S1 · Statistics 1

Механика 2 (M2, экзаменационный лист WME02/01, 1 часа 30 минут, 75 баллов, первое оценивание — июнь 2020) является применяемый блок IAL, основанный на M1: P1–P4 и M1 предполагаются. Примите $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ если только модель вопроса не указывает иное (один вопрос за июнь 2025 использует 10). Это справочное покрывает кинематику с переменным ускорением, центры масс, работу, энергию и мощность, столкновения с коэффициентом восстановления, а также статику твёрдых тел.

Обязательно знать для M2 (нет в справочнике):

Когда ускорение является функцией времени, интегрируем: $v = \int a\,dt$ и $s = \int v\,dt$, при этом константы фиксируются начальными условиями («покой в точке O» обнуляет обе). Для полного РАССТОЯНИЯ когда частица меняет направление движения, найдем время остановки ($v = 0$) и сложим длины обоих участков пути. Вектор положения дифференцируется покомпонентно: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$, $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

Разбор примера — интегрирование с ловушкой (WME02 июнь 2025 задание 1). При $a = k(3 - t^2)$ из покоя в точке O и $v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (постоянный ноль в силу покоя), а $k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$ дает $k = 4$. Затем $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. Для общего расстояния обратно в точку O: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ в момент $t = 3$, $s(3) = 27$, поэтому частица проходит $27 + 27 = 54$ м — обратный путь составляет еще один 27, а не вычитание.

Разбор примера — векторная скорость затем импульс (WME02 июнь 2025 вопрос 2). При $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (метры, $t$ секунды), масса 3 кг: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$, поэтому в момент $t = 4$ вектор скорости равен $\mathbf i - 3\mathbf j$. Импульс силы $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ Н·с вызывает $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$, поэтому $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$, а модуль скорости становится $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ — дифференцируем ВО-ПЕРВЫХ, приложите импульс в указанную секунду.

Для частиц: центр масс находится в $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$. Для однородных тел используйте метод таблицы — разбейте тело на части, центры масс которых вам известны (методичка: полуокружность проволоки $\tfrac{2r}\pi$, полуокружная пластина $\tfrac{4r}{3\pi}$, сектор, дуга); взвесьте каждую часть по МАССЕ (для пластины: площадь; для проволоки: длина) и вычислите моменты относительно удобной оси. Части, расположенные по разные стороны от оси, имеют противоположные знаки. Составные пластины вычитают отверстия как отрицательные площади.

Разбор примера — S-образный проволочный каркас (WME02 июнь 2025 вопрос3). Два полуокружных куска проволоки AB радиуса $2a$ и CD радиуса $a$, оба с центром в точке O по разные стороны от прямой проволоки ACDB ($AC = DB = a$). Таблица (относительно линии AB):

Общая длина $(3\pi + 2)a$; сумма моментов $6a^2$; следовательно, центр масс находится на расстоянии $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ от AB. Подвешен за точку A, где E лежит на дуге так, что $\angle AOE = 90°$: ось симметрии OE проходит через G, поэтому $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$, и поскольку $OA = OE$ составляет $\angle OAE = 45°$, угол $\theta$ AE под вертикалью удовлетворяет $\theta = 45° - \angle OAG$, что даёт $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$.

Свободно подвешенное тело висит так, что его центр масс находится строго вертикально ниже точки подвеса. Искомый угол обычно измеряется между проведённой хордой тела и вертикалью: найдите угол в точке подвеса с помощью тригонометрии прямоугольного треугольника, используя расстояние от центра масс, затем скорректируйте результат с учётом любого геометрического угла (равнобедренные треугольники — стандартный источник 45°, 60°).

Работа постоянной силы: $Fs$ вдоль движения (отрицательная против него); гравитация совершает $\pm mgh$. Принцип работы и кинетической энергии: суммарная работа = изменение КЭ. Закон сохранения механической энергии: энергия сохраняется, когда работает только гравитация; сопротивление учитывается как работа $-Rs$. мощность $P = Fv$: при постоянной скорости движущая сила уравновешивает сопротивление плюс составляющие тяжести, поэтому $v = \tfrac PF$; при заданной скорости избыточная сила вызывает ускорение.

Разобранный пример — автомобиль на склоне (WME02 июнь 2025 вопрос4). Автомобиль массой 750 кг поднимается по склону с $\sin\alpha = \tfrac17$, сопротивление 200 Н, двигатель работает при 20 кВт. Скорость постоянна: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$, следовательно $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. В точке $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$, значит $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. Двигатель выключен в точке A при $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: теорема о работе и энергии дает $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$, т.е. $37500 = 1250d$ и $d = 30$ м — сопротивление действует на расстоянии по СКЛОНУ $d$, гравитация по высоте $d\sin\alpha$.

Разобранная задача — снаряд, завершённый через энергию (RWE02 июнь 2025 вопрос7). Снаряд по параболической траектории покидает точку O $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$) находится на высоте 11 м, когда его вертикальная компонента скорости равна $V$, а его горизонтальная компонента равна $2V$. Энергия: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$, следовательно, $V = 6$ (компоненты 6 и 12). Он пересекает плоскость под углом $60°$ к горизонту ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО, поэтому скорость направлена $30°$ ниже горизонтали: модуль скорости равен $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$, а энергия относительно точки O составляет $200 = \tfrac12(192) + 10H$, откуда $H = 10.4 \to 10$ м (2 значащие цифры).

Закон Ньютона для экспериментальных данных, коэффициент восстановления упругости: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (отношение скорости разлета к скорости сближения, $0 \le e \le 1$; $e = 1$ абсолютно упругое столкновение, $e = 0$ тела слипаются). При сохранении импульса две уравнения позволяют решить любое прямое столкновение. Потеря Кинетической энергии всегда раскладывается на множители с $(1 - e^2)$: потеря $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$ — а импульс, действующий на каждое тело равен изменению его собственного импульса. Отскок от неподвижной стены умножает скорость на $e$ полностью.

Разобранный пример — полная история столкновения (WME02 June 2025 Q5). Tело P (масса $2m$, скорость $u$) ударяет покоящееся тело Q (масса $m$), коэффициент восстановления $e$. Импульс: $2u = 2v_P + v_Q$; коэффициент восстановления: $eu = v_Q - v_P$. Решая систему: $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$, $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$. Кинетическая энергия после удара равна $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$, следовательно, потери составляют $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$ — множитель $k = \tfrac13$. Если импульс, действующий на Q, равен $\tfrac89mu$: уравнение $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$ даёт $e = \tfrac13$. Q затем отскакивает от стены с коэффициентом восстановления $f$, чтобы сравняться по скорости со скоростью P $\tfrac59u$: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$, следовательно, $f = \tfrac58$.

Цепочки взаимодействий трех тел и стен требуют лишь систематического учета: полностью решите первое столкновение, перенесите сохраняются при столкновении, и связывают только те величины, которые упоминаются в условии («та же скорость», «в покое»). Стена отбрасывает тело в противоположном направлении, масштабируя скорость на $e$; сохраните a направленную диаграмму для каждого этапа.

Твердое тело в равновесии требует нулевой равнодействующей силы И нулевого равнодействующего момента относительно любой точки. Выберите точку вращения так, чтобы исключить неизвестные (одна неизвестная реакция гладкой рейки — причина того, почему моменты относительно точки контакта с полом эффективны). Разложите силы по горизонтали и вертикали для нахождения составляющих реакции поверхности; на шероховатом полу в состоянии предельного равновесия трение $F = \mu R$ с $F$ горизонтальной составляющей.

Разобранное решение — стержень у гладкой рейки (WME02 июнь 2025 вопрос6). Однородный стержень AB (масса $m$, длина $2a$) лежит концом A на шероховатой поверхности, опираясь на гладкую рейку в точке C, $AC = 1.5a$, угол наклона $\theta$, нормальная реакция $S$ рейки, перпендикулярная стержню. Моменты относительно A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$, следовательно $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. По вертикали: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. Предельное равновесие с $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$, следовательно $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. Делением на $\cos^2\theta$ и использованием $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• Интегрируйте $a(t)$ от $v$ до $s$ с константами из начальных условий; учитывайте полный путь через точку разворота; дифференцируйте $\mathbf r(t)$ для получения вектора скорости и применяйте импульсы как $\mathbf I = m\Delta\mathbf v$.
• Составляйте таблицы ЦМ (веса/площади/длины) со знаковыми расстояниями для частей с противоположных сторон и отрицательными отверстиями; используйте результаты для проволоки и пластин из методички; найдите углы подвеса через тригонометрию в точке подвеса плюс любой угол равнобедренного треугольника.
• Применить теорему о работе и кинетической энергии и закон сохранения механической энергии, учитывая работу сопротивления на длине склона и $P = Fv$ в обоих направлениях.
• Решать прямые столкновения с использованием импульса + коэффициента восстановления; указать обе скорости; вычислить $(1-e^2)$ потерю энергии и импульсы для каждого тела; цепочку отскоков от стены и вторичные столкновения оформить со знаковой схемой.
• Для твердых тел: моменты относительно точки опоры, устраняющей неизвестную силу, разложить на компоненты и свести задачи предельного равновесия к уравнению относительно $\tan\theta$.