От столкновения к ускорителю частиц
Автомобильный бампер и детектор частиц кажутся совершенно разными. Оба используют импульс и силы. В этом модуле эти идеи развиваются в направлении кругового движения, электрических и магнитных полей, а также взаимодействий частиц.
WPH14 оценивает требования 81–124 спецификации по теме 3. Также можно использовать знания из модулей 1–2. Используйте семь листов навыков последовательно. Проверяйте единицы измерения, направления и предположения, лежащие в основе каждого уравнения. Знакомое уравнение может дать неверный ответ, если его модель не соответствует задаче.
Импульс силы и двухмерные столкновения
Сила изменяет импульс
Импульс — это векторная $\mathbf p=m\mathbf v$. Перед использованием знаков выберите положительное направление. Импульс силы равен изменению импульса. Для постоянной силы или средней силы за интервал:
Изменяющаяся сила создает импульс, равный алгебраической площади под её графиком зависимости от времени. Площадь треугольного импульса составляет $\frac12\times\text{base}\times\text{height}$. Площадь ниже оси времени отрицательна. Максимальная сила не обязательно является средней силой.
Разобранное решение. Мяч массой $0.20\ \text{kg}$ движется к стене со скоростью $+6.0\ \text{m s}^{-1}$. Он отскакивает со скоростью $-4.0\ \text{m s}^{-1}$. Контакт длится $0.050\ \text{s}$. Найдите среднюю силу, действующую на мяч.
- Дано: масса, алгебраические значения начальной и конечной скоростей, время контакта.
- Почему: импульс силы изменяет импульс мяча; отскок меняет знак скорости.
Сила направлена противоположно выбранному положительному направлению. Стена испытывает силу, направленную в противоположную сторону. Деформируемый бампер или шлем увеличивают время торможения. При том же изменении импульса средняя сила уменьшается. Однако изменение импульса не исчезает.
Сохраняйте каждую компоненту импульса
Изолированная система не подвергается значимому внешнему импульсу во время события. Её полный импульс сохраняется. Внутренние силы компенсируют друг друга парами. Закон сохранения импульса не требует сохранения кинетической энергии.
Для столкновения в плоскости разложите каждый импульс на две перпендикулярные оси:
Используйте угол, измеренный от выбранной оси. Учитывайте знаки; если вверх — положительное направление, то компонента вниз будет отрицательной. Не складывайте модули импульсов, когда направления различны.
Разбор примера. Шарик массой $0.10\ \text{kg}$, движущийся со скоростью $2.0\ \text{m s}^{-1}$, ударяет о два неподвижных шарика массой $0.10\ \text{kg}$ каждый. Он останавливается. Два других улетают симметрично под углом $1.2\ \text{m s}^{-1}$, образуя углы $+\theta$ и $-\theta$ к первоначальному направлению. Найдите угол между ними и классифицируйте столкновение.
- Почему: поперечные импульсы компенсируются симметрией; продольный импульс дает $\theta$.
При упругом столкновении сохраняются как полный импульс, так и полная кинетическая энергия. При неупругом столкновении кинетическая энергия не сохраняется; часть её переходит в другие формы энергии.
Данное столкновение неупругое. Полная энергия при этом сохраняется. В обычном пассивном столкновении кинетическая энергия не может возрасти без дополнительного источника энергии.
Для нерелятивистской частицы используйте $p=mv$ и $E_k=\frac12mv^2$. Подстановка $v=p/m$ дает:
При одинаковой кинетической энергии $p=\sqrt{2mE_k}$: больший импульс имеет тело с большей массой. При одинаковом импульсе тело с большей массой обладает меньшей кинетической энергией. Эти уравнения неприменимы для частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости света.
Основные практические работы 9 и 10
Для основной практической работы 9 используйте тележку, датчик силы и логгер данных. Измерьте массу тележки и скорости непосредственно до и после контакта с помощью световых затворов или датчика движения. Запишите импульс силы во времени с частотой дискретизации, достаточной для разрешения его формы. Обнулите датчик силы; используйте согласованные оси для силы и скорости. Вычислите площадь под графиком (импульс) и сравните её со значением из $m(v-u)$. Повторите измерения при различных силах удара или скоростях. График зависимости импульса от изменения импульса должен иметь наклон, близкий к единице. Трение, смещение нуля датчика и пропуск фрагментов импульса могут привести к расхождениям. Надежно закрепите рельсы и обеспечьте безопасную остановку тележки.
Для практической работы 10 зафиксируйте столкновение малых шариков на горизонтальной поверхности с помощью камеры сверху. Включите масштаб длины в плоскость столкновения и известную частоту кадров. Держите камеру перпендикулярно для уменьшения перспективных искажений. Отслеживайте центры за несколько кадров до и после короткого столкновения. Преобразуйте смещения в пикселях в метры, а интервалы кадров — в секунды. Определите обе компоненты скорости, затем сравните компоненты суммарного импульса и кинетические энергии. Повторите с разными направлениями приближения. Учитывайте неопределенности, связанные с положением, временем и калибровкой масштаба. Небольшое расхождение в пределах неопределенности не является доказательством нарушения закона сохранения импульса. Удерживайте шарики в границах области, чтобы они не упали и не стали причиной скользкости.
Круговое движение
Угол, угловая скорость и касательная скорость
Угол в один радиан опирается на дугу, равную радиусу. Следовательно, $\theta=s/r$, где угол выражен в радианах. Один полный оборот составляет $2\pi$ радиан или $360^\circ$.
Угловая скорость характеризует быстроту изменения угла поворота. Для задач в плоскости здесь используйте ее знак или модуль в зависимости от контекста. Все точки жесткого диска имеют одинаковую угловую скорость. Точки, расположенные дальше от центра, обладают большей касательной скоростью. Направления их векторов скорости также изменяются при движении по окружности.
Разбор примера. Колесо вращается со скоростью $120$ оборотов в минуту. Найдите угловую скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии $0.25\ \text{m}$ от центра.
Сохраняйте точное (неокругленное) значение угловой скорости в ходе вычислений. Используйте радиус, а не диаметр.
Почему ускорение направлено внутрь
Равномерное движение по окружности характеризуется постоянной скоростью, но меняющимся вектором скорости. Нарисуйте начальный и конечный векторы касательной скорости. Их изменение равно $\Delta\mathbf v=\mathbf v_2-\mathbf v_1$, а не сумме. Для малого изменения угла треугольник скоростей подобен треугонику радиусов:
В этом пределе вектор изменения скорости направлен к центру. Следовательно, необходима результирующая центростремительная сила:
Центростремительная сила — это название результирующей реальных сил. Это не дополнительная сила, которую нужно добавлять на схему действующих сил. Трение может обеспечивать эту силу на диске. Натяжение нити может обеспечивать её для мяча на веревке.
Запишите уравнение реальных сил
Для одежды, прижатой к внутренней стенке вертикального барабана, сила тяжести всегда направлена вниз. Нормальная реакция барабана направлена к центру. При постоянной скорости:
Требуемая равнодействующая имеет ту же величину, но реакция больше в нижней точке. При потере контакта поверхность не может обеспечить тянущую нормальную реакцию. Проверьте это перед использованием модели кругового пути.
Для горизонтального поворотного стола максимально доступное трение должно быть не менее $mr\omega^2$. Если максимальное трение равно $mg/25$:
Масса сокращается, так как как требуемые, так и доступные силы пропорциональны массе. Если inward force исчезает, движение первоначально следует по касательной. Гравитация затем может искривить дальнейший траекторию; «касательная» описывает направление высвобождения.
Электрические поля и потенциал
Сила и потенциал описывают разные величины
Электрическое поле — это область, где заряженная частица испытывает силу. Напряжённость электрического поля — это сила, приходящаяся на единицу положительного пробного заряда:
Её единицы измерения — $\text{N C}^{-1}$ или $\text{V m}^{-1}$. Положительный заряд испытывает силу вдоль направления поля; отрицательный — противоположно ему.
Электрический потенциал — это потенциальная энергия на единицу заряда относительно выбранного эталона. Для заряда $q$, перемещённого на разность потенциалов:
Потенциал — скалярная величина; поле — векторная. Точка с нулевым потенциалом не обязательно имеет нулевое поле. Сложение алгебраических потенциалов отличается от сложения векторов напряжённости.
Радиальное и однородное поля
Для точечных зарядов или вне изолированного заряженного проводящего шара, при $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$:
Здесь $r$ — расстояние между центрами зарядов; расстояния до шара отсчитываются от его центра. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые — притягиваются. Потенциал принимает знак $Q$, если ноль принят на бесконечности.
Между большими параллельными пластинами, вдали от краёв, поле приблизительно однородно:
Поле направлено от более высокого потенциала к более низкому. Расстояние между пластинами $d$ перпендикулярно им. Эквипотенциальная поверхность имеет одинаковый потенциал во всех точках. Линии поля пересекают эквипотенциали под прямым углом. Движение вдоль одной из них не изменяет электрическую потенциальную энергию.
Радиальное поле является отрицательным градиентом потенциала: $E_r=-\mathrm dV/\mathrm dr$. Для положительного источника знаковая площадь под его кривой $E$–$r$ от $r$ до бесконечности равна $V(r)$. Площадь от нуля до $r$ не является этим потенциалом. В однородном поле близкие равномерно расположенные уровни потенциала означают более сильное поле.
Разобранное решение. Сфера радиусом $0.20\ \text{m}$ имеет потенциал $9.0\ \text{kV}$. Найдите заряд и поле на расстоянии $0.30\ \text{m}$ от её центра. Используйте $k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}$.
Используйте радиус поверхности для нахождения заряда, а затем новое расстояние от центра для определения поля. Не используйте расстояние поверхности для второго шага.
Сравните электрические и гравитационные силы
A stationary charged oil drop can satisfy $|q|E=mg$. Use $m=\rho\mathcal V$ if density and volume are given. Divide the charge magnitude by $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$ to test whether it is close to an integer multiple. Charge sign follows the direction of force required, not its magnitude alone.
Чтобы поднять сферическую частицу, сравните $qE$ с $\rho(4\pi r^3/3)g$. Радиус равен половине указанного диаметра. Вычисленный максимальный диаметр является пороговым значением: выберите наибольший указанный диаметр, меньший этого порога. На наклонной панели нормальная составляющая веса равна $mg\cos\theta$. Электрическая сила, действующая перпендикулярно панели, должна преодолеть эту составляющую, чтобы оторвать частицу; гравитация также имеет компоненту, направленную вдоль наклона.
Конденсаторы и RC-цепи
Накопление заряда и энергия
Конденсатор накапливает разделённые заряды на двух проводниках. В идеальной модели двухпластинчатого конденсатора они несут равные по величине и противоположные по знаку заряды. Указанный заряд $Q$ — это величина заряда на одной пластине, а не сумма величин зарядов обеих пластин. Ёмкость — это заряд, приходящийся на единицу разности потенциалов:
Один фарад равен одному кулону на вольт. При постоянной ёмкости график зависимости заряда от напряжения $V$–$Q$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с градиентом $1/C$. Площадь под этим графиком показывает работу, необходимую для переноса заряда на конденсатор:
Коэффициент одна вторая появляется потому, что напряжение (p.d.) возрастает от нуля в то время как происходит перенос заряда. Он не равен $QV$ при конечном напряжении на протяжении всей зарядки. Для разряда между ненулевыми напряжениями вычтите одну накопленную энергию из другой:
Это отличается от $\frac12C(V_{\text{initial}}-V_{\text{final}})^2$.
Зарядка и разрядка
В идеальной последовательной цепи резистор–конденсатор при зарядке, изначально незаряженной, начальное напряжение на конденсаторе равно нулю. На резисторе в начальный момент полное напряжение источника, поэтому ток максимален. По мере накопления заряда напряжение на конденсаторе возрастает. Напряжение на резисторе и ток уменьшаются. При полной зарядке ток равен нулю, а напряжение на конденсаторе равно напряжению источника.
Для разрядки через постоянное сопротивление используйте знак тока последовательно или работайте с его модулем:
Зависимость напряжения выводится из $Q=CV$ при постоянной $C$. Модуль тока следует из $|I|=V/R$ при постоянной $R$. Постоянная времени равна $\tau=RC$. После одной постоянной времени $Q$, $V$ и модуль тока составляют $e^{-1}\approx0.368$ от их начальных значений. После трёх постоянных времени они составляют примерно $5\%$, а не ноль. Запасённая энергия убывает быстрее, так как зависит от $V^2$.
Для зарядки от идеального постоянного источника $V_s$:
Напряжение на заряжающемся конденсаторе растёт к значению $V_s$; ток зарядки убывает к нулю. Не рисуйте одну и ту же кривую для обеих величин. Равные $V_C$ и $V_R$ означает, что каждая из них составляет $V_s/2$, достигая этого значения в момент $t=RC\ln2$.
Логарифмирование уравнения разрядки даёт:
Таким образом, график зависимости $\ln V$ от $t$ имеет наклон $-1/(RC)$ и пересечение с осью $\ln V_0$. Те же формы справедливы для $Q$ и модуля тока. Используйте согласованные единицы измерения внутри логарифмируемых числовых значений.
Разобранный пример. Конденсатор ёмкостью $100\ \mu\text{F}$ разряжается с напряжения $12.0\ \text{V}$ через сопротивление $20.0\ \text{k}\Omega$. Найдите напряжение после времени $3.0\ \text{s}$ и потерянную энергию.
Потерянная запасённая энергия превращается преимущественно в тепло в разрядочном сопротивлении. Для финального расчёта используйте точное (не округлённое) значение напряжения.
Основной практический опыт 11 и полезные расширения
Используйте источник питания постоянного тока с низким напряжением, резистор, конденсатор и выключатель. Зарядите конденсатор через резистор, затем отключите источник и разрядите его через известное сопротивление. Подключите датчик напряжения, логгер данных или осциллограф параллельно конденсатору. Записывайте время и напряжение; выберите интервал опроса значительно короче $RC$. Сопротивление входа прибора должно быть значительно больше сопротивления разряда, иначе это изменит путь разряда.
Сохраняйте фиксированными значения $R$ и $C$, повторяйте измерения после восстановления первоначального заряда и сравнивайте полученные кривые с экспоненциальными предсказаниями. Определите $RC$ по уровню $1/e$ или градиенту логарифмической аппроксимации. Избегайте взятия логарифмов при показаниях, близких к нулю, где относительная неопределенность велика. Для проверки допуска на сопротивление рассчитайте $R=-\Delta t/[C\ln(V_2/V_1)]$ за одно непрерывное разрядное событие и сравните его с обеими границами допустимого интервала.
Соблюдайте полярность электролитического конденсатора и не превышайте его номинальное напряжение. Безопасно разрядите его через резистор перед изменением соединений; не замыкайте накоротко заряженный конденсатор. Течь, нагрузка от датчика и нагрев резистора могут изменить измеренную кривую.
Сглаживающий конденсатор заряжается вблизи пиков напряжения источника и разряжается в нагрузку между ними. Меньшее сопротивление нагрузки дает меньшую постоянную времени, более быстрый разряд и худшее сглаживание. Для двух одинаковых последовательно соединенных конденсаторов на каждом появляется заряд одинаковой величины. Их равные напряжения делят общее напряжение источника, поэтому каждый накапливает половину заряда одного такого же конденсатора, подключенного отдельно. Это деление является полезным переходом к выбранному варианту экзаменационной работы, но не заменяет основную модель емкости.
Магнитные силы и индукция
Направления, поток и сила
Магнитная индукция $B$ описывает силовое действие поля. Для прямого проводника длиной $l$ в однородном поле:
Здесь $\theta$ — угол между направлением тока и полем. Учитывается только длина проводника, находящаяся внутри поля. Для одной заряженной частицы:
Используйте правило левой руки Флеминга: указательный палец направлен вдоль поля, средний — вдоль направления тока, большой палец указывает направление силы. Положительный заряд движется в направлении тока. Для движения электрона результат нужно инвертировать. Точки обозначают вектор, направленный на нас (из плоскости листа), крестики — от нас (в плоскость листа).
Магнитная сила перпендикулярна скорости, поэтому она меняет направление движения, не совершая работы. Она не может одна увеличить кинетическую энергию частицы. Если $\mathbf v$ параллелен $\mathbf B$, магнитная сила равна нулю.
Магнитный поток через плоскую поверхность в однородном поле равен:
Здесь $\alpha$ — угол между полем и нормалью к поверхности, а не самой плоскостью. Единица измерения — вебер. Потокосцепление равно $N\phi$, если один и тот же поток пронизывает каждый из $N$ витков.
Разбор примера. Катушка имеет 40 витков и радиус $0.015\ \text{m}$. Однородное поле $0.020\ \text{T}$ перпендикулярно ее плоскости. Найдите потокосцепление.
Используйте радиус, а не диаметр, и умножайте на число витков только при расчете потокосцепления. Весы под магнитами измеряют противодействие силе, действующей на отдельный поддерживаемый проводник. Преобразуйте изменение показаний весов $\Delta m$ в силу $\Delta mg$, а не само значение $\Delta m$.
Изменяющееся потокосцепление индуцирует ЭДС
Электромагнитная индукция возникает при изменении потокосцепления. Относительное движение катушки и магнита может вызвать это явление. Вращение катушки или изменение тока в другой связанной катушке также могут его вызвать. В неподвижной катушке в постоянном поле не возникает ЭДС просто из-за наличия потока.
Закон Фарадея связывает величину ЭДС со скоростью изменения потокосцепления. Закон Ленца определяет противодействующее направление:
Наведённый ток, если цепь замкнута, создаёт магнитное поле, противодействующее изменению, его вызвавшему. Оно не всегда противоположно существующему полю: когда это поле уменьшается, наведённое поле помогает поддерживать его. Это противодействие согласуется с законом сохранения энергии.
Разобранный пример. Поток через каждый из 50 витков уменьшается от $6.0\times10^{-5}$ до $2.0\times10^{-5}\ \text{Wb}$ за время $0.020\ \text{s}$. Найдите среднюю величину ЭДС индукции.
Более быстрое движение, более сильное поле, большее количество витков или большая связная площадь могут увеличить скорость изменения потока. Объясните, какая именно величина изменяется. В считывателе магнитных полос изменение полярности поля меняет направление сигнала. Для прямого границы, охватывающей площадь шириной $L$ со скоростью $v$, получается $\Delta A/\Delta t=Lv$, что даёт $|\mathcal E|=NBLv$ в рамках этой модели однородного поля.
Беспроводная зарядка использует переменный ток в одной катушке, создавая изменяющееся магнитное поле и изменяющуюся связь в катушке телефона. Это наводит ЭДС. Получающая цепь может затем заряжать аккумулятор. Равное число витков не обеспечивает равные напряжения: часть потока может не связаться с другой катушкой, особенно при наличии зазора или отсутствии железного сердечника.
Ядерная структура, ускорители и треки
Ядро и рассеяние как доказательство
В обозначении $^{A}_{Z}X$ протонное число $Z$ равно числу протонов, а нуклонное число $A$ равно сумме протонов и нейтронов. Число нейтронов составляет $A-Z$. Нейтральный атом имеет $Z$ электронов; ион — нет обязательно.
Старая модель распределённого положительного заряда могла объяснить малые отклонения, но не наблюдаемые редкие большие углы рассеяния альфа-частиц. Большинство альфа-частиц проходят почти прямо сквозь тонкую фольгу, показывая, что большая часть атома — пустое пространство. Небольшая доля претерпевает очень сильные отклонения. Положительно заряженные альфа-частицы испытывают сильное электростатическое отталкивание вблизи малого, плотного, положительно заряженного ядра, содержащего большую массу атома. Малое число событий с большими углами рассеяния указывает на то, что ядро занимает малую долю объёма атома. Связывайте каждое наблюдение с конкретным выводом, который оно подтверждает.
Создавать, ускорять и отклонять пучок
Термоэлектронная эмиссия высвобождает электроны из нагретого металла. Нагрев подставляет энергию, позволяя некоторым электронам покинуть поверхность. Положительно заряженный ускоряющий электрод притягивает их через вакуум. Разность потенциалов изменяет кинетическую энергию за счёт электрической работы:
При расчёте скорости используйте только положительное приращение энергии $|q|\,|\Delta V|$, если частица ускоряется полем в нужном направлении. Начиная с покоя, значительно ниже скорости света:
Линейный ускоритель использует переменную разность потенциалов на промежутках между дрейфовыми трубками. Частицы ускоряются на промежутках и экранируются внутри проводящих трубок. Полярность меняется, пока частицы находятся внутри, поэтому следующий промежуток снова их ускоряет. При постоянной частоте переменного тока увеличение скорости требует удлинения трубок для поддержания времени между последовательными промежутками. Через $n$ равных ускоряющих промежутков общее приращение кинетической энергии составляет $n|q|V_{\text{gap}}$.
Циклотрон использует магнитное поле, перпендикулярное двум полым дейнам. Электрическое поле ускоряет частицы на промежутке. Внутри дейна магнитная сила искривляет траекторию без увеличения скорости. Полярность меняется во время каждого полуоборота, обеспечивая ещё одно приращение энергии при следующем проходе. При перпендикулярном входе:
В нерелятивистской модели период не зависит от скорости. Увеличение скорости увеличивает радиус. Время нахождения в одном дейне равно $T/2$, а не $T$. Формула предполагает постоянное поле и постоянную массу в данной модели; синхронизация нарушается, когда релятивистские эффекты становятся значимыми.
Разобранный пример. Протон движется перпендикулярно $B=0.40\ \text{T}$ с импульсом $2.0\times10^{-20}\ \text{kg m s}^{-1}$. Используйте массу протона $1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$.
Если начать вместо этого с длины волны де Бройля, используйте $p=h/\lambda$, затем $E_k=p^2/(2m)$ и $V=E_k/|q|$. Проверьте, остаётся ли предположение о нерелятивистском движении применимым.
Тщательно интерпретируйте данные детектора
Заряженные частицы ионизируют вещество вдоль своего пути, оставляя обнаруживаемые треки. Нейтральная частица не образует прямого трека ионизации в этой модели. Её присутствие можно установить по отсутствию импульса или по заряженным продуктам, которые она порождает позже.
В известном перпендикулярном магнитном поле направление кривизны вместе с направлением движения позволяет определить знак заряда. Без знания направления поля только по кривизне нельзя установить знак. Радиус определяет импульс через $p=B|q|r$; сравнение радиусов требует знания модуля заряда. Сужение траектории обычно указывает на потерю импульса. Не определяйте направление движения исключительно по дуге постоянного радиуса.
Сохраняйте заряд, полную энергию и векторный импульс при взаимодействии. Если видимые импульсы вылетающих частиц не суммируются до начального импульса, нейтральный продукт может нести недостающую компоненту. Стройте векторный баланс, а не делайте предположения по числу треков.
Высокие энергии изучают структуру нуклонов двумя способами. Большой импульс обеспечивает малую длину волны де Бройля, что позволяет разрешить мелкие структуры. Высокая энергия столкновения также позволяет создавать новые массивные частицы. Кварки не наблюдаются как изолированные свободные частицы; не описывайте высокоэнергетическое столкновение просто как удаление свободного кварка.
Быстрые мюоны достигают поверхности Земли, потому что их среднее время жизни в системе отсчета Земли увеличивается при скоростях, близких к $c$. Это не означает, что они превышают скорость света. Единица 4 требует понимания значимости увеличения времени жизни, а не применения релятивистских уравнений.
Частицы, античастицы и законы сохранения
Семейства и античастицы
В кварково-лептонной модели — барионы и мезоны состоят из кварков. Лептоны являются фундаментальными частицами в этой модели.
- Барион содержит три кварка, например протон $uud$ или нейтрон $udd$. Антибарион содержит три антикварка.
- Мезон содержит один кварк и один антикварк, например пион.
- Лептон является фундаментальной частицей, например электроном или нейтрино. Позитрон — это антилептон, а не мезон.
- Фотон является квантом электромагнитного излучения; он не является ни барионом, ни лептоном.
Кварки типа «вверх» имеют заряд $+2e/3$, а кварки типа «вниз» — $-e/3$. Антикварки имеют противоположные заряды. Например, $uud$ в сумме дает $+e$, а $udd$ — ноль. Симметрия кварковых семейств предсказала существование верхнего кварка еще до его обнаружения. Модели классификации дают проверяемые предсказания, а не просто списки известных частиц.
Античастица имеет ту же массу покоя, что и её частица, и противоположный электрический заряд, если она заряжена. Другие соответствующие аддитивные квантовые числа также меняют знак. Электрон имеет лептонное число $+1$; его позитрон имеет $-1$. Оба имеют барионное число, равное нулю. Нейтральная античастица может отличаться по квантовым числам, несмотря на отсутствие электрического заряда.
Проверьте сохраненные суммы
Присвойте барионному числу $+1$ для бариона, $-1$ для антибариона и ноль для мезонов/лептонов/фотонов. Кварки несут заряд $+1/3$, а антикварки — $-1/3$. Присвойте числу лептонов $+1$ для лептона и $-1$ для антиleptona. Сравните полный заряд, барионное число и число лептонов по обе стороны предполагаемой реакции. Также проверьте энергию и импульс. Прохождение перечисленных проверок законов сохранения само по себе не доказывает, что взаимодействие произойдет; оно лишь устанавливает, что данные законы не запрещают его.
Разобранное решение. Проверьте реакцию $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.
| Величина | До | После |
|---|---|---|
| Заряд / $e$ | 0 | $+1-1+0=0$ |
| Баріонное число | 1 | $1+0+0=1$ |
| Число лептонов | 0 | $0+1-1=0$ |
Антинетрино компенсирует лептонное число электрона. Замена его на нейтрино привела бы к итоговому значению $+2$, поэтому данное уравнение не прошло бы эту проверку. Сохраняйте черты и знаки заряда при интерпретации предоставленных символов частиц.
Связь массы и энергии, рождение и аннигиляция
Связь массы и энергии связывает изменение массы покоя с энергией:
При рождении пар энергия создает пару частица–античастица. Энергия должна как минимум покрывать обе массы покоя; избыточная энергия может перейти в кинетическую энергию или отскок. Импульс также должен сохраняться, поэтому важно учитывать окружающее взаимодействие. При аннигиляции частица и античастица могут превратиться в фотоны. Пара, изначально находящаяся в покое, порождает два фотона с одинаковой энергией и противоположными импульсами. Каждый фотон несет энергию покоя одной частицы для пары равной массы; суммарная энергия вдвое больше этого значения.
Один электронвольт равен $e$ джоулей: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. МЭВ означает $10^6$ эВ, а ГэВ — $10^9$ эВ. Указанная масса в $\text{MeV}/c^2$ является единицей массы, а не энергии. Умножьте на $c^2$, чтобы получить соответствующую энергию покоя.
Разобранный пример. Переведите массу $140\ \text{MeV}/c^2$ в килограммы.
Используйте одни и те же единицы перед сравнением масс. Процентное расхождение с принятым значением составляет $100\times|m_{\text{predicted}}-m_{\text{accepted}}|/m_{\text{accepted}}$. Укажите опорное значение. В вопросах на порог различайте подачу энергии покоя и кинетическую энергию; не используйте $p=mv$ для фотона или частицы, близкой к $c$.
Распространенные ошибки
- Сложение импульсов как чисел в двух измерениях. Сохраняйте каждую компоненту отдельно, затем объедините с помощью теоремы Пифагора.
- Называние столкновения упругим из-за сохранения импульса. Импульс сохраняется при любом столкновении без внешних сил; упругое означает также сохранение кинетической энергии.
- Изображение «центростремительной силы» как дополнительной силы на диаграмме свободного тела. Это равнодействующая реальных сил (натяжения, веса, нормальной реакции, трения), направленная к центру.
- Оставление $\omega$ в оборотах в минуту. Переведите: $\omega = 2\pi \times \text{rev/s}$, в $\text{rad s}^{-1}$.
- Представление потенциала как вектора или напряжённости поля как скаляра. Потенциалы складываются как знаковые числа; поля — как векторы.
- Использование $W = QV$ для энергии, запасённой в конденсаторе. Запасённая энергия равна $\tfrac12 QV$; источник питания обеспечивает $QV$, а половина рассеивается при зарядке.
- Определение постоянной времени по значению, равному половине начального. После одной постоянной времени $RC$ значение падает до $1/e \approx 37\%$; для половины требуется время $RC\ln 2 \approx 0.69RC$.
- Забывание числа витков: потокосцепление равно $N\Phi = NBA$, а ЭДС индукции — это скорость изменения потокосцепления, а не само потокосцепление.
- Применение правила левой руки для генератора. Правило Флеминга для левой руки определяет силу в моторе; для индуцированного тока используйте закон Ленца (или правило правой руки).
- Утверждение, что магнитное поле ускоряет заряженную частицу. Сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она меняет направление, но не совершает работу.
- Проверка только заряда в уравнении частицы. Должны сохраняться заряд, барионное число и лептонное число; заряды кварков равны $+\tfrac23$ и $-\tfrac13$.
Проверьте себя
- Можете ли вы использовать направленную импульсную силу и две компоненты импульса, затем отдельно проверить кинетическую энергию?
- Можете ли вы вывести центростремительное ускорение и нарисовать только реальные силы?
- Можете ли вы различать векторы поля, направленную потенциальную энергию и изменения энергии?
- Можете ли вы выбрать правильную кривую конденсатора и использовать логарифмический наклон или данные о допуске?
- Можете ли вы объяснить индукцию как изменение потока, включая противодействующее направление?
- Можете ли вы разделить электрическое ускорение на магнитное управление и правильно сократить период циклотрона вдвое?
- Можете ли вы сохранить символы частиц, суммы сохранения и единицы энергии/массы?
Рабочие листы осваивают эти методы перед подлинными заданиями из прошлых экзаменов. Оригинальная практика также охватывает требования, не включенные в последние два экзамена. Короткая выборка подлинных вопросов не определяет всю программу.