процессы передачи энергии.

Пример решения. Нагреватель мощностью $1000\ \mathrm W$ испаряет массу $0.20\ \mathrm{kg}$ воды за время $600\ \mathrm s$. Найдите КПД, используя константу $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Для повторных циклов работы чайника рассчитайте общий объём воды, количество циклов и общее время работы. Сравните затраченную энергию за одинаковый интервал времени. Потери в режиме ожидания за сутки и энергия, необходимая для кипячения воды, — это разные величины; чётко формулируйте, какой именно результат устанавливается при данном сравнении.

CP12: калибровка термостата

Термистор — это резистор, сопротивление которого меняется в зависимости от температуры. Обычно используемый термистор с отрицательным температурным коэффициентом (NTC) уменьшает сопротивление при нагревании. В делителе напряжения:

Если термистор расположен как нижний резистор, а выходное напряжение снимается с него, то при нагреве выходное напряжение снижается. Обмен местами резисторов меняет эту тенденцию на обратную. Термостат переключается при заданном уровне выходного напряжения; сам по себе делитель напряжения не является полноценным переключающим устройством.

Для практической работы 12 поместите термистор и опорный термометр близко друг к другу в перемешиваемую водяную баню. Держите электрические контакты сухими и изолированными. При нескольких значениях температуры в пределах планируемого диапазона дождитесь теплового равновесия и запишите температуру и напряжение на делителе. Не изменяйте напряжение питания и сопротивление фиксированного резистора. Используйте вольтметр с высоким входным сопротивлением для снижения нагрузки. Постройте график зависимости выходного напряжения от температуры и интерполируйте значение напряжения для выбранной температуры переключения. Повторите измерения или сравните нагрев и охлаждение для выявления запаздывания. Не предполагайте линейную калибровку без доказательств. Используйте низкое напряжение и проявляйте осторожность с горячей водой.

CP13: измерение удельной теплоты фазового перехода

Подавайте известную электрическую мощность на вещество во время фазового перехода. Измерьте расплавленную или испарившуюся массу за определённый промежуток времени после стабилизации условий. Весы измеряют изменение массы; не путайте собранный объём жидкости с массой. Без учёта потерь формула $L=VIt/\Delta m$ предполагает, что вся подведённая энергия идёт на фазовый переход.

Полезная поправка заключается в сравнении двух мощностей при одной и той же температуре фазового перехода в установившемся режиме. Если мощность тепловых потерь примерно неизменна, вычитание двух результатов измерений позволяет исключить её влияние:

Укажите предположение о постоянной мощности потерь. Контрольное измерение плавления без нагревателя — ещё одна возможная поправка в подходящем эксперименте со льдом. Снизьте тепловые потери с помощью теплоизоляции там, где это безопасно; избегайте брызг, горячих поверхностей и ненадёжных подключений к сети.

Идеальные газы и молекулярная кинетическая энергия

Кельвин и модель идеального газа

Абсолютный ноль — это $0\ \mathrm K$, приблизительно $-273\ ^\circ\mathrm C$. Это нижний предел термодинамической температуры. В классической модели идеального газа средняя поступательная кинетическая энергия стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Реальные газы конденсируются до того, как достигается эта экстраполяция; не утверждайте, что молекулы в каждом реальном веществе теряют всю возможную энергию.

Абсолютная температура измеряется в кельвинах: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ с точностью, обычно используемой здесь. Идеальный газ состоит из частиц пренебрежимо малого объема, без межмолекулярных взаимодействий, кроме упругих столкновений, и хаотичного движения. Давление возникает за счет изменения импульса при ударах о стенки.

Здесь $N$ — число молекул, а не количество вещества (моль). Используйте давление в паскалях, объем в кубических метрах и температуру в кельвинах. При постоянном числе молекул:

При постоянном объеме давление пропорционально температуре в кельвинах. При постоянной температуре $pV$ остается неизменным. Учитывайте внешнее атмосферное давление, если манометр показывает избыточное давление относительно атмосферы.

Разобраный пример. Жесткий сосуд объемом $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ содержит газ при давлении $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ и температуре $300\ \mathrm K$. Найдите количество вещества $N$ и давление после нагрева до температуры $360\ \mathrm K$.

Если масса одной молекулы равна $m_0$, то общая масса газа составляет $Nm_0$. Для сферы сначала найдите объем $V=4\pi r^3/3$; радиус равен половине диаметра.

Выведите соотношение для энергии молекул

Соотношение давления кинетической теории имеет вид $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, где $\langle c^2\rangle$ — среднеквадратичная скорость. Оно выводится из упругого изменения импульса при ударах о стенку и равенства средней квадрата скорости в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Среднеквадратичная скорость равна $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; она не является квадратом средней скорости.

Для куба со стороной $l$ одна молекула с компонентой скорости $c_x$ меняет импульс стенки на величину $2m_0c_x$ при каждом упругом ударе. Время возвращения той же молекулы к этой стенке равно $2l/c_x$. Следовательно, её средняя сила равна $m_0c_x^2/l$. Суммируйте по всем молекулам и разделите на площадь стенки $l^2$:

Хаотичное движение одинаково распределено между перпендикулярными направлениями, поэтому $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Это дает вышеуказанное соотношение давления. Приравняйте два выражения для $pV$, сократите $N$ и преобразуйте:

При данной температуре различные виды газов имеют одинаковую среднюю поступательную кинетическую энергию, но более легкие молекулы обладают большей среднеквадратичной скоростью. Если скорость увеличивается вдвое при той же температуре, масса молекулы уменьшается в четыре раза. Нагрев увеличивает среднюю кинетическую энергию молекул, но не делает скорость каждой отдельной молекулы одинаковой.

CP14: давление и объем при постоянной температуре

Запертите фиксированное количество газа в шприце или калиброванном цилиндре, подключенном к датчику давления. Проверьте калибровку и используйте абсолютное давление. Учитывайте мертвый объем соединительных трубок, если он значителен. Изменяйте объем постепенно, ожидайте после каждого изменения восстановления температуры до комнатной, затем запишите несколько пар значений «давление–объем». Не допускайте утечки газа. График зависимости $p$ от $1/V$ должен быть прямой линией, проходящей через начало координат, с учетом погрешности. Кривая зависимости $p$ от $V$ прямой линией не является. Избегайте чрезмерного давления и обеспечьте надежное соединение. Быстрое сжатие нагревает газ и нарушает условие постоянной температуры.

Энергия связи, деление и синтез ядер

Дефект массы — это разность энергий

Ядро содержит $Z$ протонов и $A-Z$ нейтронов. Его масса меньше суммы масс этих свободных нуклонов. Этот дефект массы соответствует энергии связи, необходимой для полного расщепления ядра на свободные нуклоны:

Здесь $c_0$ — скорость света, которую следует отличать от удельной теплоемкости. Единица атомной массы равна $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Перед вычитанием переведите все массы в одну единицу измерения. Ядерные массы и массы нейтральных атомов не являются взаимозаменяемыми без учета электронов. Используйте именно те значения масс, которые указаны в задаче.

Разобраный пример. У ядра дефект массы равен $0.030\ \mathrm u$, а число нуклонов — $A=4$. Найдите энергию связи на один нуклон.

Почему синтез и деление могут выделять энергию

Кривая энергии связи на нуклон резко возрастает для лёгких ядер, достигает максимума вблизи железа/никеля, затем плавно убывает для тяжёлых ядер. Большая энергия связи на нуклон обычно означает более тугую связь нуклонов. При сравнении точек важно смотреть на вертикальное значение, а не только на массовое число.

Ядерный синтез объединяет лёгкие ядра. Ядерное деление расщепляет тяжёлое ядро на более мелкие продукты, часто с выделением нейтронов. Энергия выделяется, когда суммарная энергия связи продуктов больше, а суммарная масса покоя меньше, чем у исходных частиц. Для реакции вычисляйте разность полных масс, а не просто разницу между значениями энергии связи на нуклон. Полная энергия сохраняется.

Для синтеза требуется очень высокая температура, чтобы ядра имели достаточную кинетическую энергию для преодоления электростатического отталкивания, и высокая плотность/удержание, чтобы обеспечить достаточное количество столкновений и поддерживать выделение энергии. Температура и плотность играют разные роли. Простого упоминания «высокого давления» недостаточно для объяснения преодоления отталкивания.

Излучение, фон и распад

Выбор излучения по типу взаимодействия

Альфа-излучение состоит из ядер гелия: сильно ионизирующее, короткодействующее, останавливается листом бумаги или несколькими сантиметрами воздуха. Бета-излучение состоит из электронов или позитронов: менее ионизирующее, более проникающее, обычно останавливается несколькими миллиметрами алюминия. Гамма-излучение — это электромагнитное излучение: слабо ионизирующее и высокопроникающее; свинец или бетон снижают его интенсивность, но не создают чёткой предельной толщины остановки.

В облачной камере следы альфа-частиц толстые в основном из-за сильной ионизации и относительно прямые, так как частицы имеют большую массу по сравнению с бета-частицами. Следы бета-частиц тоньше и легче отклоняются. Не меняйте местами эти объяснения. Бета-излучение может использоваться для контроля толщины бумаги, поскольку часть проходит сквозь неё, а часть поглощается; изменение толщины меняет скорость передачи импульсов.

В ядерных уравнениях сохраняются число нуклонов и зарядовое число. Бета-минус распад превращает нейтрон в протон; массовое число остаётся прежним, а атомный номер увеличивается на единицу. Включайте антинейтрино там, где это необходимо, как в разделе 4:

Альфа-распад уменьшает $A$ на четыре и $Z$ на два. Гамма-излучение не изменяет ни $A$, ни $Z$. Ядерные уравнения сохраняют не только эти два числа: также важны энергия и импульс.

Правильный учёт фона перед применением модели

Фоновое излучение исходит от таких источников, как горные породы, космические лучи и окружающая среда. Измеряйте его достаточно долго при отсутствии исследуемого источника. Вычтите фоновую скорость счёта из каждого показания, включающего фон. Сохраняйте согласованность единиц времени счёта. Исправленная скорость счёта детектора пропорциональна активности источника только при неизменной геометрии и эффективности регистрации; она автоматически не является активностью в беккерелях.

Разобранный пример. Детектор показывает读数 $62\ \mathrm{min^{-1}}$ на расстоянии $r$, включая фоновый уровень $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Предскажите общую скорость счётчика на расстоянии $2r$ для малого изотропного гамма-источника с пренебрежимо малым поглощением.

Не делите фон на четыре: он не полностью исходит от исследуемого источника.

Случайные события, предсказуемые популяции

Радиоактивный распад спонтанен: нестабильное ядро распадается без внешнего триггера. Он случаен: точное время распада отдельного ядра предсказать невозможно. Большая популяция имеет предсказуемую статистическую закономерность распада. Активность $A$ — это число распадов в секунду, измеряется в беккерелях, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

Постоянная распада $\lambda$ — это вероятность распада за единицу времени для ядра. Период полураспада $t_{1/2}$ — это время, за которое не распавшаяся популяция или активность в среднем уменьшается вдвое.

Через один период полураспада $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Логарифмирование даёт:

Логарифмическая зависимость активности от времени имеет наклон $-\lambda$. Берите логарифмы исправленных скоростей, а не показаний источник плюс фон. Прочитайте несколько интервалов периода полураспада с графика и усредните; измеряйте от уровня исправленной активности, а не от нуля общего количества импульсов.

Разбор примера. Источник имеет период полураспада $3.0\ \mathrm{years}$. Когда активность упадёт до $2.0\%$ от начального значения?

Используйте дробь, а не $2.0$ внутри логарифма. Если вычисляется мощность радиоактивного источника $P=A E_{\rm decay}$ с энергией на один распад в джоулях. Это выделяемая ядерная мощность; полезный электрический выход может быть меньше. Переведите период полураспада в секунды, когда активность должна быть выражена в беккерелях.

CP15: поглощение гамма-излучения свинцом

Удерживайте источник, поглотитель и детектор в фиксированных положениях. Измерьте фоновое излучение, затем количество импульсов за равные известные интервалы для нескольких общих толщин свинца. Повторите или увеличьте время подсчёта, так как количество импульсов колеблется. Вычтите фоновую скорость перед сравнением передачи. Если каждая равная толщина даёт одинаковое доля уменьшения, затухание является экспоненциальным; график логарифма скорректированной скорости от толщины примерно прямой. Три половины значений толщины передают $1/8$, а не $1/3$.

Постоянная поглощения материала — это не постоянная временного распада источника. Избегайте показаний, слишком близких к фону, где вычитание даёт большую относительную неопределённость. Обращайтесь с источниками с использованием указанных инструментов под надзором, соблюдайте дистанцию, минимизируйте время воздействия и возвращайте их в защитную оболочку. Никогда не касайтесь источника и не направляйте его на людей. Поддерживайте чистоту при работе со свинцом и мойте руки.

Простые гармонические колебания, графики и энергия

Условие восстанавливающей силы

Простые гармонические колебания (ШГК) возникают, когда результирующее ускорение пропорционально смещению от фиксированного положения равновесия и направлено к нему:

Знак минус указывает направление восстанавливающей силы. Постоянная скорость, само повторение или сила, просто направленная к центру, не определяют ШГК. Для вертикально подвешенной пружины измеряйте $x$ от положения равновесия под нагрузкой. Вес уже скомпенсирован там; результирующая сила для смещения составляет $-k_sx$.

Для освобождения из положительного максимального смещения в $t=0$:

Здесь $A_0$ — амплитуда, а не радиоактивная активность. Фаза зависит от выбранного начального момента времени; синусоидальное смещение может описывать то же движение с другим началом координат. Продифференцируйте графически: наклон графика смещение–время равен скорости, а наклон графика скорость–время равен ускорению. При максимальном смещении скорость равна нулю, а ускорение направлено обратно к положению равновесия. В положении равновесия скорость наибольшая, а ускорение равно нулю.

Разбор примера. График показывает амплитуду $0.030\ \mathrm m$ и период $0.50\ \mathrm s$. Найдите максимальную скорость и ускорение.

Альтернативно найдите максимальную скорость по касательной к графику смещения в точке равновесия. Переведите сантиметры в метры. Отрицательный прямой $a$–$x$ наклон равен $-\omega^2$, поэтому возьмите его отрицательное значение перед извлечением квадратного корня.

Периоды и энергия

Для массы на идеальной пружине и для математического маятника при малых углах:

Длина маятника — от точки подвеса до центра грузика. Период малых углов не зависит от массы грузика. Отношение периодов для одной неизменной пружины даёт $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Используйте общую новую массу перед нахождением добавленной массы.

Разбор примера. Масса $0.50\ \mathrm{kg}$ имеет период $0.80\ \mathrm s$. Добавленная масса увеличивает период до $1.00\ \mathrm s$ на той же пружине.

Для незатухающего пружинного осциллятора энергия перетекает между запасами упругой потенциальной и кинетической энергии:

Таким образом, график $E_k$–$x$ представляет собой перевернутую параболу: ноль при $\pm A_0$, положительный максимум при $x=0$. График $E_p$–$x$ открывается вверх. Их сумма постоянна в незатухающей модели. В затухающей системе энергия переносится наружу, поэтому амплитуда уменьшается. Полная энергия, включая окружающую среду, сохраняется.

CP16: определение неизвестной массы по резонансу

Используйте ту же пружину/опорную систему. Подвесьте несколько известных масс, приводите их в движение с малыми колебаниями и изменяйте частоту, чтобы найти наибольшую установившуюся амплитуду для каждой массы. Запишите резонансную частоту, медленно проходя вокруг каждого пика. При слабом затухании она приближается к собственной частоте. Постройте график $1/f^2$ от суммарной известной массы; модель пружины дает наклон градиента $4\pi^2/k_s$. Используйте калибровку для определения неизвестной массы по ее резонансной частоте.

Учитывайте подвес (держатель) и, где это существенно, эффективную движущуюся массу самой пружины. nonzero intercept может представлять этот вклад; не заставляйте линию проходить через начало координат без обоснования. Держите амплитуды малыми и ниже упругого предела. Надежно закрепите массы и стойку, держите ноги в стороне. Измерение свободных периодов может дать полезное независимое сравнение, но указанная практическая работа использует резонансные частоты.

Вынужденные колебания, резонанс и затухание

Свободные колебания следуют за начальным возмущением без продолжительного периодического возбуждения. Вынужденные колебания поддерживаются периодической вынуждающей силой; их установившаяся частота равна частоте возбуждения. Собственная частота — это частота свободных колебаний системы при stated условиях.

Резонанс возникает, когда частота возбуждения совпадает или близка к собственной частоте, что обеспечивает эффективный перенос энергии и большую установившуюся амплитуду. Это не означает «максимальную частоту». Для слабо затухающей системы пик амплитуды находится рядом с незатухающей собственной частотой. Увеличение затухания снижает и расширяет пик; не представляйте каждый затухающий пик как точно совпадающий с незатухающей собственной частотой.

Затухание отводит энергию от колебаний, например, через работу сопротивления, увеличивающую тепловую энергию демпферов и окружающей среды. Сильное затухание может уменьшить опасное движение мостов/зданий. Пластическая деформация пластичного материала также необратимо поглощает механическую энергию; чисто упругая деформация возвращает запасенную энергию и не является тем же механизмом.

Разбор решения. Люди, идущие по мосту, создают периодическую вынуждающую силу. Если её частота близка к собственной частоте, энергия эффективно передается мосту, и амплитуда увеличивается. Демпферы совершают работу против движения, переводя энергию колебаний в тепловые запасы, поэтому установившаяся амплитуда ограничена. Связывайте причину и следствие в этом порядке, а не перечисляйте «резонанс, энергия, затухание».

Для той же формы и амплитуды добавление массы к легкому маятнику увеличивает его запасенную механическую энергию, в то время как идеальный период при малых углах остается неизменным. При сопоставимых потерях на сопротивление он может терять меньшую долю энергии за цикл. Это контекстное сравнение затухания не доказывает, что каждый более тяжелый осциллятор всегда затухает медленнее.

Гравитационные поля и орбиты

Поле и потенциал имеют разные значения

Гравитационное поле — это область, где масса испытывает силу. Гравитационная напряженность поля $g=F/m$ — это сила на единицу пробной массы. Это вектор, направленный к изолированному источнику массы. Закон Ньютона для точечных масс, или вне сферически симметричного источника, гласит:

$r$ — это расстояние между центрами, а не высота над поверхностью. Для локального движения вблизи Земли постоянная $g$ может быть подходящей. На больших радиальных расстояниях она не является постоянной.

Гравитационный потенциал — это потенциальная энергия на единицу массы, с нулем на бесконечности:

Потенциал скалярен и отрицателен на конечном расстоянии. Движение наружу делает его менее отрицательным, поэтому потенциальная энергия увеличивается, пока притягивающая сила ослабевает. Значение на графике потенциала и соответствующий ему радиус дают $M=-Vr/G$.

Гравитационные и электрические поля оба являются радиальными для изолированных точечных источников, и их силы подчиняются законам обратных квадратов. Гравитация действует на массу и в этой модели является притягивающей. Электрическая сила действует на заряд и может притягивать или отталкивать. Направление электрического поля следует силе, действующей на положительную пробную массу; отрицательный заряд вынуждается противоположным образом.

Разобранный пример. Спутник $1000\ \mathrm{kg}$ движется от радиуса $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ до $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ вокруг Земли, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Найдите изменение его потенциальной энергии.

Положительный знак — конечное минус начальное. Это не полная энергия запуска, так как кинетическая энергия также может измениться. $mg\Delta h$ с постоянной поверхностной $g$ неподходящ на этом расстоянии.

Вывод круговой орбиты

Гравитационная сила обеспечивает результирующую силу, направленную к центру:

Масса спутника сокращается. Период возрастает с увеличением радиуса. Чтобы спутник оставался неподвижным над одной точкой вращающейся планеты, ему необходима круговая экваториальная орбита, совпадающее направление вращения и одинаковая угловая скорость/период. Совпадения периода недостаточно.

Разобранное решение. Для $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ и периода $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$ найдите радиус геостационарной орбиты.

Вычитайте радиус планеты только если требуется найти высоту над поверхностью. Для поля поверхности звезды используйте её радиус, а не указанный диаметр; проверяйте утверждения о поле, кратном земному, вычислением отношения.

Звёздное излучение, расстояния и эволюция

Температура, светимость и принимаемая интенсивность

Чёрное тело поглощает всё падающее электромагнитное излучение и является идеальным тепловым излучателем. Его непрерывный спектр имеет характерную форму. Увеличение температуры увеличивает полную излучаемую мощность на единицу площади и смещает пик длины волны в сторону более коротких длин волн. Площадь под кривой спектральной интенсивности представляет полную интенсивность только при соответствующем определении спектральной оси.

Светимость $L_\star$ — это полная излучаемая мощность. Интенсивность $I$, принимаемая на расстоянии $d$, — это мощность на единицу площади приёмника. Для сферического чёрного тела-звезды радиуса $R$, излучающего во всех направлениях одинаково:

Первая площадь — это поверхность излучения; вторая — расширяющаяся сфера приёмника. Не подставляйте расстояние наблюдателя в площадь поверхности звезды. Реальные излучатели могут быть не идеальными чёрными телами, а промежуточный материал может поглощать излучение.

Постоянная Вина, указанная в задаче, описывает спектр на единицу длины волны. Максимум спектра, построенного на единицу частоты, не превращается в максимум по длине волны простой заменой $\lambda$ на $c_0/f$. Если экзамен предоставляет частоту, соответствующую указанной пиковой длине волны, преобразуйте эту длину волны с помощью $c_0=f\lambda$. Не превращайте эту конкретную задачу в общее правило для любого спектрального графика.

Разобранное решение. Спектр длины волны звезды имеет максимум при $580\ \mathrm{nm}$, а её радиус равен $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Найдите температуру, светимость и интенсивность на расстоянии $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.

Сохраняйте неточенную температуру, так как она возводится в четвёртую степень. Сравните принимаемую интенсивность с указанным эталоном перед принятием утверждений о температуре планеты или мощности.

Два метода определения расстояний

Тригонометрический параллакс измеряет кажущееся угловое смещение близкой звезды на фоне далёких звёзд при движении Земли вокруг Солнца. Наблюдения через шесть месяцев используют базу в два радиуса земной орбиты. Угол параллакса $p$ составляет половину общего смещения. Для малых $p$ в радианах расстояние равно $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Парсек — это расстояние, дающее параллакс $1$ угловой секунды; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Не используйте диаметр Земли или Солнца в качестве орбитальной базы.

На больших расстояниях $p$ становится слишком малым для точного измерения прибором. Ограничение связано с угловым разрешением/относительной неопределённостью, а не обязательно с тем, что звезда невидима.

Стандартная свеча — объект известной светимости. Определите одну в скоплении, измерьте принимаемую интенсивность и используйте $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Её видимая яркость не предполагается известной заранее. Цефеиды-переменные имеют откалиброванную зависимость между периодом и светимостью. Измерьте несколько полных периодов светового кривой, разделите их количество, внимательно прочитайте калибровку и переведите любые единицы солнечной светимости. Прямая линия на логарифмических осях не является автоматически линейной зависимостью между исходными величинами.

Разобранное решение. Стандартная свеча имеет светимость $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ и принимаемую интенсивность $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

Чтение диаграммы Герцшпрунга–Рассела

Диаграмма Герцшпрунга–Расселла показывает светимость по вертикали и температуру поверхности по горизонтали, обычно с убывающей температурой вправо и логарифмическими шкалами. Главная последовательность простирается от горячих, ярких звёзд в верхнем левом углу до холодных, тусклых звёзд в нижнем правом. Красные гиганты — холодные, но яркие из-за большой площади поверхности. Белые карлики — горячие, но тусклые из-за малой площади поверхности. Отметьте Солнце рядом со значением одной солнечной светимости и примерно $5800\ \mathrm K$ на главной последовательности.

Звёзды образуются, когда гравитация сжимает облако газа и пыли. Ядро нагревается, пока термоядерный синтез водорода не начнёт поддерживать главную последовательность; outward давление уравновешивает гравитацию. В звезде, подобной Солнцу, водород в ядре со временем истощается, синтез там замедляется, и гравитация сжимает ядро. Температура ядра растёт; горение водородной оболочки и более поздний синтез гелия связаны с расширением до красного гиганта. Внешние слои теряются, оставляя ядро белого карлика без устойчивого синтеза. Оно охлаждается в течение очень долгого времени. Солнце не станет сверхновой или нейтронной звездой.

Звезда значительно большей массы может синтезировать более тяжёлые элементы на последующих этапах. Когда её ядро больше не получает энергию от синтеза, коллапс и сверхновая могут оставить нейтронную звезду или чёрную дыру в зависимости от остатка. Массивная звезда главной последовательности имеет больше топлива, но потребляет его гораздо быстрее из-за более высокого ядра. Поэтому её время жизни на главной последовательности может быть короче. Объясните скорость синтеза, а не только количество топлива. Трек на диаграмме Герцшпрунга–Расселла показывает изменение температуры/светимости, а не движение звезды в пространстве.

Сдвиги Доплера и космология

Сравнение одной спектральной линии

Эффект Доплера — это изменение наблюдаемой частоты/длины волны, вызванное относительным движением вдоль линии зрения. Последующие волновые фронты приходят дальше друг от друга от удаляющегося источника и ближе друг к другу от приближающегося. Удаление даёт бо́льшие длины волн и меньшие частоты; приближение — меньшие длины волн и большие частоты. Чисто перпендикулярное движение относительно линии зрения не является скоростью удаления в простой модели.

Для электромагнитного излучения при низких скоростях удаления:

Красное смещение $z$ положительно для удаления. Для малых смещений его величина также приблизительно равна относительному уменьшению наблюдаемой частоты по сравнению с испущенной частотой. Укажите правило знаков: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ отрицательно для удаления. Не приравнивайте положительное красное смещение к знаковой увеличению частоты. Приближение $v/c_0$ не является общей формулой релятивистской скорости.

Разобранный пример. Линия, испущенная на $500\ \mathrm{nm}$, наблюдается на $505\ \mathrm{nm}$.

Чтобы использовать линии поглощения звезды, вспомните Раздел 2: фотоны поглощаются только тогда, когда их энергии соответствуют разрешённым разностям уровней атома. Сравнивайте одну и ту же идентифицированную спектральную линию, а не два разных элемента.

Для противоположных краёв вращающейся звезды один приближается, а другой удаляется. Если их смещения равны по модулю и противоположны по знаку, расстояние между двумя наблюдаемыми длинами волн вдвое больше смещения любого края. Уменьшите это расстояние вдвое перед вычислением экваториальной скорости. Затем используйте $T=2\pi R/v$. Это предполагает, что наблюдаемая скорость края вдоль линии зрения представляет собой скорость вращения экватора при указанной геометрии наблюдения.

Закон Хаббла и его ограничения

На больших космологических масштабах скорость удаления приблизительно следует закону Хаббла:

Постоянная Хаббла $H_0$ имеет размерность обратной величины времени. В $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ переведите километры в метры и мегапарсеки в метры перед взятием обратной величины в секундах. Близкие объекты могут иметь локальные движения, которые не следуют крупномасштабной зависимости.

Разобранный пример. Используйте $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ и $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ для оценки временной шкалы расширения.

Обратная величина — это время Хаббла. Интерпретация его как возраста предполагает модель прошлой скорости расширения; это не точный возраст, независимый от модели. Бо́льшее значение $H_0$ даёт меньшую обратную временную шкалу. Доказательства расширения поддерживают идею о более плотной и горячей Вселенной в прошлом; они не описывают взрыв в уже существующее центрально-окружающее пространство.

Тёмная материя выводится из гравитационных эффектов, которые видимая материя одна объяснить не может, таких как вращение галактик и их движение. Она не обязательно излучает обнаруживаемый свет. Количество гравитирующей материи влияет на то, как изменяется расширение, поэтому неопределённость в содержании материи и модели расширения влияет на прогнозы судьбы Вселенной. Не выводите, что одно измерение $H_0$ само по себе доказывает вечное расширение или будущее коллапс. Современные модели также учитывают тёмную энергию; исход 171 требует понимания дискуссий вокруг $H_0$, тёмной материи, возраста и судьбы, а не заучивания одного неограниченного прогноза.

Проверьте себя

1. Почему внутренняя энергия может увеличиваться без повышения температуры во время фазового перехода?
2. Ограниченное количество газа нагревается в жёстком сосуде. Какую шкалу температур необходимо использовать для сравнения давлений?
3. Означает ли большая энергия связи на нуклон, что для разделения каждого нуклона требуется меньше или больше энергии в среднем?
4. Почему фоновое излучение должно быть вычтено перед использованием отношения скоростей счёта или логарифма?
5. Прямая $a$–$x$ имеет угловой коэффициент $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Найдите циклическую частоту.
6. Почему максимальная скорость при гармонических колебаниях достигается в положении равновесия, хотя ускорение там равно нулю?
7. Почему затухающий мост можно привести в движение на той же частоте, но он будет колебаться с меньшей амплитудой?
8. Увеличивает или уменьшает перемещение спутника на большую орбитальную радиус его знаковое гравитационное потенциальное энергию?
9. Звезда горячая, но тусклая. Какой регион диаграммы Герцшпрунга — Расселла вероятен, и что может объяснить её низкую светимость?
10. При использовании разности длин волн противоположных вращающихся дисков звезды почему необходим множитель два?

Ответы: (1) изменяется молекулярная потенциальная энергия; (2) кельвин; (3) больше; (4) фон не подчиняется закону убывания/расстояния источника; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) возвращающая равнодействующая там равна нулю, но энергия преимущественно кинетическая; (7) большие потери энергии ограничивают установившуюся амплитуду; (8) увеличивается towards zero (стремится к нулю); (9) белый карлик, малая площадь излучающей поверхности; (10) один диск смещён в синюю область спектра, другой — в красную.